专题11 线段上的动点与几何图形动角的探究问题之六大题型-【备考期末】2023-2024学年七年级数学上学期期末真题分类汇编（人教版）

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线段上动点求时间问题
例题：（2023上·山西太原·七年级校考期末）如图，直线上有，，，四个点，，，．

(1)线段______
(2)动点，分别从A点，点同时出发，点沿线段以3/秒的速度，向右运动，到达点后立即按原速向A点返回；点沿线段以1/秒的速度，向左运动；点再次到达A点时，两点同时停止运动．设运动时间为（单位：秒）
①求，两点第一次相遇时，运动时间的值；
②求，两点第二次相遇时，与点A的距离．
【变式训练】
1．（2023上·江西吉安·七年级统考期末）如图，的边上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段，射线运动，速度为3cm/s：动点Q从点O出发，沿射线运动，速度为2cm/s，点P、Q同时出发，设运动时间是t（s）．

(1)当点P在上运动时，t为何值，能使？
(2)若点Q运动到距离O点16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由；
(3)若P、Q两点不停止运动，当P、Q均在射线上，t为何值时，它们相距1cm．
线段上动点定值问题
例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）线段和在数轴上运动，A开始时与原点重合，且
(1)若，且B为线段的中点，求线段的长．
(2)在（1）的条件下，线段和同时开始向右运动，线段的速度为5个单位/秒，线段的速度为3个单位/秒，经过t秒恰好有，求t的值．
(3)在（1）的条件下，若线段和同时开始向左匀速运动，线段的速度为m个单位/秒，线段的速度为n个单位/秒，设M为线段中点，N为线段中点，此时线段的长为定值吗？若是请求出这个定值，若不是请说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·福建泉州·七年级校考期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
(1)【理解与应用】
如图，点C在线段AB上．若，，则________；若，则________．
(2)【拓展与延伸】
已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，求m的值；
②t为何值时，．
几何图形中动角定值问题
例题：（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）已知，．平分，平分．
(1)如图1，当重合时，求的值；
(2)如图2，当从图1所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒时（），在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值：若发生变化，请说明理由．
(3)在（2）的条件下，当时，求t的值．
【变式训练】
1．（2023上·湖北武汉·七年级校考期末）如图，，，射线平分，射线平分（本题中的角均为大于且小于的角）．
(1)如图，当，重合时，求的度数；
(2)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，的值是否为定值？若是定值，求出的值，若不是，请说明理由．
(3)当从图中所示位置绕点O顺时针旋转n度时，与具有怎样的数量关系？
几何图形中动角数量关系问题
例题：（2023上·甘肃白银·七年级统考期末）【问题回顾】我们曾解决过这样的问题：如图1，点在直线上，，分别平分，，可求得．（不用求解）

【问题改编】点在直线上，，平分．
(1)如图2，若，求的度数；
(2)将图2中的按图3所示的位置进行放置，写出与度数间的等量关系，并写明理由．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．

(1)①探究与的关系：因为，所以，即______．
②探究与的关系：因为，，所以______．
(2)若将这副三角尺绕点O旋转到如图乙的位置：
①直接写出与的关系：______；
②探究与的关系，并仿照（1）①中的探究写出推过程．
几何图形中动角求运动时间问题
例题：（2023上·四川成都·七年级统考期末）如图，点O是直线上一点．将射线绕点O逆时针旋转，转速为每秒，得到射线；同时，将射线绕点O顺时针旋转，转速为转速的3倍，得到射线．设旋转时间为t秒（）．

(1)当秒时（如图1），求的度数；
(2)当射线与射线重合时（如图2），求t的值；
(3)是否存在t值，使得射线平分？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023上·湖北黄石·七年级统考期末）如图，直线与EF相交于点O，，将一直角三角尺（含和）的直角顶点与O重合，平分．
(1)求的度数；
(2)图中互余的角有 对；
(3)将三角尺以每秒的速度绕点O顺时针旋转，同时直线以每秒的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为．
①当t为何值时，直线平分．
②当 时，直线平分．
线段与角中动态的新定义型问题
例题：（2022上·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）如图①，点C在线段上，图中共有3条线段：和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)①一条线段的中点__________这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）
②若线段，C是线段的“巧点”，则_________．（用含m的代数式表示出所有可能的结果）
(2)如图②， A、B为数轴上两点，点A所表示的数为，点B所表示的数为20．动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·七年级统考期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的4倍分线．，则也是的4倍分线．
(1)应用：若，为的二倍分线，且则________°；
(2)如图2，点A，O，B在同一条直线上为直线上方的一条射线．
①若，分别为和的三倍分线，（，）已知，，则____________°；
②在①的条件下，若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
③如图3，已知，且，所在射线恰好是分别为和的三倍分线，请直接写出的度数．
一、解答题
1．（2022上·江苏南京·七年级统考期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动．
(1)当时， ；
(2)当射线与旋转到同一条直线上时，求的值；
(3)当 时，．
2．（2023上·湖南株洲·七年级统考期末）如图，是的平分线，是的平分线．
(1)若，，求的度数；
(2)若，求的度数；
(3)你发现与有什么等量关系？请你给出结论并予以说明．
3．（2023上·福建福州·七年级统考期末）如图，在数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，且，
(1)填空： ， ；
(2)在线段上有一点C，满足，求点C表示的数；
(3)动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动；动点M从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速移动，设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变求出其值；若变化，写出范围．
4．（2023上·福建莆田·七年级统考期末）如图1，将一副三角板的直角顶点C叠放在一起．观察分析：
(1)若，则 ；
若，则 ；
(2)请你猜想与有何关系，并说明理由；
(3)如图2，若将两个同样的三角尺锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由；
(4)如图3，如果把任意两个锐角、的顶点O重合在一起，已知，都是锐角），请你直接写出与的关系．
5．（2023上·贵州黔东南·七年级统考期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)【解决问题】：
①当秒时，写出数轴上点P，Q所表示的数；
②问点P运动多少秒与点Q相距3个单位长度？
(2)【探索问题】：
若为的中点，为的中点，直接写出线段与线段的数量关系．
6．（2023上·重庆沙坪坝·七年级重庆八中校考期末）如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（题目中所出现的角均小于且大于）．

(1)若， ______， ______；
(2)的值是否随着的变化而变化？若不变，求出该定值；若要变，请说明理由；
(3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为t秒（），当时，求出t的值．
7．（2023上·四川成都·七年级统考期末）在同一平面内，以点为公共顶点的和，满足，则称是的“二倍关联角”．已知（本题所涉及的角均小于平角）．
(1)如图，若，在内，且是的“二倍关联角”，则 ；
(2)如图，若射线、同时从射线出发绕点旋转，射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，到达直线后立即改为顺时针方向继续旋转，速度仍保持不变；射线以秒的速度绕点逆时针方向旋转，射线到达直线时，射线、同时停止运动，设运动时间秒，当为何值时，是的“二倍关联角”；
(3)如图，保持大小不变，在直线上方绕点旋转，若是的“二倍关联角”，设，请直接用含的代数式表示的大小．
8．（2023上·河北唐山·七年级统考期末）操作与探究：
（1）已知：如图线段长为，点从点A以的速度向点运动，点运动时间为，则______，______
（2）已知：如图，在长方形中，，，动点以的速度从A点沿着运动，运动时间为，用含的式子表示______
拓展与延伸：
（3）已知：如图，在（2）的基础上，动点从点出发，沿着线段向点运动，速度为，、同时出发，运动时间为．其中一点到达终点，另一个点也停止运动．当点在上运动时，为何值时，？
9．（2022上·全国·七年级期末）新定义问题
如图①，已知，在内部画射线，得到三个角，分别为、、．若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“幸运线”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．）
【阅读理解】
（1）角的平分线_________这个角的“幸运线”；（填“是”或“不是”）
【初步应用】
（2）如图①，，射线为的“幸运线”，则的度数为_______；
【解决问题】
（3）如图②，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒（）．若、、三条射线中，一条射线恰好是以另外两条射线为边的角的“幸运线”，求出所有可能的值．
10．（2023上·湖南岳阳·七年级统考期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．
初步感知：
(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______；
(2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系．
拓展运用：
(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立．