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浙教版八年级数学上册期中素养综合测试卷课件
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这是一份浙教版八年级数学上册期中素养综合测试卷课件，共60页。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏淮阴淮安中考)剪 纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中,是轴对称图形的 是 ( ) A B C D
解析 A选项不是轴对称图形,不符合题意;B选项关于某条直线对称,是轴对称图形,符合题意;C选项不是轴对称图形,不符合题意;D选项不是轴对称图形,不符合题意.故选B.
2. (2023江苏盐城中考)下列每组数分别表示3根小木棒的长 度(单位:cm),其中能搭成一个三角形的是 ( )A.5,7,12 B.7,7,15 C.6,9,16 D.6,8,12
解析 A.5+7=12,不能组成三角形,故此选项不合题意;B.7+7<15,不能组成三角形,故此选项不合题意;C.6+9<16,不能组成三角形,故此选项不合题意;D.8+6>12,能组成三角形,故此选项符合题意.故选D.
3. (2023湖南长沙中考)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A B C D
解析 由2x+4>0,得x>-2,由x-1≤0,得x≤1,两不等式的解集在数轴上表示为 ,故不等式组的解集为-2
解析 A.两点之间线段最短,是命题,不符合题意;B.不平行 的两条直线只有一个交点,是命题,不符合题意;C.x与y的差等 于x-y吗,是疑问句,没有作出判断,不是命题,符合题意;D.相等 的角是对顶角,是命题,不符合题意.故选C.
5. (新独家原创)若a>b,则下列不等式一定不成立的是( )A.a+12>b+12 B.(m2+3)a>(m2+3)bC.a-8>b-8 D. >
解析 ∵a>b,∴a+12>b+12,∴选项A不符合题意;∵a>b,m2+3>0,∴(m2+3)a>(m2+3)b,∴选项B不符合题意;∵a>b,∴a-8>b-8,∴选项C不符合题意;∵a>b,m2可能为0,∴ > 不一定成立,∴选项D符合题意.故选D.
6. (2023吉林长春中考)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分 线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是 ( ) A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE
解析 角平分线的作法如下:①以点A为圆心,AD长为半径作 弧,分别交AM、AN于点D、E;②分别以点D、E为圆心,DF长为半径作弧,两弧在∠MAN内 相交于点F;③作射线AF,AF即为∠MAN的平分线.根据角平分线的作法可知,AD=AE,DF=EF,根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE,故选B.
7. (2023浙江舟山四校联考二模)在方程组 中,若未知数x,y满足x+y<0,则m的取值范围是 ( )A.m>2 B.m<2 C.m>-2 D.m<-2
8. (2024浙江杭州西湖保俶塔实验学校期中)如图,在四边形 ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠ADC+∠ABC=180°,有下列结论:①CD=CB;②AD+AB=2AE;③∠ACD=∠BCE; ④S△ABC-S△ADC=2S△BEC.其中正确的是 ( ) A.② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
解析 如图,在EA上取点F,使EF=BE,连结CF, ∵CE⊥AB,∴CF=CB,∴∠CFB=∠ABC,∵∠AFC+∠CFB=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠AFC,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠FAC,
在△ACD和△ACF中, ∴△ACD≌△ACF(AAS),∴CD=CF,AD=AF,∴CD=CB,故①正确;∵AD=AF,∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.故②正确;根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE,
故③错误;∵△ACD≌△ACF,∴S△ACD=S△ACF,∴S△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AFC=S△BCF=2S△BEC,故④正确.∴正确的是①②④.故选C.
9. (2023浙江杭州第十四中学附属学校期中)如图,已知等边 △ABC中,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF, DE⊥BC于E,FG⊥BC交BC的延长线于G,DF交BC于点P,则 下列结论:①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP =1中,正确的是 ( )A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=2,∠A=∠B= ∠ACB=60°,∵∠GCF=∠ACB=60°,∴∠B=∠GCF,∵DE⊥ BC,FG⊥BC,∴∠DEB=∠FGC=90°,在△BDE和△CFG中, ∴△BDE≌△CFG(AAS),∴BE=CG,DE=FG,故①正确;在△EDP和△GFP中,
∴△EDP≌△GFP(AAS),故②正确;∵∠BDE=90°-∠B=30°,∴只有当PD⊥AB时,∠PDE=60°,故 ③错误;∵△EDP≌△GFP,∴PE=PG,∵BE=CG,∴EG=EC+ CG=EC+BE=BC=2,∴EP= EG=1,故④正确.综上,①②④正确.故选D.
10. (情境题·数学文化)(2024浙江温州乐清乐成公立学校期 中)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.如图 ①,以直角三角形的三边为边向外作正方形,西方著名数学家 毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理,现把较小的两个 正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内,两个 较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD.若AB=3,则图 中阴影部分的面积为 ( )
A. B.3 C. D.6
解析 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,斜 边长为c,由题意可知,阴影部分矩形的宽为c-a,∴AB=b-(c-a)=b-c+a=3,∵AD=b-(c-a)=b-c+a,∴BC=AD=b-c+a=3,∴阴影部分矩形的长为a-(b-c+a)=c-b,∴阴影部分矩形的面积为(c-a)(c-b)=c2-(a+b)c+ab,
∵b-c+a=3,∴a+b=c+3,∴(a+b)2=(c+3)2,∴a2+b2+2ab=c2+6c+9,∵a2+b2=c2,∴2ab=6c+9,∴ab=3c+ ,∴c2-(a+b)c+ab=c2-(c+3)c+3c+ = ,即阴影部分矩形的面积为 ,故选C.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (新考向·开放性试题)(2023江苏无锡梁溪一模)有些真命 题的逆命题也是真命题,在你学过的命题中,请写出一个这样 的命题: .
两直线平行,同位角相等(答案不唯一)
解析 两直线平行,同位角相等是真命题,它的逆命题:同位 角相等,两直线平行也是真命题.故答案为两直线平行,同位 角相等.(答案不唯一)
12. (2023广东广州中考)如图,已知AD是△ABC的角平分线, DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AE=12,DF=5,则点E到直 线AD的距离为 .
解析 如图,过E作EH⊥AD于H,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE= DF=5,∵AE=12,∴AD= =13,∵△ADE的面积= AD·EH= AE·DE,∴13EH=12×5,∴EH= ,即点E到直线AD的距离为 .
13. (2024浙江宁波海曙外国语学校期中)在锐角△ABC中,已 知∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC交AC于E,AD垂直BE,垂足为 D,若BD=4 cm,则AC的长是 .
∴∠N=∠ABN=∠NBC=∠C,∴AN∥BC,∴∠C=∠NAC,∴∠NAC=∠N,∴AE=EN,∵BE=EC,∴AC=BN=2BD=8 cm.故答案为8 cm.
14. (2023黑龙江大庆中考)若关于x的不等式组 有三个整数解,则实数a的取值范围为 .
解析 解不等式3(x-1)>x-6,得x>-1.5,解不等式8-2x+2a≥0,得x≤a+4,∵不等式组有三个整数解,∴不等式组的整数解为-1、0、1,∴1≤a+4<2,解得-3≤a<-2.故答案为-3≤a<-2.
15. (2024浙江宁波海曙期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=40 cm,AC=30 cm,动点P从点B出发沿射线BA以2 cm/s的 速度运动,则当运动时间t= s时,△BPC为直角三角 形.
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40 cm,AC=30 cm,∴AB= = =50(cm).如图,作AB边上的高CD.∵S△ABC= AB·CD= AC·BC,∴CD= = =24(cm).①当∠BCP为直角时,点P与点A重合,BP=BA=50 cm,∴t=50÷2=25(s).②当∠BPC为直角时,点P与点D重合,BP=2t cm,CP=24 cm,
BC=40 cm,在Rt△BCP中,∵BP2+CP2=BC2,∴(2t)2+242=402,解得t=16.综上,当t=25 s或16 s时,△BPC为直角三角形.故答案为25或16.
16. (情境题·现实生活)(2023浙江温州龙港期中)商场卫生间 旋转门锁的局部图如图①所示,图②是其示意图.锁芯O固定 在距离门边(EF)3.5 cm处(OD=3.5 cm),在自然状态下,把手竖 直向下(把手底端到达A处).旋转一定角度,使得把手底端B恰 好卡在门边,此时底端A,B的竖直高度差为0.5 cm,则OB的长 度是 cm.当把手旋转到OC⊥OB时,点C与点B的高 度差BH是 cm.
① ②
解析 过B作BM⊥OA于M,过C作CG⊥AO交AO的延长线于 G,如图.由题意可得,AM=0.5 cm,BM=OD=3.5 cm,设OB=OA=x cm,在Rt△BOM中,OM2+BM2=OB2,∴(x-0.5)2+3.52=x2,解得x=12.5,∴OB=OA=12.5 cm,∴BD=OM=OA-AM=12.5-0.5=12(cm),∵OC⊥OB,∴∠BOM=90°-∠COG=∠GCO,
∵OB=OC,∠CGO=90°=∠BMO,∴△BOM≌△OCG(AAS),∴OG=BM=3.5 cm,∴DH=OG=3.5 cm,∴BH=BD+DH=12+3.5=15.5(cm).
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](6分)(1)(2024浙江杭州西湖西溪中学 期中)解不等式:5x>3(x-2)+2,并把解集表示在下列数轴上. (2)(2023山东济南中考)解不等式组: 并写出它的所有整数解.
解析 (1)去括号,得5x>3x-6+2,移项、合并同类项,得2x>-4,系数化为1,得x>-2. 2分解集在数轴上表示如图所示. 3分(2)解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x<3, 4分
在数轴上表示不等式①②的解集如下: ∴原不等式组的解集是-1
解析 (1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°, 1分在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(AAS). 3分(2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6, 4分在Rt△ACD中,AC= = =10, 5分
∵AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4. 6分
19. [答案含评分细则](2024浙江金华东阳期中)(6分)如图,在 8×8的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一 格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求A与A1, B与B1,C与C1相对应)(2)若有一格点P到点A,B的距离相等,则网格中满足条件的点 P有 个.(3)在直线l上找到一点Q,使QB+QC的值最小.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求. 2分(2)如图,P1,P2,P3,P4满足到点A,B的距离相等,∴网格中满足条件的点P有4个.故答案为4. 4分(3)如图,点Q即为所求.
20. [答案含评分细则](2023浙江嘉兴桐乡六中开学测试)(8分) 为了测量一条东西流向且两岸平行的河流的宽度,三个数 学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点A处测得 河北岸的树H恰好在A的正北方向,测量方案如表:
(1)第二小组认为只要测得CD就能得到河宽AH,你认为第二 小组的方案可行吗?如果可行,请给出证明;如果不可行,请说 明理由.(2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出 河宽.
解析 (1)第二小组的方案可行. 1分证明:由题意得∠HAB=∠DCB=90°,AB=BC,∵∠ABH=∠CBD,∴△ABH≌△CBD(ASA), 2分∴AH=CD=40 m,∴河宽为40 m.∴第二小组的方案可行. 3分(2)选择第一小组的方案:由题意得∠HAB=90°, 4分
∵∠BHA=45°,∴∠ABH=90°-∠BHA=45°,∴∠BHA=∠ABH=45°,∴AH=AB=40 m, 5分∴河宽为40 m;选择第三小组的方案:由题意得∠CAB=80°, 6分∵∠CAB是△ABH的一个外角,∠BHA=40°,
∴∠ABH=∠CAB-∠BHA=40°,∴∠BHA=∠ABH=40°, 7分∴AH=AB=40 m,∴河宽为40 m. 8分
21. [答案含评分细则](8分)已知:点O到△ABC的两边AB,AC 所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图①,若点O在边BC上,求证:AB=AC.(2)如图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC.(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画出图表示.
解析 (1)证明:过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F(图 略),OE=OF, 1分在Rt△OEB和Rt△OFC中, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), 2分∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. 3分(2)过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F(图略), 4分由题意知OE=OF,∠BEO=∠CFO=90°,
在Rt△OEB和Rt△OFC中, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), 5分∴∠OBE=∠OCF,又∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. 6分(3)不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分 线重合时AB=AC,否则AB≠AC.(如示例图) 8分
22. [答案含评分细则](2023河南中考)(10分)某健身器材专卖 店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折;活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原 价为300元,可减80元,需付款220元;所购商品原价为770元,可 减160元,需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时,选择哪种活动更合 算?请说明理由.
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一 和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价.(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范 围内,选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器 材的原价为a元,请直接写出a的取值范围.
解析 (1)选择活动一更合算.理由如下:∵450× =360(元),450-80=370(元),360<370, 2分∴选择活动一更合算. 3分(2)设一件这种健身器材的原价为x元,若x<300,则活动一按原价打八折,活动二按原价,此时付款金 额不可能相等;∴300≤x<500, 4分
∴ x=x-80,解得x=400, 5分∴一件这种健身器材的原价是400元. 6分(3)a的取值范围为300≤a<400或600≤a<800.详解:由(2)知a≥300,当300≤a<600时,a-80<0.8a,解得a<400; 7分∴300≤a<400; 8分
当600≤a<900时,a-160<0.8a,解得a<800. 9分∴600≤a<800.综上所述,a的取值范围为300≤a<400或600≤a<800. 10分
23. [答案含评分细则](2024浙江杭州西湖保俶塔申花实验学 校月考)(10分)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF ⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE.(2)求∠FAE的度数.(3)求证:CD=2BF+DE.
解析 (1)证明:∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE, 1分在△BAC和△DAE中, ∴△BAC≌△DAE(SAS). 3分(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°, 4分
由(1)知△BAC≌△DAE,∴∠BCA=∠E=45°,∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°, 5分∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°. 6分(3)证明:如图,延长BF到G,使得FG=FB,∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中, ∴△AFB≌△AFG(SAS), 7分∴AB=AG,∠ABF=∠G,∵△BAC≌△DAE,∴∠CBA=∠EDA,CB=ED,∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA, 8分
在△CGA和△CDA中, ∴△CGA≌△CDA(AAS), 9分∴CG=CD,∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE. 10分
24. [答案含评分细则](2022浙江宁波海曙期中)(12分)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm,设出发的时间为t秒.(1)出发1秒后,求△ABP的周长.(2)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速 度为每秒1 cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达 终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
解析 (1)如图1所示,∵∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,∴AC2= AB2-BC2=16,∴AC=4 cm,∵动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每 秒2 cm,∴出发1秒后,CP=2 cm,∴AP=2 cm,∵∠C=90°,∴PB2 =22+32=13,∴PB= cm,∴△ABP的周长为AP+PB+AB=2+ +5=(7+ )cm. 3分(2)①如图2所示,当P在边AC上,且CP=BC=3 cm时,△BCP为 等腰三角形,此时用的时间为 秒,即t= . 4分
②当P在AB边上时,有三种情况:如图3所示,当BP=CB=3 cm时,AP=2 cm,∴P运动的路程为2+4=6 cm,∴用的时间为6÷2=3秒,即t=3. 5分如图4所示,当CP=BC=3 cm时,过C作斜边AB的高,根据面积 法求得CD=2.4 cm,在Rt△PCD中,PD2=PC2-CD2,∴PD=1.8 cm,∵PC=BC,CD⊥AB,∴PD=BD,∴BP=2PD=3.6 cm,
∴P运动的路程为4+5-3.6=5.4 cm,∴用的时间为5.4÷2=2.7秒,即t=2.7. 6分如图5所示,当BP=CP时,P为斜边AB的中点,∴P运动的路程为4+ =6.5 cm,∴用的时间为6.5÷2= 秒,即t= .综上所述,当t为 或2.7或3或 时,△BCP为等腰三角形.7分(3)①如图6所示,当P在AC上,Q在BC上时,PC=2t cm,CQ=t cm,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,∴2t+t=4-2t+3-t+5,解得t=2.(此时点P与点A重合) 9分②如图7所示,当P在BC上,Q在AB上时,BQ=(t-3)cm,BP=(2t-9)cm,∴AQ=5-(t-3)=(8-t)cm,CP=3-(2t-9)=(12-2t)cm,∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9,解得t=6.(此时点P与点C重合)∴当t的值为2或6时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两
部分. 12分 图1 图2
图3 图4
一、选择题(每小题3分,共30分)
1. (情境题·中华优秀传统文化)(2023江苏淮阴淮安中考)剪 纸是中国优秀的传统文化.下列剪纸图案中,是轴对称图形的 是 ( ) A B C D
解析 A选项不是轴对称图形,不符合题意;B选项关于某条直线对称,是轴对称图形,符合题意;C选项不是轴对称图形,不符合题意;D选项不是轴对称图形,不符合题意.故选B.
2. (2023江苏盐城中考)下列每组数分别表示3根小木棒的长 度(单位:cm),其中能搭成一个三角形的是 ( )A.5,7,12 B.7,7,15 C.6,9,16 D.6,8,12
解析 A.5+7=12,不能组成三角形,故此选项不合题意;B.7+7<15,不能组成三角形,故此选项不合题意;C.6+9<16,不能组成三角形,故此选项不合题意;D.8+6>12,能组成三角形,故此选项符合题意.故选D.
3. (2023湖南长沙中考)不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A B C D
解析 由2x+4>0,得x>-2,由x-1≤0,得x≤1,两不等式的解集在数轴上表示为 ,故不等式组的解集为-2
解析 A.两点之间线段最短,是命题,不符合题意;B.不平行 的两条直线只有一个交点,是命题,不符合题意;C.x与y的差等 于x-y吗,是疑问句,没有作出判断,不是命题,符合题意;D.相等 的角是对顶角,是命题,不符合题意.故选C.
5. (新独家原创)若a>b,则下列不等式一定不成立的是( )A.a+12>b+12 B.(m2+3)a>(m2+3)bC.a-8>b-8 D. >
解析 ∵a>b,∴a+12>b+12,∴选项A不符合题意;∵a>b,m2+3>0,∴(m2+3)a>(m2+3)b,∴选项B不符合题意;∵a>b,∴a-8>b-8,∴选项C不符合题意;∵a>b,m2可能为0,∴ > 不一定成立,∴选项D符合题意.故选D.
6. (2023吉林长春中考)如图,用直尺和圆规作∠MAN的平分 线,根据作图痕迹,下列结论不一定正确的是 ( ) A.AD=AE B.AD=DF C.DF=EF D.AF⊥DE
解析 角平分线的作法如下:①以点A为圆心,AD长为半径作 弧,分别交AM、AN于点D、E;②分别以点D、E为圆心,DF长为半径作弧,两弧在∠MAN内 相交于点F;③作射线AF,AF即为∠MAN的平分线.根据角平分线的作法可知,AD=AE,DF=EF,根据等腰三角形的三线合一可知AF⊥DE,故选B.
7. (2023浙江舟山四校联考二模)在方程组 中,若未知数x,y满足x+y<0,则m的取值范围是 ( )A.m>2 B.m<2 C.m>-2 D.m<-2
8. (2024浙江杭州西湖保俶塔实验学校期中)如图,在四边形 ABCD中,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,∠ADC+∠ABC=180°,有下列结论:①CD=CB;②AD+AB=2AE;③∠ACD=∠BCE; ④S△ABC-S△ADC=2S△BEC.其中正确的是 ( ) A.② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
解析 如图,在EA上取点F,使EF=BE,连结CF, ∵CE⊥AB,∴CF=CB,∴∠CFB=∠ABC,∵∠AFC+∠CFB=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠AFC,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠FAC,
在△ACD和△ACF中, ∴△ACD≌△ACF(AAS),∴CD=CF,AD=AF,∴CD=CB,故①正确;∵AD=AF,∴AD+AB=AF+AE+BE=AF+EF+AE=AE+AE=2AE.故②正确;根据已知条件无法证明∠ACD=∠BCE,
故③错误;∵△ACD≌△ACF,∴S△ACD=S△ACF,∴S△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AFC=S△BCF=2S△BEC,故④正确.∴正确的是①②④.故选C.
9. (2023浙江杭州第十四中学附属学校期中)如图,已知等边 △ABC中,AB=2,点D在AB上,点F在AC的延长线上,BD=CF, DE⊥BC于E,FG⊥BC交BC的延长线于G,DF交BC于点P,则 下列结论:①BE=CG;②△EDP≌△GFP;③∠EDP=60°;④EP =1中,正确的是 ( )A. ①② B. ②③ C. ①③④ D. ①②④
解析 ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=2,∠A=∠B= ∠ACB=60°,∵∠GCF=∠ACB=60°,∴∠B=∠GCF,∵DE⊥ BC,FG⊥BC,∴∠DEB=∠FGC=90°,在△BDE和△CFG中, ∴△BDE≌△CFG(AAS),∴BE=CG,DE=FG,故①正确;在△EDP和△GFP中,
∴△EDP≌△GFP(AAS),故②正确;∵∠BDE=90°-∠B=30°,∴只有当PD⊥AB时,∠PDE=60°,故 ③错误;∵△EDP≌△GFP,∴PE=PG,∵BE=CG,∴EG=EC+ CG=EC+BE=BC=2,∴EP= EG=1,故④正确.综上,①②④正确.故选D.
10. (情境题·数学文化)(2024浙江温州乐清乐成公立学校期 中)勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.如图 ①,以直角三角形的三边为边向外作正方形,西方著名数学家 毕达哥拉斯就曾用此图形验证了勾股定理,现把较小的两个 正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大正方形内,两个 较小正方形纸片的重叠部分记为四边形ABCD.若AB=3,则图 中阴影部分的面积为 ( )
A. B.3 C. D.6
解析 设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,斜 边长为c,由题意可知,阴影部分矩形的宽为c-a,∴AB=b-(c-a)=b-c+a=3,∵AD=b-(c-a)=b-c+a,∴BC=AD=b-c+a=3,∴阴影部分矩形的长为a-(b-c+a)=c-b,∴阴影部分矩形的面积为(c-a)(c-b)=c2-(a+b)c+ab,
∵b-c+a=3,∴a+b=c+3,∴(a+b)2=(c+3)2,∴a2+b2+2ab=c2+6c+9,∵a2+b2=c2,∴2ab=6c+9,∴ab=3c+ ,∴c2-(a+b)c+ab=c2-(c+3)c+3c+ = ,即阴影部分矩形的面积为 ,故选C.
二、填空题(每小题4分,共24分)
11. (新考向·开放性试题)(2023江苏无锡梁溪一模)有些真命 题的逆命题也是真命题,在你学过的命题中,请写出一个这样 的命题: .
两直线平行,同位角相等(答案不唯一)
解析 两直线平行,同位角相等是真命题,它的逆命题:同位 角相等,两直线平行也是真命题.故答案为两直线平行,同位 角相等.(答案不唯一)
12. (2023广东广州中考)如图,已知AD是△ABC的角平分线, DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,AE=12,DF=5,则点E到直 线AD的距离为 .
解析 如图,过E作EH⊥AD于H,∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE= DF=5,∵AE=12,∴AD= =13,∵△ADE的面积= AD·EH= AE·DE,∴13EH=12×5,∴EH= ,即点E到直线AD的距离为 .
13. (2024浙江宁波海曙外国语学校期中)在锐角△ABC中,已 知∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC交AC于E,AD垂直BE,垂足为 D,若BD=4 cm,则AC的长是 .
∴∠N=∠ABN=∠NBC=∠C,∴AN∥BC,∴∠C=∠NAC,∴∠NAC=∠N,∴AE=EN,∵BE=EC,∴AC=BN=2BD=8 cm.故答案为8 cm.
14. (2023黑龙江大庆中考)若关于x的不等式组 有三个整数解,则实数a的取值范围为 .
解析 解不等式3(x-1)>x-6,得x>-1.5,解不等式8-2x+2a≥0,得x≤a+4,∵不等式组有三个整数解,∴不等式组的整数解为-1、0、1,∴1≤a+4<2,解得-3≤a<-2.故答案为-3≤a<-2.
15. (2024浙江宁波海曙期中)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°, BC=40 cm,AC=30 cm,动点P从点B出发沿射线BA以2 cm/s的 速度运动,则当运动时间t= s时,△BPC为直角三角 形.
解析 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=40 cm,AC=30 cm,∴AB= = =50(cm).如图,作AB边上的高CD.∵S△ABC= AB·CD= AC·BC,∴CD= = =24(cm).①当∠BCP为直角时,点P与点A重合,BP=BA=50 cm,∴t=50÷2=25(s).②当∠BPC为直角时,点P与点D重合,BP=2t cm,CP=24 cm,
BC=40 cm,在Rt△BCP中,∵BP2+CP2=BC2,∴(2t)2+242=402,解得t=16.综上,当t=25 s或16 s时,△BPC为直角三角形.故答案为25或16.
16. (情境题·现实生活)(2023浙江温州龙港期中)商场卫生间 旋转门锁的局部图如图①所示,图②是其示意图.锁芯O固定 在距离门边(EF)3.5 cm处(OD=3.5 cm),在自然状态下,把手竖 直向下(把手底端到达A处).旋转一定角度,使得把手底端B恰 好卡在门边,此时底端A,B的竖直高度差为0.5 cm,则OB的长 度是 cm.当把手旋转到OC⊥OB时,点C与点B的高 度差BH是 cm.
① ②
解析 过B作BM⊥OA于M,过C作CG⊥AO交AO的延长线于 G,如图.由题意可得,AM=0.5 cm,BM=OD=3.5 cm,设OB=OA=x cm,在Rt△BOM中,OM2+BM2=OB2,∴(x-0.5)2+3.52=x2,解得x=12.5,∴OB=OA=12.5 cm,∴BD=OM=OA-AM=12.5-0.5=12(cm),∵OC⊥OB,∴∠BOM=90°-∠COG=∠GCO,
∵OB=OC,∠CGO=90°=∠BMO,∴△BOM≌△OCG(AAS),∴OG=BM=3.5 cm,∴DH=OG=3.5 cm,∴BH=BD+DH=12+3.5=15.5(cm).
三、解答题(共66分)
17. [答案含评分细则](6分)(1)(2024浙江杭州西湖西溪中学 期中)解不等式:5x>3(x-2)+2,并把解集表示在下列数轴上. (2)(2023山东济南中考)解不等式组: 并写出它的所有整数解.
解析 (1)去括号,得5x>3x-6+2,移项、合并同类项,得2x>-4,系数化为1,得x>-2. 2分解集在数轴上表示如图所示. 3分(2)解不等式①,得x>-1,解不等式②,得x<3, 4分
在数轴上表示不等式①②的解集如下: ∴原不等式组的解集是-1
解析 (1)证明:∵CD⊥AB,BE⊥AC,∴∠AEB=∠ADC=90°, 1分在△ABE和△ACD中, ∴△ABE≌△ACD(AAS). 3分(2)∵△ABE≌△ACD,∴AD=AE=6, 4分在Rt△ACD中,AC= = =10, 5分
∵AB=AC=10,∴BD=AB-AD=10-6=4. 6分
19. [答案含评分细则](2024浙江金华东阳期中)(6分)如图,在 8×8的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一 格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1.(要求A与A1, B与B1,C与C1相对应)(2)若有一格点P到点A,B的距离相等,则网格中满足条件的点 P有 个.(3)在直线l上找到一点Q,使QB+QC的值最小.
解析 (1)如图,△A1B1C1即为所求. 2分(2)如图,P1,P2,P3,P4满足到点A,B的距离相等,∴网格中满足条件的点P有4个.故答案为4. 4分(3)如图,点Q即为所求.
20. [答案含评分细则](2023浙江嘉兴桐乡六中开学测试)(8分) 为了测量一条东西流向且两岸平行的河流的宽度,三个数 学研究小组设计了不同的方案,他们在河南岸的点A处测得 河北岸的树H恰好在A的正北方向,测量方案如表:
(1)第二小组认为只要测得CD就能得到河宽AH,你认为第二 小组的方案可行吗?如果可行,请给出证明;如果不可行,请说 明理由.(2)请在第一小组或第三小组中选择一个方案及其数据求出 河宽.
解析 (1)第二小组的方案可行. 1分证明:由题意得∠HAB=∠DCB=90°,AB=BC,∵∠ABH=∠CBD,∴△ABH≌△CBD(ASA), 2分∴AH=CD=40 m,∴河宽为40 m.∴第二小组的方案可行. 3分(2)选择第一小组的方案:由题意得∠HAB=90°, 4分
∵∠BHA=45°,∴∠ABH=90°-∠BHA=45°,∴∠BHA=∠ABH=45°,∴AH=AB=40 m, 5分∴河宽为40 m;选择第三小组的方案:由题意得∠CAB=80°, 6分∵∠CAB是△ABH的一个外角,∠BHA=40°,
∴∠ABH=∠CAB-∠BHA=40°,∴∠BHA=∠ABH=40°, 7分∴AH=AB=40 m,∴河宽为40 m. 8分
21. [答案含评分细则](8分)已知:点O到△ABC的两边AB,AC 所在直线的距离相等,且OB=OC.(1)如图①,若点O在边BC上,求证:AB=AC.(2)如图②,若点O在△ABC的内部,求证:AB=AC.(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?请画出图表示.
解析 (1)证明:过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F(图 略),OE=OF, 1分在Rt△OEB和Rt△OFC中, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), 2分∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. 3分(2)过点O分别作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F(图略), 4分由题意知OE=OF,∠BEO=∠CFO=90°,
在Rt△OEB和Rt△OFC中, ∴Rt△OEB≌Rt△OFC(HL), 5分∴∠OBE=∠OCF,又∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC. 6分(3)不一定成立,当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分 线重合时AB=AC,否则AB≠AC.(如示例图) 8分
22. [答案含评分细则](2023河南中考)(10分)某健身器材专卖 店推出两种优惠活动,并规定购物时只能选择其中一种.活动一:所购商品按原价打八折;活动二:所购商品按原价每满300元减80元.(如:所购商品原 价为300元,可减80元,需付款220元;所购商品原价为770元,可 减160元,需付款610元)(1)购买一件原价为450元的健身器材时,选择哪种活动更合 算?请说明理由.
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时,若选择活动一 和选择活动二的付款金额相等,求一件这种健身器材的原价.(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时,原价在什么范 围内,选择活动二比选择活动一更合算?设一件这种健身器 材的原价为a元,请直接写出a的取值范围.
解析 (1)选择活动一更合算.理由如下:∵450× =360(元),450-80=370(元),360<370, 2分∴选择活动一更合算. 3分(2)设一件这种健身器材的原价为x元,若x<300,则活动一按原价打八折,活动二按原价,此时付款金 额不可能相等;∴300≤x<500, 4分
∴ x=x-80,解得x=400, 5分∴一件这种健身器材的原价是400元. 6分(3)a的取值范围为300≤a<400或600≤a<800.详解:由(2)知a≥300,当300≤a<600时,a-80<0.8a,解得a<400; 7分∴300≤a<400; 8分
当600≤a<900时,a-160<0.8a,解得a<800. 9分∴600≤a<800.综上所述,a的取值范围为300≤a<400或600≤a<800. 10分
23. [答案含评分细则](2024浙江杭州西湖保俶塔申花实验学 校月考)(10分)如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF ⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE.(2)求∠FAE的度数.(3)求证:CD=2BF+DE.
解析 (1)证明:∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE, 1分在△BAC和△DAE中, ∴△BAC≌△DAE(SAS). 3分(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E=45°, 4分
由(1)知△BAC≌△DAE,∴∠BCA=∠E=45°,∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°, 5分∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°. 6分(3)证明:如图,延长BF到G,使得FG=FB,∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中, ∴△AFB≌△AFG(SAS), 7分∴AB=AG,∠ABF=∠G,∵△BAC≌△DAE,∴∠CBA=∠EDA,CB=ED,∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA, 8分
在△CGA和△CDA中, ∴△CGA≌△CDA(AAS), 9分∴CG=CD,∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE. 10分
24. [答案含评分细则](2022浙江宁波海曙期中)(12分)如图,△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,若动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每秒2 cm,设出发的时间为t秒.(1)出发1秒后,求△ABP的周长.(2)当t为何值时,△BCP为等腰三角形?
(3)另有一点Q,从点C开始,按C→B→A→C的路径运动,且速 度为每秒1 cm,若P、Q两点同时出发,当P、Q中有一点到达 终点时,另一点也停止运动.当t为何值时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分?
解析 (1)如图1所示,∵∠C=90°,AB=5 cm,BC=3 cm,∴AC2= AB2-BC2=16,∴AC=4 cm,∵动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且速度为每 秒2 cm,∴出发1秒后,CP=2 cm,∴AP=2 cm,∵∠C=90°,∴PB2 =22+32=13,∴PB= cm,∴△ABP的周长为AP+PB+AB=2+ +5=(7+ )cm. 3分(2)①如图2所示,当P在边AC上,且CP=BC=3 cm时,△BCP为 等腰三角形,此时用的时间为 秒,即t= . 4分
②当P在AB边上时,有三种情况:如图3所示,当BP=CB=3 cm时,AP=2 cm,∴P运动的路程为2+4=6 cm,∴用的时间为6÷2=3秒,即t=3. 5分如图4所示,当CP=BC=3 cm时,过C作斜边AB的高,根据面积 法求得CD=2.4 cm,在Rt△PCD中,PD2=PC2-CD2,∴PD=1.8 cm,∵PC=BC,CD⊥AB,∴PD=BD,∴BP=2PD=3.6 cm,
∴P运动的路程为4+5-3.6=5.4 cm,∴用的时间为5.4÷2=2.7秒,即t=2.7. 6分如图5所示,当BP=CP时,P为斜边AB的中点,∴P运动的路程为4+ =6.5 cm,∴用的时间为6.5÷2= 秒,即t= .综上所述,当t为 或2.7或3或 时,△BCP为等腰三角形.7分(3)①如图6所示,当P在AC上,Q在BC上时,PC=2t cm,CQ=t cm,
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,∴2t+t=4-2t+3-t+5,解得t=2.(此时点P与点A重合) 9分②如图7所示,当P在BC上,Q在AB上时,BQ=(t-3)cm,BP=(2t-9)cm,∴AQ=5-(t-3)=(8-t)cm,CP=3-(2t-9)=(12-2t)cm,∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分,∴4+8-t+12-2t=t-3+2t-9,解得t=6.(此时点P与点C重合)∴当t的值为2或6时,直线PQ把△ABC的周长分成相等的两
部分. 12分 图1 图2
图3 图4
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