2024年中考数学探究性试题总复习-- 四边形（15）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 四边形（15），共34页。试卷主要包含了综合题等内容，欢迎下载使用。
一、综合题
1．定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩形”；有两组邻边(不重复)相等的四边形叫做“准菱形”．
如图①，在四边形ABCD中，若∠A=∠C=90°，则四边形ABCD是“准矩形”；
如图②，在四边形ABCD中，若AB=AD，BC=DC，则四边形ABCD是“准菱形”．
（1）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C在格点(小正方形的顶点)上，请分别在图③、图④中画出“准矩形”ABCD和“准菱形”ABCD'.(要求：D、D'在格点上)；
（2）下列说法正确的有 ；(填写所有正确结论的序号)
①一组对边平行的“准矩形”是矩形；
②一组对边相等的“准矩形”是矩形；
③一组对边相等的“准菱形”是菱形；
④一组对边平行的“准菱形”是菱形．
（3）如图⑤，在△ABC中，∠ABC=90°，以AC为一边向外作“准菱形”ACEF，且AC=EC，AF=EF，AE、CF交于点D．
①若∠ACE=∠AFE，求证：“准菱形”ACEF是菱形；
②在①的条件下，连接BD，若BD=2，∠ACB=15°，∠ACD=30°，求四边形ACEF的面积．
2．如图：
（1）【发现证明】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD边上的动点，且∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE．小明发现，当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，使AB与AD重合时能够证明，请你给出证明过程．
（2）【类比引申】
①如图2，在正方形ABCD中，如果点E，F分别是CB，DC延长线上的动点，且∠EAF=45°，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF，BE，DF之间的数量关系 （不要求证明）
②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且∠EAF=45°，则EF，BE，DF之间的数量关系是 （不要求证明）
（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=35，求AF的长．
3．综合与实践
问题情境：
如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′（点A的对应点为点C）．延长AE交CE′于点F，连接DE．
（1）猜想证明：
试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由；
（2）如图②，若DA=DE，请猜想线段CF与FE′的数量关系并加以证明；
（3）解决问题：
如图①，若AB=15，CF=3，请直接写出DE的长．
4．
（1）【实验】如图①，点O为线段MN的中点，线段PQ与MN相交于点O，当OP=OQ时，四边形PMQN的形状为 ；
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形
其理论依据是 ．
（2）【探究】如图②，在平行四边形ABCD中，点E是BC中点，过点E作AE的垂线交边CD于点F，连接AF，试猜想AB，AF，CF三条线段之间的数量关系，并给予证明．
（3）【应用】如图③，在△ABC中，点D为BC的中点，若∠BAD=90°，AD=2，AC=19，求△ABC的面积．
5．如图
（1）【感知】如图①，将▱ABCD沿过点D的直线折叠，使点A落在CD边上的点F处，得到折痕DE，连结EF．若AD=4，则四边形AEFD的周长为 ．
（2）【探究】如图②，将四边形AEGD沿GE折叠，点A、D的对应点分别为A′、D′，点A′恰好落在CD边上．
求证：四边形AEA′G为菱形．
（3）若AB=6，CB=3，∠B=120°，CA′=1，则△A′GD′的面积为 ．
6．综合与探究
在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上的点F处．
（1）如图①，若BC=2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图②，当AB=5，且AF⋅FD=10时，求EF的长；
（3）如图③，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF=AN+FD时，请直接写出ABBC的值．
7．通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，则CE=DF”． 某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：
（1）【问题探究】如图2，在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH= ；
（2）【知识迁移】如图3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，点E，F，G，H分别在线段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，试猜想EGFH的值，并证明你的猜想；
（3）【拓展应用】如图4，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，点E，F分别在线段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF的值．
8．某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：
（1）发现问题：如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，点M是边BC上任意一点，连接AM，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=AN，∠MAN=∠BAC，连接CN．求证：∠ACN=∠ABM．
（2）类比探究：如图2，在等腰△ABC中，∠B=30°，AB=BC，AC=8，点M是边BC上任意一点，以AM为腰作等腰△AMN，使AM=MN，∠AMN=∠B．在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
（3）拓展应用：如图3，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形DEFG，H是正方形DEFG的中心，连接CH．若正方形DEFG的边长为8，CH=32，求△CDH的面积．
9．如图
（1）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作正方形CEFG，连接DG、BE，则DG与BE的数量关系是 ；
（2）如图2，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右侧作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，连接DG、BE.判断线段DG与BE有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【拓展提升】如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG+BE的最小值为 .
10．【背景】
如图1，矩形ABCD中，AB=43，AB