2024年湖南省新中考13校联考数学试题（解析版）

这是一份2024年湖南省新中考13校联考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
(本试卷共6页， 26题， 考试用时120分钟， 全卷满分120分)
一、选择题：本题共10 小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在实数 ， 0， ， 中，无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数的定义，根据“无限不循环小数是无理数”进行判断即可．
【详解】解：是无理数，
故选：C．
2. 优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园．下列生态环保图标是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查中心对称图形的定义，根据“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行分析即可．
【详解】解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：A．
3. 2024年3月20日上午8时55分，鹊桥二号中继星进入远地点高度米的预定地月转移轨道，米用科学记数法可表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：B.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式加法计算，积的乘方的逆运算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、不一定成立，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 某流域主要江河总体水质良好．下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是（ ）
A. 氨氮B. 化学需氧量C. 总磷D. 铭（六价）
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，根据统计图找到频数最多的指标即可得到答案．
【详解】解：由统计图可知，指标氨氮的个数最多，则该流域主要江河最严重的污染指标是氨氮，
故选：A．
6. 一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，对应一次函数，当时， y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数，函数值y随x的增大而增大，
∴，
∴，
故选：C．
7. 一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式，再求出当时，V的值即可得到答案，
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
当时，，解得，
故选：B．
8. 如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先证明，再证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
9. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是边的中点．若，sin∠，则菱形的面积为（ ）
A. 30B. 60C. 96D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角， 直角三角形斜边上的中线的性质，先由菱形的性质得到，则，再解直角三角形求出，进而求出，最后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点O，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵在中，sin∠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（ ）
A. ① ②B. ① ③C. ② ③D. ① ② ③
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，先由全等三角形的性质得到，，再证明，利用勾股定理即可判断①；过点C作于F，则四边形是矩形，可得，则，由，即可判断②；根据，得到，则，即可判断③．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，即，故①正确；
如图所示，过点C作于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 计算：______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
先将被开方数化为，然后按照二次根式的性质化简即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
12. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________．
【答案】####4.25
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．一元二次方程（为常数且）的根的判别式是．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．据此求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理可得，解得．
故答案为：．
13. 为配制含盐的盐水，已有含盐的盐水，还需要含盐的盐水______．
【答案】700
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设还需要含盐的盐水x克，根据1000克盐水中的含盐量等于含盐的盐水中的含盐量加上盐的盐水中的含盐量列出方程求解即可．
【详解】解：设还需要含盐的盐水x克，
由题意得，，
解得，
∴还需要含盐的盐水700克，
故答案为：700．
14. 小明设计了如图所示的物理电路图，假设开关都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列出得到所有等可能性的结果数，再找到能让小灯泡发光的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：设用A、B、C表示三个开关，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发光的结果数有，，，共4种，
∴能使小灯泡发光的概率为，
故答案为：．
15. 如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为______．（用含的式子表示）
【答案】##厘米
【解析】
【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，求圆锥的母线长，根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长结合弧长公式求出母线长，进而根据扇形面积计算公式求出对应的侧面积即可．
【详解】解：设该圆锥的母线长为l，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案：．
16. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是______度．
【答案】165
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平角的定义求出，由平行线的性质得到，则，再由平行线的性质可得，据此可由平角的定义求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：165．
17. 如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要______度．

【答案】36
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，连接，先求出，则由圆周角定理可得，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
∴为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要，
故答案为；36．

18. 如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
【详解】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，分别求解两个不等式，即可得解．
【详解】解：
解不等式得，
解不等式得，
∴．
20. 先化简，再求值：，其中
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先计算括号内分式的加减，再计算分式的乘除，最后计算分式的加减，即可得到答案．
【详解】
，
当时，原式．
21. 如图，在中，.
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知，求的周长.
【答案】（1）尺规作图见解析
（2）9
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及等腰三角形的判定与性质，尺规作线段的垂直平分线等知识，熟练掌握五种基本作图是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可；
（2）根据勾股定理可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，。再由得出。从而可得，再求解即可．
【小问1详解】
如图，直线即为所求；
【小问2详解】
中，，
，
是的垂直平分线，
，
。
。
，
，
的周长为
22. 某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件．
（1）用适当函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中；
（2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用：
（1）根据销售单价为每件25元时，每天销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件列出对应的函数关系式即可；
（2）设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，根据利润（售价进价）销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，
【小问2详解】
解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，
由题意得，，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为450，
∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元．
23. 为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表．
第一次测试成绩
请解决问题1：
（1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率；
（2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数；
第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A：，B：，C： ，D：四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图．

请解决问题2：
（3）请至少选择两种以上的的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价．
【答案】（1）；（2）120人；（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布表，求频率，用样本估计总体，求中位数等等：
（1）根据频率频数总数进行求解即可；
（2）用600乘以第一次“环保知识测试”中成绩在80分及以上的人数占比即可得到答案；
（3）从中位数和“环保知识测试”成绩在80分以上的频率的角度出发进行描述即可．
【详解】解：（1），
∴该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率为；
（2）人，
∴估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数为120人；
（3）从中位数看，该班第一次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，第二次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，
∴从中位数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
从频率的看，该班第一次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
第二次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
∴频率角度看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
∴老师带领学生积极开展环保主题实践活动的效果非常好．
24. 如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，由，点F是的中点，得到，从而，进而，又，得到，从而得证是的切线；
（2）连接，由是直径，得到，从而在中，，由，得到，根据“三线合一”得到，从而根据含角的直角三角形的性质得到．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
连接，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【点睛】本题考查切线的证明，垂直平分线的性质，圆周角定理，平行线的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键．
25. 二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
（1）① 解关于x的方程：；
② 若，求a的取值范围．
（2）若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围．
【答案】（1）或x=2；且且
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题：
（1）①根据题意可得，则由表格即可得到答案；②先求出，进而分别求出，再根据列式求解即可；
（2）先求出，得到抛物线解析式为，则抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得到抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，再讨论t的范围进行求解即可．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
由表格可知，当或x=2时，，
∴关于x的方程的解为或x=2；
②把代入中得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且且；
【小问2详解】
解：由（2）可知，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，
∴当时，，
∵，
∴，
∴；
当时，，，此时符合题意；
当时，，此时不满足题意；
综上所述，，
26. 某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小．
该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.
甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点M，N，测得；③ 测得．
乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点E，F，测得；③ 测得．
（1）分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由；
（2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来）
【答案】（1）甲、乙两名同学的测量方案均可行，理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（2）测量过程：在水塘外选点，用测角仪在点处测得，在点A处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
【小问1详解】
解：甲同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
甲同学的测量方案可行；
乙同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
乙同学的测量方案可行；
【小问2详解】
测量过程：
（ⅰ）在水塘外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点A处测得；

（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
中，，
即，所以．
所以．
故水塘的最大宽度为．
测试成绩x(分)
人数(人)
4
28
8
4
6
x
…
0
1
2
3
…
y
…
m
k
n
…