1专题07 角中的运动问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编

这是一份1专题07 角中的运动问题-备战2023-2024学年苏科版七年级数学上学期期末考试真题汇编，共25页。试卷主要包含了角平分线，余角、补角，垂直，垂线段最短，点到直线的距离，对顶角性质，角的运动问题等内容，欢迎下载使用。

姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
关键知识点：
1．角平分线：射线OC把∠AOB分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的平分线
2．余角、补角
余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，其中一个角是另一个角的余角
补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角
性质：●同角或等角的余角相等。●同角或等角的补角相等。
3．垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足。
4．垂线段最短：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。
注：直线外一点到这条直线的垂线段只有一条。
5．点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
6．对顶角性质：对顶角相等
7．角的运动问题：解题策略：在某一时刻，利用角的位置（大小），建立方程求解，或借助整体思想、分类讨论思想、数形结合思想进行探究与求解。
一、解答题
1．已知∠AOB=150°，OC为∠AOB内部的一条射线，∠BOC=60°．
（1）如图1，若OE平分∠AOB，OD为∠BOC内部的一条射线，∠COD=1/2∠BOD，求∠DOE的度数；
（2）如图2，若射线OE绕着O点从OA开始以每秒15°的速度顺时针旋转至OB结束、OF绕着O点从OB开始以每秒5°的速度逆时针旋转至OA结束，当一条射线到达终点时另一条射线也停止运动．若运动时间为t秒，当∠EOC=∠FOC时，求t的值；
（3）若射线OM绕着O点从OA开始以每秒15°的速度逆时针旋转至OB结束，在旋转过程中，ON平分∠AOM，试问2∠BON-∠BOM在某时间段内是否为定值；若不是，请说明理由；若是，请补全图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时间段。（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
2．如图，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC＝∠AOD，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s，运动时间为t秒（0＜t＜12，本题出现的角均小于平角）
（1）图中一定有 个直角；当t＝2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；
（2）若OE平分∠COM，OF平分∠NOD，当∠EOF为直角时，请求出t的值；
（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，求t的取值范围，并求出这个定值．
3．我们定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”，如：，，，则和互为“正角”．如图，已知,射线平分, 在的内部，若,则图中互为“正角”的共有___________对．
4．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称
已知：如图2，在平面内，∠AOM=10°，∠MON=20°
（1）若有两条射线，的位置如图3所示，且，，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是_____________
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM=x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE=∠EOH=2∠FOH=20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
5．【阅读理解】射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的“友好线”，例如，如图1，，，则，称射线是射线的友好线：同时，由于，称射线是射线的友好线．
（1）如图2，，射线是射线的友好线，则________；
（2）如图3，，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线与射线重合，并绕点以每秒3゜的速度顺时针旋转，当射线与射线重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻（秒），使得的度数是，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
②当为多少秒时，射线、、中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
6．若A、O、B三点共线，∠BOC=40°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠DOE=90°，∠EDO=30）．
（1）如图1，使三角板的长直角边OD在射线OB上，则∠COE____________°；
（2）将图1中的三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转到图2位置，此时∠COD=1/4∠AOE
，求运动时间t的值；
（3）将图2中的三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，经过t秒后，直线OC恰好平分∠DOE，求t的值．
7．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
8．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB=155°，则∠DOC=_______°，∠DOC与∠AOB的关系是_______；
（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若∠BOC=70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP=x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．
9．如图（1），直线AB、CD相交于点O，直角三角板EOF边OF落在射线OB上，将三角板EOF绕点O逆时针旋转180°．
（1）如图（2），设∠AOE=n°，当OF平分∠BOD时，求∠DOF（用n表示）
（2）若∠AOC=40°，
①如图（3），将三角板EOF旋转，使OE落在∠AOC内部，试确定∠COE与∠BOF的数量关系，并说明理由．
②若三角板EOF从初始位置开始，每秒旋转5°，旋转时间为t，当∠AOE与∠DOF互余时，求t的值．
10．如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF=90°．
（1）若∠COE=30°，则∠BOF= __________．
（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．
（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）
参考答案
一、解答题
1．（1）；（2）t的值为3或7.5；（3）当或时，为定值，此时补全的图形见解析．
【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可；
（2）先求出的度数和t的最大值，从而可知停止运动时，OF在OC的右侧，因此，分OE在OC左侧和右侧两种情况，再根据列出等式求解即可；
（3）因本题中的角均为大于且小于的角，则需分OM与OB在一条直线上、ON与OB在一条直线上、OM与OA在一条直线上三个临界位置，从而求出此时t的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案．
【详解】（1）平分，
；
（2）
由题意知，当OE转到OB时，两条射线均停止运动
此时（秒）
则OF停止转动时，
即OF从开始旋转至停止运动，始终在OC的右侧
因此，分以下2种情况：
①当OE在OC左侧时，
则由得，解得
②当OE在OC右侧时，
则由得，解得
综上，t的值为3或7.5；
（3）射线OM从开始转动至OB结束时，转动时间为（秒）
由题意，分OM与OB在一条直线上（）、ON与OB在一条直线上（）、OM与OA在一条直线上（）三个临界位置
①当时，如图1所示
此时，
则为定值
②当时，如图2所示
此时，
则不为定值
③当时，如图3所示
此时，
则为定值
④当时，如图4所示
此时，
则不为定值
综上，当或时，为定值．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差倍分，较难的是题（3），正确找出三个临界位置是解题关键．
2．（1）4；144°，114°；（2）t的值为10s；（3）当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3
【分析】（1）由直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD即可得到共4个直角；当t＝2时求得∠BOM＝30°，∠NON＝24°，即可得到∠MON、∠BON的度数；
（2）用t分别表示出∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，根据OE平分∠COM，OF平分∠NOD，分别求得∠COE、∠DOF,由∠EOF为直角即∠COE+∠DOF＝90°，列出方程解答即可.
（3）先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
【详解】（1）如图所示，∵两条直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝∠AOD，
∴∠AOC＝∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝∠BOD＝90°，
∴图中一定有4个直角；
当t＝2时，∠BOM＝30°，∠NON＝24°，
∴∠MON＝30°+90°+24°＝144°，
∠BON＝90°+24°＝114°；
故答案为：4；144°，114°；
（2）如图所示，∠BOM＝15t，∠NOD＝12t，∠COM＝15t﹣90°，
∵OE平分∠COM，OF平分∠NOD，
∴∠COE＝∠COM＝（15t﹣90°），∠DOF＝∠DON＝×12t，
∵当∠EOF为直角时，∠COE+∠DOF＝90°，
∴（15t﹣90°）＝×12t，
解得t＝10，
∴当∠EOF为直角时，t的值为10s；
（3）当∠MON＝180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON＝180°，
∴15t+90°+12t＝180°，
解得t＝，
当∠BOM＝90°时，15t＝90°，
解得t＝6，
①如图所示，当0＜t＜时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝∠BOM+∠BOD+∠DON＝15t+90°+12t，
∴＝，（不是定值）
②如图所示，当＜t＜6时，
∠COM＝90°﹣15t，∠BON＝90°+12t，
∠MON＝360°﹣（∠BOM+∠BOD+∠DON）＝360°﹣（15t+90°+12t）＝270°﹣27t，
∴＝=3，（是定值）
综上所述，当射线OM在∠COB内部，且是定值时，t的取值范围为＜t＜6，这个定值是3．
【点睛】此题考察图形中的运动问题，（3）先确定∠MON＝180°时，∠BOM＝90°时t的值，再分两种情况进行计算，得到0＜t＜时不是定值，当＜t＜6时，=3是定值.
3．7
【分析】根据互为“正角”的定义进行解答即可．
【详解】解：∵,射线平分,
∴
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
∵
∴互为“正角”；
故共有7对角互为“正角”
故答案为:7
【点睛】本题考查了新型定义及角的和差关系，掌握角的和差是解题的关键．
4．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意，求出∠AOB2，即可判定其角平分线落在∠MON的内部；
（2）首先由射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，逆推出∠AOC的取值范围，然后即可得出∠COM的取值范围；
（3）分两种情况讨论，利用内含对称的定义列出不等式，即可求解．
【详解】（1）∵∠AOM=10°，∠MON=20°，，
∴∠AOB2=∠AOM+∠B2OM=10°+15°=25°
∴其角平分线落在∠MON的内部
∴与射线OA关于∠MON内含对称的射线是；
（2）若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，则
∴
∵∠COM=x°，∠COM=∠AOC-∠AOM
∴
（3），
，，，，
若射线与射线关于内含对称，
，
；
若射线与射线关于内含对称，
，
，
综上所述：．
【点睛】本题是新定义题，考查了角平分线的性质，一元不等式的应用，理解新定义，运用新定义解决问题是本题的关键．
5．（1）40
（2）①存在，秒或44秒；②，30，，
【分析】（1）根据“友好线”的含义即可完成；
（2）①分两种情况：OC与OD相遇之前，根据180゜减去OC、OD旋转的角度的和等于40度列出方程即可；OC与OD相遇之后，根据OC、OD旋转的角度的和减去180゜等于40゜列出方程即可；
②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；相遇后也分两种情况：是的“友好线”；是的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值．
（1）
∵射线是射线的“友好线”，且
∴
故答案为：；
（2）
射线与重合时，（秒）
①存在
当的度数是时，∠AOC=，
有两种可能：
若在相遇之前，则，即，
；
若在相遇之后，则，即，
；
综上所述，当秒或44秒时，的度数是．
②相遇之前：
（I）如图1，
是的“友好线”时，则，
即，
（II）如图2，
是的“友好线”时，则，
即，
相遇之后：
（III）如图3，
是的“友好线”时，则
即，
（Ⅳ）如图4，
是的“友好线”时，则
即，
所以，综上所述，当，30，，时，、、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了角的运算，解一元一次方程等知识，读懂题目提供的材料，正确分类解决是本题的关键．
6．（1）50；（2）25秒；（3）11或47
【分析】（1）由余角的性质可求解；
（2）由角的数量关系列出等式可求解；
（3）分两种情况讨论即可.
（1）
解：∵∠DOE＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠COE=∠DOE-∠BOC＝90°-40°=50°，
故答案为：50；
（2）
解：∵三角板DOE绕点O以每秒2°的速度按逆时针方向旋转，
∴经过t秒，∠COD=∠BOD-∠BOC=2t-40º，∠AOE=90º-2t，
∵，
∴2t-40º=（90º-2t），
解得t=25.
即运动时间为25秒.
（3）
解：图2中∠AOE=90º-2t=40º，∠D1O E1=∠DOE=90º
∵三角板DOE再绕点O以每秒5°的速度按顺时针转方向旋转一周，
情况①如图：
经过秒后，∠EOE1=5t
∵直线OC恰好平分，
∴
∵∠BOC=40 º
∠AOC=∠AOE+∠EOE1+=140º
即40º+5t+45º=140º
解得：t=11；
情况②如图：
此时有：5t-10º-45º=180º，
解得t=47
故的值为11或47.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，平角的性质等知识，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
7．（1）∠BOC＝∠BOE．（2）①存在，t=2.5或10或31；②40°
【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根据∠AOD＝∠AOC可得答案；
（2）①当OA平分∠COD时∠AOD＝∠AOC、当OC平分∠AOD时∠AOC＝∠COD、当OD平分∠AOC时∠AOD＝∠COD，分别列出关于t的方程，解之可得；
②根据角的和差即可得到结论．
（1）
解：∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）
①存在．
理由：∵∠COE＝130°，∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义、余角的性质及角的计算，根据题意全面考虑所有可能以分类讨论是解题的关键．
8．（1）25 ，互补
（2）①成立，理由见解析；②共有3种情况，当x=35时，互余的角有4对；当x=20时，互余的角有6对；当0【分析】（1）利用周角的定义可得再求解即可得到答案；
（2）①利用结合角的和差运算即可得到结论；②先利用求解再分三种情况讨论：如图，当时，则如图，当时，则如图，当且时，从而可得答案.
（1）
解：
而
故答案为：，互补
（2）
解：①成立，理由如下：
②
如图，当时，则
所以图中以为顶点互余的角有：；；
；共4对；
如图，当时，则
所以图中以为顶点互余的角有：；；
；；；共6对；
如图，当且时，
所以图中以为顶点互余的角有：；；共3对.
【点睛】本题考查的是几何图形中角的和差运算，互余与互补的含义，熟练的运用互余与互补的概念判断余角与补角，清晰的分类讨论是解本题的关键.
9．（1）
（2）①，理由见解析；②4秒或22秒
【分析】（1）利用角的和差关系求解再利用角平分线的含义求解即可；
（2）①设，再利用角的和差关系依次求解， ，，从而可得答案；②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．再分三种情况讨论：如图，当时 ，，如图，当时 ，，如图，当时，，，再利用互余列方程解方程即可.
（1）
解：

∵平分
∴
（2）
解：①设，则，
∴
∴，
∴
②由题意得：与重合是第18秒，与重合是第8秒，停止是36秒．
如图，当时 ，，
则，
∴
如图，当时 ，，
则，方程无解，不成立
如图，当时，，，
则，
∴
综上所述秒或22秒
【点睛】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解，互为余角的含义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
10．（2022·江苏南京·七年级期末）如图，直线、相交于点，，．
（1）若，则 __________．
（2）从（1）的时刻开始，若将绕以每秒15的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分．
（3）从（1）的时刻开始，若将绕点逆时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与、重合的情况）
【答案】（1）30°
（2）11或23秒
（3）或
【分析】（1）根据，，利用余角性质得出∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，根据，利用余角性质得出∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°即可；
（2）解分两种情形，平分，得出，，设运动秒时根据运动转过的角度列方程，平分，，根据运动转过的角度列方程，解方程即可；
（3）分四种情况OE在∠COB内，OE在∠AOC内，OE在∠AOD内，OE在∠DOB内，根据射线是的角平分线∠COP=∠EOP，利用角的和差计算即可．
（1）
解：∵，，
∴∠EOB=90°-∠COE=90°-30°=60°，
∵，
∴∠BOF=90°-∠EOB=90°-60°=30°，
故答案是：30°；
（2）
解分两种情形，
情况一
∵平分，
∴，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
情况二
∵平分，
∴，
设运动秒时，平分，
根据题意得：，
解得：；
综上：运动11或23秒时，直线平分；
（3）
解：∵射线是的角平分线
∴∠COP=∠EOP，∠AOC=∠EOF=90°，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+∠POE，
∵∠COE=∠BOF，
∴∠POE=，
∴，
∵∠COE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠COF=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°-∠COP=90°-，
∴，
∵∠COE=90°+∠BOE=∠BOF，射线是的角平分线，
∴∠POC=，
∴∠AOP=90°+∠COP=90°+，
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用，掌握余角定义，角平分线有关的运算，一元一次方程，分类讨论思想的应用是解题关键。