专题07 实际问题与一元一次方程之十大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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行程问题
例题：（2023上·新疆和田·七年级统考期末）一架飞机在、两地飞行，风速为，它从地顺风飞往地需，它逆风飞行同样的航线需．求
(1)飞机无风时的平均速度；
(2)两地之间的航程．
【答案】(1)飞机无风时的平均速度是
(2)两地之间的航程是
【分析】（1）设飞机无风时的平均速度是．
（2）根据（1）的结论，列出算式即可求解．
【详解】（1）解：设飞机无风时的平均速度是．
，
，
，
，
答：飞机无风时的平均速度是765．
（2）
答：两地之间的航程是．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的的混合运算的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·云南红河·七年级统考期末）沿河县为进一步提升旅游业质量和档次，满足游客消费需求，开通了沿河——洪渡古镇的乌江水上旅游航线，已知游艇在乌江河中来往航行于沿河、洪渡古镇两码头之间，顺流航行全程需2小时，逆流航行全程需3小时，已知水流速度为每小时，求沿河、洪渡古镇两码头间的距离，若设沿河、洪渡古镇两码头间距离为，则所列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设沿河、洪渡古镇两码头间距离为，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设沿河、洪渡古镇两码头间距离为，根据题意得：
．
故选：C
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
2．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考期末）为了打通城市和景区的交通线路，某市新修了高铁线路，使得两地总里程比原来缩短了29千米，高铁行驶速度比原来火车行驶速度的3倍还多9千米，原来的火车行完全程用时3小时，现在高铁用时50分钟，求开通后高铁的平均速度是多少千米/小时？
【答案】开通后高铁的平均速度是228千米/小时
【分析】设原来火车的速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，然后根据路程速度时间建立方程求解即可．
【详解】解：设原来火车的速度为x千米/小时，则高铁的平均速度为千米/小时，
由题意得，，
解得，
∴，
答：开通后高铁的平均速度是228千米/小时．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
配套问题
例题：（2023下·宁夏石嘴山·七年级校考期末）家具厂生产方桌，按设计1立方米木材可制作50个桌面或300个桌腿，现有10立方米木材，怎样分配木材才能使生产的桌面和桌腿恰好配套，并指出共可生产多少张方桌?（一张方桌按1个桌面4条桌腿配置）
【答案】用6立方米的木材生产桌面，4立方米的木材生产桌腿，可生产出300张方桌．
【分析】设有x立方米的木材生产桌面，则有立方米的木材生产桌腿，根据配套关系列方程解答．
【详解】解：设有x立方米的木材生产桌面，则有立方米的木材生产桌腿，
由题意得，
解得：，
（立方米）
方桌有（张）
答：用6立方米的木材生产桌面，4立方米的木材生产桌腿，可生产出300张方桌．
【点睛】此题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意中的配套关系：桌腿的数量是桌面数量的4倍是解题的关键．
【变式训练】
1.（2023上·湖南益阳·七年级校考期末）某车间有35名工人，每人每天能生产螺栓12个或螺母18个，一个螺栓与两个螺母配套，要使每天生产的螺栓与螺母配套，应如何安排生产？若设有名工人生产螺栓，则可列方程 ．
【答案】
【分析】设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，根据“一个螺栓与两个螺母配套”可得螺母数量是螺栓数量的两倍，即可列出方程．
【详解】解：设有名工人生产螺栓，则有名工人生产螺母，
根据题意可列方程为：，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程．
2．（2023上·辽宁抚顺·七年级统考期末）某防护服厂有54名工人，每人每天可加工防护服8件或防护面罩10个，已知一件防护服配一个防护面罩．

(1)为了使每天生产的防护服与防护面罩正好配套，需要安排多少人生产防护服？
(2)由于有新疫情爆发，该厂接到任务，要在10天内加工3000件防护服和3000个防护面罩，按照（1）中的安排，在不增加工人工作量的情况下，该厂是否能按时完成任务？为什么？
【答案】(1)30人
(2)不能，理由见解析
【分析】（1）设需要安排x人生产防护服，则有人生产防护面罩，根据生产的防护服数量等于防护面罩，列出方程解方程即可；
（2）求出10天最多可以完成的套数，然后与3000进行比较即可．
【详解】（1）解：设需要安排x人生产防护服，则有人生产防护面罩，
根据题意，得，
解得：，
（人），
答：需要安排30人生产防护服．
（2）解：不能．
∵，且，
∴在不增加工人工作量的情况下，该厂不能按时完成任务．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．
工程问题
例题：（2023上·宁夏吴忠·七年级校考期末）一件工作由一个人做要500小时完成，现在计划有一部分人先做5小时，再增加8人和他们一起做10小时完成这项工作，先安排多少人工作？
【答案】先安排28人工作
【分析】设先安排人工作，根据有一部分人先做5小时，再增加8人和他们一起做10小时完成这项工作列方程，求解即可．
【详解】设先安排人工作，由题意得
解得，
所以，先安排28人工作．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·云南玉溪·七年级统考期末）为加快红塔区城市更新改造，全面推进全区基础设施建设，提升城市档次和品位，2023年4月起，聂耳路（南北大街一棋阳路）开始封闭施工工程．其中某条地下管线如果由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据乙独做5天的工作量加上甲乙合作x天的工作量=1，进而得出答案．
【详解】解：设甲乙工程队共同铺设天后，恰好完成这条地下管线的铺设，则：
，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
2．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）某公司要生产若干件新产品，需要精加工后，才能投放市场．现在甲、乙两个加工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品．
(1)求这个公司要加工新产品的件数．
(2)在加工过程中，公司需支付甲工厂每天加工费80元，乙工厂每天加工费120元．公司还需另派一名工程师每天到厂家进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费．公司制定产品加工方案如下：可由一个工厂单独加工完成，也可由两个工厂合作同时完成．当两个工厂合作时，这名工程师轮流去这两个工厂．请你通过计算帮助公司从所有可供选择的方案中选择一种既省钱，又省时间的加工方案．
【答案】(1)这个公司要加工960件新产品
(2)该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间
【分析】（1）设这个公司要加工x件新产品，根据甲工厂单独加工这批产品比乙工厂单独加工这批产品多用20天，甲工厂每天可加工16件产品，乙工厂每天可加工24件产品，列出方程式，解出即可；
（2）分别计算三种情况所需要的天数和费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：设这个公司要加工x件新产品，
根据题意，得，解得，
答：这个公司要加工960件新产品；
（2）解：方案①：由甲工厂单独加工需耗时（天，需要费用（元）；
方案②：由乙工厂单独加工需耗时（天），需要费用（元）；
方案③：由两厂共同加工需耗时（天），需要费用（元）．
所以该公司应选择第③种方案，由两个工厂合作同时完成时，既省钱，又省时间．
【点睛】本题主要考查一元一次方程和最优方案问题，要认真读题，列出相应的方程．
销售盈亏
例题：（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）工业园区某服装厂加工A，B两种款式的学生服共100件，加工A种学生服的成本为每件80元，加工B种学生服的成本为每件100元，加工两种学生服的成本共用去9200元．
(1)A、B两种学生服各加工多少件？
(2)服装厂将这批学生服送到市场部销售，A种学生服的售价为200元，B种学生服的售价为220元，在销售过程中发现A种学生服的销量不好，A种学生服卖出一定数量后，服装厂决定余下的部分按原价的八折出售，两种学生服全部卖出后，共获利10520元，则A种学生服卖出多少件后打折销售？
【答案】(1)种运动服加工40件，种运动服加工60件
(2)种运动服卖出3件时开始打八折销售
【分析】（1）设种运动服加工件，种运动服加工件，根据加工两种学生服的成本共用去9200元，再建立方程求解即可．
（2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据两种学生服全部卖出后，共获利10520元，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意可得：
解得：，
则（件）
答：种运动服加工40件，种运动服加工60件；
（2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意可得：
整理得，
解得：，
答：种运动服卖出3件时开始打八折销售．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系建立方程是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·新疆和田·七年级统考期末）一家商店将某种计算器按进价提高后标价，再以8折（即按标价的）售出，结果每台计算器仍可获利15元．设该计算器的进价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设该计算器的进价为x元，根据将某种计算器按进价提高后标价，再以8折（即按标价的）售出，结果每台计算器仍可获利15元列出方程即可．
【详解】解：设该计算器的进价为x元，根据题意得：
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握利润售价进价．
2．（2023上·河北张家口·七年级统考期末）七年级（1）班课外阅读小组要购买单价分别是18元、10元的A、B两种书．
(1)若两种书共买了10本付款172元，求每种书各买了多少本？
(2)买10本时付款可能是143元吗？请说明理由．
【答案】(1)单价为18元的书买了9本，单价为10元的书买了1本
(2)不可能，理由见解析
【分析】（1）设单价为18元的书买了本，则单价为10元的书买了本，根据总金额为172元列方程解答即可；
（2）设买了单价为18元的书本，则买了单价为10元的书本，根据总金额为143元列方程解答并检验即可．
【详解】（1）解：设单价为18元的书买了本，则单价为10元的书买了本，
依题意，得：
解得：，则（本）
答：单价为18元的书买了9本，单价为10元的书买了1本．
（2）不可能，理由如下：
设买了单价为18元的书本，则买了单价为10元的书本，
依题意，得，得，
而是分数，付款不可能是143元．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键．
比赛积分
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）年卡塔尔世界杯已于12月19日完美落下帷幕，在欧洲区预选赛中某小组某队以不败的战绩踢完12场积了18分．
(1)已知足球积分为胜一场积3分，平一场积1分，则该队现在胜、平各几场？
(2)为了鼓励该队获得好成绩，该队的赞助商制定了一个奖励机制，每位球员胜一场获得欧元奖励，平一场获得欧元奖励，则该队一位球员能获得多少报酬？
【答案】(1)胜3场，平9场；
(2)欧元
【分析】（1）设该队胜x场，则平场，根据题意列方程，求解即可得到答案；
（2）根据题意列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设该队胜x场，则平场，
根据题意得：，
解得：，
答：该队胜3场，平9场；
（2）解：根据题意得：（欧元），
答：该队一位球员能获得欧元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的四则混合运算的应用，找出题目中的数量关系正确列方程是解题关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建厦门·七年级统考期末）如表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛没有平局）．
(1)观察积分榜，请直接写出球队胜一场积____分，负一场积____分；
(2)根据积分规则，请求出E队已经进行了的11场比赛中胜、负各多少场？
【答案】(1)2；1
(2)E队胜2场，负9场
【分析】（1）根据A队积分为22分，设球队胜一场积x分，则负一场积分，根据B队积分为21分，列出方程解方程即可；
（2）E队已经进行了的11场比赛中胜了m场，则负了场，根据积分为13分列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：设球队胜一场积x分，则负一场积分，根据题意得：
，
解得：，
，
故答案为：2；1．
（2）解：E队已经进行了的11场比赛中胜了m场，则负了场，根据题意得：
，
解得：，
（场），
答：E队胜2场，负9场．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程．
2．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校积极推进“阳光体育”工程，本学期在七年级11个班中开展篮球单循环比赛（每个班与其它班分别进行一场比赛，每班需进行10场比赛）．比赛规则规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场得2分，负一场得1分．如果某班打完10场比赛中得14分，那么该班胜负场数分别是多少场？
【答案】该班胜4场，负6场
【分析】设该班胜场，则该班负场，根据题意即可列出一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设该班胜场，则该班负场，
依题意得：，
解得，
负场数为：，
答：该班胜4场，负6场．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解决本题的关键
方案选择
例题：（2023上·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
【答案】(1)，
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元
【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；
（2）由（1）列等式求解即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；
按B方案购买可列式：元；
故答案为：，；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即
解得．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当时，
按A方案购买需付款：（元）；
按B方案购买需付款：（元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
（元）；
∵，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．
【变式训练】
1．（2023上·河南郑州·七年级统考期末）为抗击新冠肺炎疫情，郑州市某药店对消毒液和口罩开展优惠活动．酒精消毒液每瓶定价元，口罩每盒定价元，优惠方案有以下两种：
①以定价购买时，买一盒口罩送一瓶消毒液；②消毒液和口罩都按定价的付款．现某客户要到该药店购买消毒液瓶，口罩盒．
(1)若该客户按方案①购买，需付款______ 元(用含x的式子表示)；若该客户按方案②购买，而付款______ 元(用含x的式子表示并化简)．
(2)若，请通过计算说明按方案①，方案②哪种方案购买较为省钱？
(3)试求当取何值时，方案①和方案②的购买费用一样．
【答案】(1) ；
(2)选择方案购买较为合算
(3)当时，方案①和方案②的购买费用一样
【分析】根据题意列代数式方案需付费为：，方案需付费为：，化简即可得出答案；
根据题意把代入中的代数式即可得出答案；
根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：方案需付费为：元；
方案需付费为：元；
故答案为：，；
（2）解：当时，
方案需付款为：(元，
方案需付款为：元，
，
选择方案①购买较为合算；
（3）由题意得，，
解得，
答：当时，方案和方案的购买费用一样．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键．
2．（2023上·广东韶关·七年级统考期末）某公园为了吸引更多游客，推出了“个人年票”的售票方式（从购买日起，可供持票者使用一年），年票分A、B二类：A类年票每张49元，持票者每次进入公园时，再购买3元的门票；B类年票每张64元，持票者每次进入公园时，再购买2元的门票．
(1)游客在一年中游该公园次，则购买A、B类年卡的费用各是多少?
(2)若购买A、B两类的费用一样多，则该游客应游多少次?
(3)若游客预算在一年中游该公园总费用为100元（只含年票和每次进入公园的门票），请你通过计算比较，选择购买A、B两类中哪种比较优惠?
【答案】(1)购买A类年卡的费用是元；购买B类年卡的费用是元；
(2)15次
(3)B类比较优惠
【分析】（1）用年票的价格加上门票的价格即可；
（2）根据（1）列方程解答即可；
（3）设用100元购买A类门票可进入该公园的次数为x次，购买B类门票可进入该公园的次数为y次，根据总费用列得方程，求出x、y，比较大小即可得到答案．
【详解】（1）解：购买A类年卡的费用是元；
购买B类年卡的费用是元；
（2）由题意得，
解得，
∴该游客应游15次；
（3）设用100元购买A类门票可进入该公园的次数为x次，购买B类门票可进入该公园的次数为y次，则
，解得；
，解得，
∵，
∴购买B类门票比较优惠．
【点睛】此题考查了列代数式、一元一次方程的实际应用，解题的关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程再求解．
数字问题
例题：（2023上·湖南湘西·七年级统考期末）一个两位数个位上的数是1，十位上的数是．把1与对调，新两位数比原两位数大9．根据题意列出的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先表示出原来的两位数和新两位数，根据新两位数比原两位数大9建立方程即可．
【详解】解：由题意得：原两位数是，新两位数是
则，
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·四川宜宾·七年级统考期末）一个两位数，个位数字与十位数字之和为，若交换这个两位数的个位与十位数字，则所得的两位数比原两位数大，则这个两位数是 ．
【答案】
【分析】根据题意，设这个两位数的个位数为，则十位上的数字为，交换这个两位数的个位与十位数字后的数为，根据等量关系列方程求解即可．
【详解】解：设这个两位数的个位数为，则十位上的数字为，
∴这个两位数是，则交换这个两位数的个位与十位数字后的数为，
∵交换后所得的两位数比原两位数大，
∴，
整理得，，
解得，，
∴这个两位数的个位数字是，十位数字式，
∴这个两位数是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的运用，掌握运用字母表示两位数的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键．
2．（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则代数式的值为 ．
【答案】9
【分析】由题意可得斜对角线上的三个数字之和等于第一、二、三行三个数字之和，依次列出等式，将三个式子相加即可得到结果．
【详解】解：由题意可得，①，
②，
③，
①+②+③得，，
整理得，，
则．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查代数式求值，明确定义，列出相应的等式是解题关键．
几何问题
例题：（2023上·湖南永州·七年级统考期末）如图，已知数轴上有两点，点在原点的右侧，到原点的距离为3，点在点的左侧，．动点分别从两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为2个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒．

(1)点表示的数为________，点表示的数为________；
(2)若动点均向右运动．
①当时，点对应的数是________，两点间的距离为________个单位长度．
②请问当为何值时，点追上点，并求出此时点对应的数；
(3)若动点从点向左运动到原点后返回到点停止，动点从点向右运动，当点停止时，点也停止运动．请直接写出当为何值时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍．
【答案】(1)；
(2)①；②当时，点追上点，此时点对应的数为；
(3)当，或时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍
【分析】（1）根据“点在原点的右侧，到原点的距离为3”可确定点表示的数；由“点在点的左侧，”可确定点表示的数；
（2）①分别计算出两点的运动路程即可求解；②当点追上点时，点对应的数与点对应的数相同，据此可求解；
（3）分情况讨论、 、、即可求解．
【详解】（1）解：∵点在原点的右侧，到原点的距离为3
∴点表示的数为：
∵点在点的左侧，
∴点表示的数为：
故答案为：；
（2）解：①当时，
点向右运动了个单位长度，点向右运动了个单位长度
∴点对应的数为：，点对应的数为：，
两点间的距离为：个单位长度
故答案为：；
②当点追上点时，可得点对应的数与点对应的数相同
故
解得：
∴点对应的数为：
（3）解：当停止时，所用时间为
当时：
解得：
当时：
解得：（舍去）
当时：
解得：
当时：
解得：
综上所述：当，或时，在和三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的4倍
【点睛】本题考查数轴上两点的距离、数轴上及有理数在数轴上的表示、一元一次方程-行程问题的理解与实际运用能力，熟练掌握相关知识点，恰当应用分类思想解决问题是解本题关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南驻马店·七年级校考期末）如图，已知A，B两点在数轴上，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（ ）

A．5秒B．5秒或者4秒
C．5秒或者秒D．秒
【答案】C
【分析】由确定点B表示的数为20，由点M、点N分别到原点O的距离相等，分别表示出，建立方程求解．
【详解】解：∵点A表示的数为，
∴，
∴点B表示的数为20，
设经过x秒，点M运动距离为x，则点M表示的数为，点N运动的距离为，点N表示的数为，
∴，，
根据题意,得：，即，
∴或，
解得：或，
即经过5秒或秒后，点N到原点O的距离相等；
故选：C．
【点睛】本题考查数轴上点的表示；结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键．
2．（2023上·河北邢台·七年级校考期末）如图1，已知数轴上点A对应的数为6，点B对应的数为，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒．

(1)A，B两点间的距离是_______；当点P运动到AB的中点时，点P所对应的数为_______；
(2)当时，求t的值；
(3)如图2，当点P运动时，点Q同时从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动．

①求t为何值时，点P，Q相遇？
②在线段与线段中，当一条线段是另外一条线段的2倍时，请直接写出t的值．
【答案】(1)10；1
(2)点P在点B右侧时，；点P在点B左侧时，
(3)①时，点P，Q相遇；②t的值为或5或10
【分析】（1）根据A，B两点所表示的数即可确定A，B两点间的距离，即可求出线段AB的中点所表示的数；
（2）根据，列出方程，分点P在点B左侧与右侧讨论即可；
（3）由P，Q的出发点及速度，根据时间t表示出P，Q对应的数，根据题给条件列出方程即可解答．
【详解】（1）∵点A对应的数为6，点B对应的数为，
∴A，B两点间的距离为10，线段AB的中点所表示的数为，
故答案为：10；1；
（2）点P在点B右侧时，依题意可知，，当时，即，解得：；
点P在点B左侧时，依题意可知，，当时，即，解得；
∴点P在点B右侧时，；点P在点B左侧时，；
（3）①依题意可知，解得，
即当时，点P，Q相遇；
②当时，
点P，Q相遇前，得，解得，
点P，Q相遇后，得，解得，
当时，
点P，Q相遇前，t不存在，
点P，Q相遇后，得，解得，
综上，t的值为或5或10．
【点睛】本题考查了数轴上的点及点的动态问题，一元一次方程的运用，解题的关键是熟练掌握数轴，一元一次方程相关知识及数形结合思想的运用．
古代问题
例题：（2023上·甘肃兰州·七年级校考期末）古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百里．驽马日行一百二十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走200里，跑得慢的马每天走120里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？（用一元一次方程求解）
【答案】快马18天可追上慢马
【分析】设快马x天可追上慢马，则此时慢马走了天，根据快马追上慢马时，两马所走路程相同，列出方程求解即可．
【详解】解：设快马x天可追上慢马，则此时慢马走了天，
，
解得：，
答：快马18天可追上慢马．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．
【变式训练】
1．（2023上·江西赣州·七年级于都县第二中学校考期末）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为x人，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据羊的总价不变，列方程即可．
【详解】解：设买羊的人数为x人，
根据题意，可列方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
2．（2023上·江苏南通·七年级启东市长江中学校考期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？
译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有 人，这个物品的价格是 元．
【答案】 7 53
【分析】设共同购买该物品的有x人，根据每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元得出关于x的一元一次方程求解即可．
【详解】解：设共同购买该物品的有x人，
依题意得：，
解得：，
∴．
故答案为：7；53．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
电费和水费问题
例题：（2023上·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
注：水费按月结算
(1)若某户居民1月份用水，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水，且4月份用水量超过，3月份用水量超过，共交水费94元，则该户居民3、4月份各用水多少m³?
【答案】(1)18
(2)水费为元
(3)该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为
【分析】（1）利用表格中收费标准求解即可；
（2）分不超过的部分、超过不超过的部分、超过的部分三部分计算求和即可；
（3）设3月份的用水量为，则4月份的用水量为，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：（元），
故答案为：18；
（2）解：由题意，当时，水费为元．
（3）解：设3月份的用水量为，则4月份的用水量为．
根据题意，，
则，
解得，
4月份的用水量为．
答：该户居民3月份的用水量为，4月份的用水量为．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，找到所需的等量关系，并正确列出代数式和方程是解答的关键．
【变式训练】
1．（2023上·福建福州·七年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某市电力公司实行“阶梯电价”收费，收费标准如下表：
(1)小明家今年3月份用电310度，求小明家3月份应缴电费多少元？
(2)小明家今年7月份用电增大，7月份的平均电价为元/度，求小明家今年7月份用电多少度？
【答案】(1)3月份应缴电费166元
(2)7月份用电750度
【分析】（1）根据题意列算式求解即可；
（2）设 7 月份用电 x度 ，依题意可得 ，进而列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：（元），
答： 3月份应缴电费166元．
（2）解：设 7 月份用电 x度 ，依题意可得 ，
则，
解得，
答： 7 月份用电 750 度．
【点睛】本题考查有理数四则混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出算式和方程是解答的关键．
2．（2023上·山东济宁·六年级统考期末）为鼓励居民节约用电，某地试行阶梯电价收费制，具体执行方案如表：
(1)小王家四月份若用电180度，则他家该月需缴电费______元；若用电400度，则他家该月需缴电费______元；
(2)若小王家八月份用电x度，用x的代数式表示他家八月份需交电费______元；若小王家八月份用电x度，用x的代数式表示他家八月份需交电费______元；
(3)若小王家九月份需缴电费252元．问他家该月用了多少度电？
【答案】(1)90；220；
(2)；；
(3)他家该月用了440度电
【分析】（1）根据阶梯电价收费制，用电180度在第一档，则需缴电费元；用电400度，在第二档，则需缴电费元；
（2）根据阶梯电价收费制，用电x度，需交电费元；用电x度，需交电费元，化简即可；
（3）设他家该月用了x度电，根据小王家九月份需缴电费252元，列出方程计算即可求解．
【详解】（1）解：若用电180度，则他家该月需缴电费元，
若用电400度，则他家该月需缴电费元，
故答案为：90；220；
（2）解：小王家八月份用电x度，
则他家八月份需交电费为元，
若小王家八月份用电x度，
则他家八月份需交电费为元；
故答案为：；；
（3）解：设他家该月用了x度电，
因为，
所以，
依题意得：
，解得．
故他家该月用了440度电．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键足要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
一、单选题
1．（2023下·广东汕头·七年级校考期末）一张试卷25题，若做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分，则他做对的题目数是（ ）
A．18B．17C．19D．20
【答案】C
【分析】设他做对的题目数是x，则做错的题目数为，根据“做对了一题得4分，做错了一题扣1分，小李做完此卷后得70分”列出方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设他做对的题目数是x，则做错的题目数为，由题意得到，
解得，
∴他做对的题目数是，
故选：C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）某人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下，用了24秒；若他站在自动扶梯上不动，从楼上到楼下要用56秒．若扶梯停止运动，他从楼上走到楼下要用( )
A．32秒B．38秒C．42秒D．48秒
【答案】C
【分析】设楼上到楼下的路程为1，人从楼上走到楼下所用的时间为x秒，则人沿正在向下运动的自动扶梯从楼上走到楼下的速度为，他站在自动扶梯上不动，下楼速度为，则他步行下楼的速度为，据此列方程求解即可．
【详解】解：设楼上到楼下的路程为1，人从楼上走到楼下所用的时间为x秒，
由题意得，，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系是解题的关键．
3．（2023下·吉林长春·七年级统考期末）儿童节过后，某超市将节日期间没有销售完的一款玩具礼盒进行打折销售，这款玩具礼盒每盒进价为元，标价为元，若保证利润率是，则需要打（ ）
A．六折B．七折C．八折D．九折
【答案】C
【分析】设打折出售，由利润率是，列出方程，即可求解．
【详解】解：设打折出售，
由题意可得：，
解得：，
答：打八折出售，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．
4．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺．则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据“绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程组．
【详解】解：设竿子长为x尺，则索长为尺，
依题意得：，即，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
5．（2023上·山东淄博·六年级统考期末）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有x只，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】根据实际可知，鸡有两条腿，兔子有四条腿，再根据有若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿，即可列出相应的方程．
【详解】解，设鸡只，则可列方程为，．
故答案为：．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列出相应的方程．
6．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．如图就是一个三阶幻方，正方形的每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，在这个三阶幻方中，的值为 ．
【答案】4
【分析】根据题意，可得，即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：4
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
7．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）某学校组织秋游，原计划用40座的客车若干辆，则10人没有座位；如果用同样数量的50座客车，则多出2辆，且其余全部坐满．参加秋游的学生一共有 名．
【答案】
【分析】设原计划用车辆，根据题意参加秋游的学生人数可列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设原计划用车辆，依题意有
，
解得，
．
故参加秋游的学生一共有名．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．
8．（2023下·山东烟台·七年级统考期末）如图，长方形被分割成六个正方形，其中最小正方形的面积等于1，则长方形的面积为 ．

【答案】143
【分析】设第四个大正方形的边长为，然后依次把其他正方形的边长表示出来，列方程求解即可．
【详解】设第四个大正方形的边长为（如图所示）．

，故最小的正方形的边长为1；
，
，
∴，
长方形的长：，
长方形的宽：，
长方形的面积：，
故答案为：143．
【点睛】本题主要考查整式的运算及一元一次方程的应用，关键是设出未知数表示出正方形的边长即可．
三、解答题
9．（2023上·江苏盐城·七年级统考期末）“戴口罩，常通风，勤洗手，少聚集”是预防新冠奥密克戎病毒传染的有效举措．已知一只口罩28元，现在打折促销，支付时还可以减1元，实际支付了元，请用列方程的方法求该口罩销售时打了几折？
【答案】该口罩打了折销售
【分析】设该口罩打折销售，依题意得，计算求解即可．
【详解】解：设该口罩打折销售，
依题意得，解得．
答：该口罩打了折销售．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
10．（2023上·河北邢台·七年级校联考期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需要3个甲种零件和1个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件540个或乙种零件120个，现要在10天中使所生产的甲、乙两种零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，多少天生产乙种零件？
【答案】应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．
【分析】根据题意表示出甲乙两件的个数，再利用每台豆浆机需3个甲种零件和1个乙种零件正好配套得出等式，求出答案．
【详解】解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件，
根据题意可得： ，
解得：， 则（天），
答：应该安排4天生产甲种零件，则安排6天生产乙种零件．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
11．（2022下·贵州黔南·七年级统考期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？
【答案】醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶
【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数．
【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，，
依题意得：，
解得：，
∴，
答：醇酒有瓶，薄酒有瓶．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
12．（2023下·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．
(1)问甲、乙两人每天各加工多少个零件？
(2)现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．
【答案】(1)甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个
(2)两人合作的天数15天
【分析】（1）设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，根据甲、乙两人一天共加工零件35个列出方程，解方程即可；
（2）设两个人合作的天数为y天，根据甲、乙两人共加工600个零件，列出方程解方程即可．
【详解】（1）解：设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，根据题意得：
，
解得：，
（个），
答：甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个；
（2）解：设两个人合作的天数为y天，根据题意得：
，
解得：，
答：两人合作的天数15天．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，准确计算．
13．（2023下·河南新乡·七年级统考期末）随着生活水平的提高，人们越来越重视运动健身.为了满足大众需求，某体育运动品牌店铺推出了A，B两种运动套装，每套A运动套装的成本为120元，每套B运动套装的成本为100元，每套B运动套装的售价比每套A运动套装的售价少40元，卖3套A运动套装的利润和卖4套B运动套装的利润相同．
(1)求每套A运动套装和B运动套装的售价；
(2)为了吸引顾客，该体育运动品牌店铺针对这两种运动套装新推出以下两种促销方案：
方案一：50元购买一张打折优惠券后（限购一张），买这两种运动套装均打七五折；
方案二：每满50元立减10元．
若小明准备购买1套A运动套装和1套B运动套装，请你算算，哪种方案更划算？
【答案】(1)每套A运动套装的售价为200元，则每套B运动套装的售价为160元；
(2)选择方案二更划算．
【分析】（1）根据“卖3套A运动套装的利润和卖4套B运动套装的利润相同”列方程求解；
（2）先算每种方案所需要的钱数，再比较大小．
【详解】（1）解：设每套A运动套装的售价为x元，则每套B运动套装的售价为元，
由题意得：，
解得：，
∴，
答：每套A运动套装的售价为200元，则每套B运动套装的售价为160元；
（2）解：按照方案一：（元），
按照方案二：，（元），
∵，
∴选择方案二更划算．
【点睛】本题考查了一元一次方程方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
14．（2023上·广东茂名·七年级统考期末）将连续的奇数1，3，5，7，9，…，排成如图所示的数阵．
(1)写出数表所表示的规律；（至少写出2个）
(2)设中间数为a，用式子表示十字框中五个数之和；
(3)若将十字框中上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数之和能等于2022吗？若能，请写出这五个数；若不能，说明理由．
【答案】(1)相邻两数相差2、上下两数相差10，等
(2)
(3)不能，见解析
【分析】（1）直接观察十字框中的五个数，归纳规律即可解答；
（2）设中间数为a，然后表示出十字框中的其他4个数，然后相加即可解答；
（4）设中间的数为x，其他4个数分别为、、、，令其相加等于2022，算出x的值，结合数阵数的特点即可解答．
【详解】（1）解：观察十字框中的五个数可得：相邻两数相差2、上下两数相差10等（答案不唯一）．
（2）解：设中间数为a，则另4个数分别为
所以．
（3）解：依题意可得：，解得：
因为不是整数，与题目的a是奇数不符，所以5数之和不能等于2022．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、数字的变化规律等知识点，根据十字框中5个数的特点找出十字框中的五个数的和是中间数的5倍是解题的关键．
15．（2023上·河北沧州·七年级统考期末）在“节能减排，做环保小卫士”活动中，小明对两种照明灯的使用情况进行了调查，得出如下表所示的数据．已知这两种灯的照明效果一样，小明家所在地的电价是每度元．（注：用电度数=功率（千瓦）×时间（小时），费用=灯的售价+电费）
(1)在白炽灯的使用寿命内，设照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为_______元，一盏节能灯的费用为_______元；（用含x的式子表示）
(2)在白炽灯的使用寿命内，照明多少小时时，使用这两种灯的费用相等？
(3)如果计划照明4000小时，购买哪一种灯更省钱？请你通过计算说明理由．
【答案】(1)；
(2)800小时
(3)购买节能灯省钱，理由见解析
【分析】（1）由功率乘以时间，再乘以单价，加上灯的价格分别列式可得答案；
（2）由费用相等建立方程，再解方程可得答案；
（3）分别计算当时，白炽灯的费用与节能灯的费用，再比较即可．
【详解】（1）解：照明时间为x小时，则一盏白炽灯的费用为元，
一盏节能灯的费用为；
（2）依题意，得，
解得．
答：照明800小时时，使用这两种灯的费用相等；
（3）购买节能灯省钱；
理由：当时，
白炽灯的费用为（元），
节能灯的费用为（元），
所以购买节能灯省钱．
【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式与列方程是解本题的关键．
16．（2023上·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）某学校计划购买书柜20张和书架x只（），现从A、B两家超市了解到：书柜每张300元，书架每只80元．A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一只书架；B超市的优惠政策为所有商品八折．
(1)若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元（用含x的式子表示），到B超市购买费用是_____元（用含x的式子表示）；
(2)在（1）的条件下，当购买书架x多少只时？到A、B两家超市购买费用相等．
(3)学校要购买20张书柜和60只书架．
①若学校到同一家超市选购所有商品，则到A超市购买费用是______元，到B超市购买费用是____元；
②假如你是本次购买的负责人，且可到两家超市自由选购，请你设计一种购买方案，使购买费用更少，并求出购买费用是多少元？
【答案】(1)
(2)25只
(3)①9200，8640 ②8560元
【分析】（1）根据两个超市的优惠政策列代数式即可；
（2）根据购买费用相等以及（1）题中的代数式列方程求解即可；
（3）①将书架数量为60分别代入（1）题中的代数式求解即可；②选择最便宜的方案后再代入计算即可．
【详解】（1）解：A超市：由题意得，在A超市只需买20张书柜及只书架，
∴A购买费用为：元
B超市费用为：元
故答案为：，
（2）解：由题意得：
解得：，
答：购买25只书架时，到A、B两家超市购买费用相等．
（3）①解：将代入
得元
将代入
得元
故答案为： 9200，8640；
②到A超市购买20个书柜（赠送20个书架），到B超市购买40只书架
元．
答：购买费用是8560元．
【点睛】本题主要考查列代数式以及一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解决本题的关键．
17．（2023上·河北廊坊·七年级统考期末）以下是2022年世界杯女篮比赛决赛中三个国家的积分榜：
已知每个国家总比赛场次为5场．请仔细观察表中数据，完成以下问题：
(1)由表可得负一场积___________分，所有参赛国家最高可能积___________分．
(2)若一个国家负场（，且为整数），用含的式子表示该国家的总积分为___________；
(3)某国家的胜场总积分能否等于它的负场总积分的2倍？请通过列方程计算说明；
(4)已知中国队时隔28年追平历史最好成绩，夺得世界杯亚军，若中国队胜场总积分是负场总积分的8倍，则中国队的总积分为___________分．
【答案】(1)1；10
(2)分
(3)不能，理由见解析
(4)9
【分析】（1）根据波黑负的场次和得分可求出负1场得分，根据韩国得分可求出胜1场的分数，即可得出最高得分；
（2）根据“胜场分数+负场分数=总积分”可得结果；
（3）根据总积分的关系得出方程，解出x的值后结合实际进行判断即可．
（4）解题方法同（3）
【详解】（1）波黑胜场为0，负场为5，积分为5，
所以，负1场得分为（分）
韩国胜1场负4场，积分为6分，
所以，胜1场的得分为：（分），
因为共5场，最多5场全胜，
所以，最高得分为：（分）
故答案为：1；10；
（2）由（1）知，胜1场得2分，抽1场得1分，总场数为5场，
又，负m场，胜场，
所以，总积分为：分
故答案为：分
（3）不能，
设胜场为x场，则负场为场，根据题意得，
解得，
因为比赛场次不能为分数，
所以，胜场总积分不能等于它的负场总积分的2倍
（4）设中国队胜场为n场，则负场为场，根据题意得，
解得，
所以，负场为：场
则中国队的总积分为：（分）
故答案为：9
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分，另外第三问的解答要注意结合实际进行判断．
18．（2023上·河南洛阳·七年级统考期末）如图①，在长方形中，，．点P沿边从点力开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．
设点P，Q同时出发，用表示移动的时间．
【发现】________，________cm．（用含t的代数式表示）
【拓展】（1）如图①，当________时，线段与线段相等？
（2）如图②，点P，Q分别到达B，A后继续运动，点P到达点C后都停止运动．当t为何值时，?
【探究】若点P，Q分别到达点B，A后继续沿若的方向运动，当点P与点Q第一次相遇时，请写出相遇点的位置并说明理由．
【答案】发现：，；拓展：（1）1；（2）；探究：点P与点Q第一次相遇在点C处，理由见解析
【分析】发现：根据长方形的性质及动点速度列代数式即可；
拓展：（1）根据题意列出方程求解即可；（2）由题意，得，，列出方程求解即可；
探究：设点P经过t秒能追上Q点，根据题意列出方程，然后由线段长短求解即可．
【详解】解：发现：∵在长方形中，，．
∴，
∵点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，表示移动的时间，点P沿边从点力开始向点B以的速度移动；
∴；；
故答案为：，；
拓展：（1）∵线段AQ与线段AP相等，
∴
解得：，
故答案为：1；
（2）由题意，得，，
所以，
解得
即当时，；
探究：解：点P与点Q第一次相遇在点C处．
理由如下：设点P经过t秒能追上Q点．则根据题意列方程如下：
，
解得，
∴点Q走过的路程为：，
∴，，
则点P与点Q第一次相遇在点C处．
【点睛】本题主要考查列代数式及一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．
球队
比赛场次
胜场
负场
积分
A
12
10
2
22
B
12
9
3
21
C
12
7
5
19
D
11
6
5
17
E
11
…
…
13
7
c
11
b
a
19
每月用水量
单价
不超过的部分
3元
超过不超过的部分
4元
超过的部分
6元
每户每月用电量（度）
电费（元/度）
不超过200度
超过200度且不超过500度的部分
超过500度的部分
档次
每户每月用电数（度）
执行电价（元/度）
第一档
小于等于200部分
第二档
大于200小于等于400部分
第三档
大于400部分
10
5
m
13
功率
使用寿命
价格
白炽灯
千瓦
2000小时
3元/盏
节能灯
千瓦
4000小时
35元/盏
国家
比赛场次
胜场
负场
积分
波多黎各
5
2
3
7
韩国
5
1
4
6
波黑
5
0
5
5