2024年中考数学探究性试题总复习-- 平行线的判定与性质（13）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 平行线的判定与性质（13），共30页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．【学习新知】射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等，如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
（1）【初步应用】如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= ，∠3= ；
（2）【猜想验证】由（1），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= ▲ 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由；
（3）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EF与镜面AB的夹角∠1=α°，镜面AB、BC的夹角∠B=120°，已知入射光线从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，n≤3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出∠BCD的度数．(可用含有α的代数式表示)
2．如图
【学习新知】：
射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，AB是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
（1）【初步应用】：
生活中我们可以运用“激光”和两块相交的平面镜进行测距．如图2当一束“激光”DO1射入到平面镜AB上、被平面镜AB反射到平面镜BC上，又被平面镜BC反射后得到反射光线O2E．回答下列问题：
①当DO1∥EO2，∠EO2C=60°（即∠4=60°）时，求∠DO1O2的度数．
②当∠B=90°时，任何射入平面镜AB上的光线DO1经过平面镜AB和BC的两次反射后，入射光线DO1与反射光线O2E总是平行的．请你根据所学过的知识及新知说明．
（提示：三角形的内角和等于180°）
（2）【拓展探究】：
如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使EO1∥O3F，求∠C的度数．
3．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起，其中∠A=∠B=45°，∠D=30°，∠E=60°
（1）操作发现：如图1，当点A落在线段DE上时，写出图中相等的角（写出三对即可）；
（2）问题解决：如图2，若线段AC与DE交于点G．
①若∠BCE=3∠ACD时，求∠BCD的度数；
②当∠BCD为何值时，使线段CG最短；
（3）深化拓展：如图3，将三角板ABC绕点C顺时针转动，直到边BC与CE重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出∠ACD的度数．
4．几何模型在解题中有着重要作用，例如美味的“猪蹄模型”．
（1）导入：如图1，已知AB∥PQ∥CD，如果∠AEP=45°，∠CFP=60°，则∠EPF= °；
（2）发现：如图2，直线AB∥CD，请判断∠AEP与∠CFP，∠EPF之间的数量关系，并说明理由；
（3）运用：如图3，已知AD∥BC，P在射线OM上运动（点P与点A、B、O三点不重合），∠ADP=α，∠BCP=β，请用含α、β的代数式表示∠CPD，并说明理由．
5． [阅读探究]如图(a)所示，已知AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M在AB，CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EMF的度数．
解：如图(a)所示，过点M作MN∥AB．
∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠EMN= CAEM=45°，∠FMN=∠CFM= 25°．
∴∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70°．
（1）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．通过进一步研究，我们可以发现图(a)中∠AEM，∠EMF和∠CFM之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：
（2）[方法运用]如图(b)所示，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点M在AB，CD之间，求∠AEM，∠EMF和∠CFM之间的数量关系．
（3）[应用拓展]如图(C)所示，在图(b)的条件下，分别作LAEM和∠CFM的角平分线EP，FP，交于点P (交点P在AB，CD之间)．若∠EMF=60°，求∠EPF的度数． ．
6．【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为∠1，反射光线与水平镜面夹角为∠2，则∠1=∠2．
（1）【初步应用】如图2，有两块平面镜AB，BC1，入射光线DO1经过两次反射，得到反射光线O2E，若∠B=90°，证明：DO1∥O2E；
（2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜AB，BC，CD，入射光线EO1经过三次反射，得到反射光线O3F，已知∠1=36°，∠B=120°，若要使EO1∥O3F，则∠C为多少度？
7．如图
（1）问题发现：
如图①，直线AB∥CD，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC (已知)
∴EF∥DC（ ）．
∴∠C=∠CEF．（ ）．
∵EF∥AB，
∴∠B=∠BEF(同理)．
∴∠B+∠C= ▲ (等量代换)．即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究：
如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，说明：∠B+∠C+∠BEC=360°．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，E、F、G是AB与CD之间的点，直接写出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的数量关系．
8．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB.
（1）如图①，若点P在线段CD上，∠PAC=15°，∠PBD=40°，求∠APB的大小；
（2）猜想：如图①，若点P在线段CD上移动，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系；
（3）探究：如图②，若点P不在线段CD上，则（2）中的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论并说明理由.
9．在一个数学活动中，若身旁没有量角器或者三角尺，又需要作60°，30°，15°的角，可以采用如下的方法：
【操作感知】
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开.
第二步；再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图1）.
（1）【猜想论证】
写出图1中一个30°的角： .
（2）若延长MN交BC于点P，如图2所示，试判断△BMP的形状，并证明.
（3）【迁移探究】
小华将矩形纸片换正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照“操作感知”的方式操作，并延长MN交CD于点Q，连接BQ.当点N在EF上时，DM=2，求正方形的边长.
10．在平面直角坐标系中，A(−4，3)，B(4，3)，动点P在射线AB上从点A开始以每秒1个单位长度的速度从左向右运动.
（1）当点P运动的时间为2秒时，点P的坐标是 ；
（2）如图1，Q(1，2)，在点P运动的过程中，三角形POQ的面积能等于3吗？若能，请求出点P运动的时间；若不能，请说明理由.
（3）如图2，AB与y轴交于点M，将线段AB向下平移得到CD，CD与y轴交于点N，点E为线段MB上任意一点，点G为线段ND上任意一点，∠EOG=130°.点F为线段MB与线段ND之间一点，连接EF，GF，且∠BEF=13∠BEO，∠EFG=80°.试写出∠FGO与∠FGD之间的数量关系，并证明你的结论.
11．问题提出：一条线段沿某个方向平移一段距离后与原线段构成一个平行四边形.我们可以利用这一性质，将有些条件通过平移集中在一起来解决一些几何问题.
如图①，两条长度相等的线段AB和CD相交于O点，∠AOC=60°，直线AC与直线BD的夹角为α，求线段AC、BD、AB满足的数量关系.
分析：考虑将AC、BD和AB集中到同一个三角形中，以便运用三角形的知识寻求三条线段的数量关系：
如图②，作CE//AB且CE=AB，则四边形ABEC是平行四边形，从而AC=BE；
由于CD=AB=CE，∠ECD=∠AOC=60°，所以△ECD是等边三角形，故ED=AB；
通过平行又求得∠EBD=180°−α.
在△BED中，研究三条线段的大小关系就可以了.
（1）如图②，若AC=23，BD=6，α=30°，请直接写出线段AB的长；
（2）问题解决：如图③，矩形ABCD中，E、F分别是AD、CD上的点，满足AE=CD，DE=CF，求证：AF=2CE；
（3）拓展应用：如图④，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若BE=4，CD=32，则BD= .
12．问题情境：如图1，AB∥CD，∠1=40°，∠2=35°，求∠BPC的度数.小明的思路是过点P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠BPC.
（1）按照小明的思路，则∠BPC的度数为 ；
（2）问题迁移：如图2，AB∥CD，点P在射线ON上运动，记∠PAB=α，∠PCD=β.当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P不在B、D两点之间运动时（点P与点O、B、D三点不重合），写出∠APC与α、β之间的数量关系，并说明理由.
13．综合与实践：如图
（1）模型启迪：如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH=AD，连接CH．由∠ADB=∠CDH，得△ADB≌△HDC，则AB与CH的数量关系为 ，位置关系为 ．
（2）模型探索：如图2，在△ABC中，AP平分∠BAC，D为BC边的中点，过点D作DQ∥AP，交CA的延长线于点Q，交AB边于点K．试判断BK与CQ的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，过点E作EG⊥AD于点G，连接BE交AD于点F，且BF=AC．求证：AG=GF．
（4）模型应用：如图4，在（3）的条件下，延长AC至点N，使AN=AB，连接BN，交AD的延长线于点M．若AB=7，AC=5，∠CAD=60°，请直接写出线段DM的长．
14．【教材再现】
在初中数学教材中有这样一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.如图1，直线l1∥l2，直线m和直线n分别与直线l1和直线l2相交于点A，点B，点F，点D，直线m和直线n相交于点E，则BEAB=DEFD；
【探究发现】
如图2，在△ABC中，AC=BC=3，∠C=90°，点D在边BC上（不与点B，点C重合），连接AD，点E在边AB上，∠EDB=∠ADC.
（1）求证：BEAB=DEAD；
（2）当DEAD=12时，直接写出AD的长；
（3）点H在射线AC上，连接EH交线段AD于点G，当CH=1，且∠AEH=∠BED时，直接写出BEAB的值.
15．阅读下面材料：
小腾遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，AD＝2，BD＝2DC，求AC的长.
小腾发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，经过推理和计算能够使问题得到解决，如图2.
（1）请回答：∠ACE的度数为 ，AC的长为 .
（2）参考小腾思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，∠ADC＝75°，AC与BD交于点E，AE＝2，BE＝2ED，求BC的长.
16．课题学习：平行线的“等角转化”功能.
（1）阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC，求∠B+∠BAC+∠C的度数.阅读并补充下面推理过程.
解：过点A作ED∥BC，
∴∠B= ▲ ，∠C ▲ ，
∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°.
解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC、∠B、∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决.
（2）方法运用：如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数；
（3）深化拓展：已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC=50°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直线交于点E，点E在直线AB与CD之间.
①如图3，点B在点A的左侧，若∠ABC=36°，求∠BED的度数.
②如图4，点B在点A的右侧，且AB