2024年中考数学探究性试题总复习-- 新定义（3）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 新定义（3），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1
C．﹣1≤a＜−12D．﹣2≤a＜0
2．对于任意实数m，n，如果满足m2+n4=m+n2+4，那么称这一对数m，n为“完美数对”，记为(m，n).若(a，b)是“完美数对”，则3(3a+b)−(a+b−2)的值为（ ）
A．2B．3C．−4D．−6
3．对于三个数a、b、c，P{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示a、b、c这三个数中最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数，例如：P{﹣1，2，3}＝−1+2+33=43，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣2，﹣1，a}＝a(a>−1)−1(a0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5B．2C．1D．0
5．对多项式x-y-z-m-n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n = x-y-z+m-n，……，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等； ②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0； ③所有的“加算操作”共有 8 种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
6．华罗庚说过：“复杂的问题要善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍．”可见，复杂的问题有时要“退”到本质上去研究．如图，已知抛物线y=−x2+2x−1的图象与f的图象关于直线y=x对称，我们把探索线的变化规律“退”到探索点的变化规律上去研究，可以得到图象f所对应的关于x与y的关系式为x=−y2+2y−1．若抛物线y=−x2+2x−1与g的图象关于y=−x对称，则图象g所对应的关于x与y的关系式为 ．
7．我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
根据上表规律，某同学写出了三个式子：①lg216=4，②lg525=5，③lg212=−1．
其中正确的是 ．
8．若a是不为2的有理数我们把22−a称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是22−3=−2；−2的“哈利数”是22−(−2)=12，已知a1=3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”， a4是a3的“哈利数”，以此类推，a2023= ．
9．对数的定义：一般地，若ax=N（a>0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x=lgaN，比如指数式23=8可以转化为对数式3=lg28，对数式2=lg636，可以转化为指数式62=36．计算lg39+lg5125−lg232= ．
10．平面直角坐标系中，若点P的坐标为(x，y)，点Q的坐标为(mx+y，x+my)，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点P(1，2)的3级派生点是(3×1+2，1+3×2)，即Q(5，7)．如图点Q(3，−1)是点P(x，y)的−3级派生点，点A在x轴上，且S△APQ=3，则点A的坐标为 ．
11．我们规定：使得a−b=ab成立的一对数a，b为“差积等数对”，记为(a，b)．例如，因为3−0.75=3×0.75，(−2)−2＝(−2)×2，所以数对(3，0.75)，(−2，2)都是“差积等数对”，若(k，−1)是“差积等数对”，则k的值是 ．
12．我们知道四边形具有不稳定性，容易变形（给定四边形各边的长，其形状和大小不确定）．如图，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形中较小的内角为α，我们把sinα的值叫做这个平行四边形的“变形系数”．如果矩形的面积为5，其变形后的平行四边形的面积为4，那么这个平行四边形的“变形系数”是 ．
13．定义：在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，对于任意两点P(x1，y1)、Q(x2，y2)称|x1−x2|+|y1−y2|的值为P、Q两点的“直角距离”．直线y=−x+5与坐标轴交于A、B两点，Q为线段AB上与点A、B不重合的一点，那么O、Q两点的“直角距离”是 ．
三、综合题
14．定义：对于一个三位正整数，如果十位数字恰好等于百位数字与个位数字之和的一半，我们称这个三位正整数为“半和数”．
例如，三位正整数234，因为3=12×(2+4)，所以234是“半和数”．
（1）判断147是否为“半和数”，并说明理由；
（2）小林列举了几个“半和数”：111、123、234、840…，并且她发现：111÷3=37，123÷3=41，234÷3=78，840÷3=280…，所以她猜测任意一个“半和数”都能被3整除．小林的猜想正确吗？若正确，请你帮小林说明该猜想的正确性；若错误，说明理由．
15．对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dℎ”．
尝试应用：
（1）已知：如图2，点A(−5，3)、B(4，0)、C(0，6)，则△ABC的水平宽为 ，铅垂高为 ，所以△ABC的面积为 ．
（2）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为 ，铅垂高BD= ，△ABC的面积为 ．
16．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如：点(1，1)是函数y=12x+12的图像的“等值点”.
（1）分别判断函数y=x+1，y=x2−x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y=3x(x>0)，y=−x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C.当△ABC的面积为3时，求b的值；
（3）若函数y=x2−2(x≥m)的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围.
17．【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的张率(scp)．如图11﹣1，在△XYZ中，XY＝XZ，顶角X的张率记作scp∠X=底边腰=YZXY，容易知道一个角的大小与这个角的张率也是相互唯一确定的，所以，类比三角函数，我们可按上述方式定义∠α(0°0，a≠1，M>0，N>0），理由如下：
设lgaM=m，lgaN=n，则M=am，N=an，
∴M⋅N=am⋅an=am+n，由对数的定义得m+n=lga(M⋅N)
又∵m+n=lgaM+lgaN，
∴lga(M⋅N)=lgaM+lgaN.
请解决以下问题：
（1）将指数式34=81转化为对数式 ；
（2）求证：lgaMN=lgaM−lgaN（a>0，a≠1，M>0，N>0）；
（3）拓展运用：计算lg69+lg68−lg62= .
20．在平面直角坐标系中， P(a，b) 是第一象限内一点，给出如下定义： k1=ab 和 k2=ba 两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点 P(6，2) 的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点 P(a，b) 的“倾斜系数” k=2 ，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点 P(a，b) 的“倾斜系数” k=2 ，且 a+b=3 ，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC： y=x 运动， P(a，b) 是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数” kb>c在 a，b，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为 F (A)，最小的两位数记为 G(A)，若 F(A)+G(A)16 为整数，求出满足条件的所有数 A．
22．【问题】探究一次函数y＝kx+k+1（k≠0）图象特点．
【探究】可做如下尝试：
y＝kx+k+1＝k（x+1）+1，当x＝﹣1时，可以消去k，求出y＝1．
【发现】结合一次函数图象，发现无论k取何值，一次函数y＝kx+k+1的图象一定经过一个固定的点，该点的坐标是 ▲ ；
【应用】一次函数y＝（k+2）x+k的图象经过定点P．
①点P的坐标是 ▲ ；
②已知一次函数y＝（k+2）x+k的图象与y轴相交于点A，若△OAP的面积为3，求k的值．
23．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”.
材料一：把根式 x±2y 进行化简，若能找到两个数m、n，是 m2+n2=x 且 mn=y ，则把 x±2y 变成 m2+n2±2mn=(m±n)2 ，开方，从而使得 x±2y 化简.
例如：化简 3+22
解：∵3+22=1+2+22=12+(2)2+2×1×2=(1+2)2
∴3+22=(1+2)2=1+2
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y'）给出如下定义：若 y'=y，(x≥0)−y，(x0)中，令x=3x，解得：x=3，
∴A(3，3)，
在函数y=−x+b中，令x=−x+b，解得：x=12b，
∴B(12b，12b)，
∵BC⊥x轴，
∴C(12b，0)，
∴BC=12|b|，
∵△ABC的面积为3，
∴12×12|b|×|3−12b|=3，
当