2024年中考数学探究性试题总复习-- 数与式的规律（1）

这是一份2024年中考数学探究性试题总复习-- 数与式的规律（1），共6页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．−19101B．21101C．−1982D．2182
2．计算3的正数次幂，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，38=6561，……观察归纳各计算结果中个位数字的规律，可得32023的个位数字是（ ）
A．1B．3C．7D．9
3．生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表示．即：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……，请你推算22023的个位数字是（ ）
A．2B．4C．6D．8
4．已知整数a1，a2，a3，a4…，满足下列条件：a1=0，a2=−|a1+1|，a3=−|a2+2|，a4=−|a3+3|⋯，以此类推，a2023的值为（ ）
A．-2023B．-2022C．-1012D．-1011
5．有一列数， 记为 a1，a2，⋯，an，记其前 n 项和为 Sn=a1+a2+⋯+an，定义 Tn=S1+S2+⋯+Snn 为这列数的“亚运和”，现有 99 个数 a1，a2，⋯，a99，其“亚运和”为 1000，则1，a1，a2，⋯，a99 这 100 个数的“亚运和”为 （ ）
A．791B．891C．991D．1001
二、填空题
6．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0，0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1，0)，再将O1(1，0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0，−1)，再将O2(0，−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1，0)…依次类推．点(0，1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
7．正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是 .
8．若a是不为2的有理数我们把22−a称为a的“哈利数”．如3的“哈利数”是22−3=−2；−2的“哈利数”是22−(−2)=12，已知a1=3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”， a4是a3的“哈利数”，以此类推，a2023= ．
9．按一定规律排列的一组数据：12，−35，12，−717，926，−1137，…．则按此规律排列的第10个数是 ．
10．一列数a1，a2，a3，……．满足条件：a1=12，an+1=1−1an，（n≥2，且n为正整数），则a1+a2+a3+⋯⋯+a2023= ．
11．下面是按一定规律排列的代数式：−a2，3a4，−5a6，7a8，−9a10，…则第13个代数式是 ．
12．观察下列各等式：11×2=11−12，12×3=12−13，13×4=13−14，…，根据你发现的规律计算：21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)＝ （n为正整数）．
13．人们把 5−12≈0.618 这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比.设 a=5−12 ， b=5+12 ，记 S1=11+a+11+b ， S2=21+a2+21+b2 ，…， S100=1001+a100+1001+b100 ，则 S1+S2+⋯+S100= .
三、综合题
14．观察以下等式：
第1个等式：42−22=3×4；
第2个等式：62−42=5×4；
第3个等式：82−62=7×4；
第4个等式：102−82=9×4；
······
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
15．观察以下等式：
第1个等式：1×1+22−12=1，
第2个等式：12×4+43−13=1，
第3个等式：13×9+64−14=1，
第4个等式：14×16+85−15=1，
第5个等式：15×25+106−16=1，
……
按照以上规律．解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
16．观察下列式子：
①15×15=(1×2)×100+25；
②25×25=(2×3)×100+25；
③35×35=(3×4)×100+25；
···
根据上述规律，回答下列问题：
（1）请把第4个式子补充完整：45×45= ；
（2）通过以上算式，我们发现若用(10a+5)来表示个位数字是5的两位数，它的平方有一定的规律，请写出猜想并证明.
17．观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．
①1×2=13(1×2×3−0×1×2)
②2×3=13(2×3×4−1×2×3)
③3×4=13(3×4×5−2×3×4)
（1）1×2+2×3+3×4= ；
（2）1×2+2×3+⋅⋅⋅+n(n+1)= ；
（3）1×2×3+2×3×4+3×4×5+⋅⋅⋅+n(n+1)(n+2)= ．
18．观察以下等式：
第1个等式：23×(1+12)=1，
第2个等式：34×(1+13)=1，
第3个等式：45×(1+14)=1，
第4个等式：56×(1+15)=1，……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第n个(n≥1)等式（用含n的等式表示），并证明．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】D
4．【答案】D
5．【答案】C
6．【答案】(−1，−1)
7．【答案】744
8．【答案】12/0.5
9．【答案】−19101
10．【答案】20232
11．【答案】−25a26
12．【答案】2nn+1
13．【答案】5050
14．【答案】（1）122−102=11×4
（2）解：(2n+2)2−(2n)2=4(2n+1)，
证明：左边=(2n+2+2n)(2n+2−2n)
=(4n+2)×2=4(2n+1)=右边；
∴猜想成立．
15．【答案】（1）16×36+127−17=1
（2）解：第n个等式：1n×n2+2nn+1−1n+1=1；证明如下：
第1个等式：1×1+22−12=1，即1×12+1×21+1−11+1=1，
第2个等式：12×4+43−13=1，即12×22+2×22+1−12+1=1，
第3个等式：13×9+64−14=1，即13×32+3×23+1−13+1=1，
第4个等式：14×16+85−15=1，即14×42+4×24+1−14+1=1，
第5个等式：15×25+106−16=1，即15×52+5×25+1−15+1=1
……
∴可推导一般性规律为：第n个等式：1n×n2+2nn+1−1n+1=1，
∵1n×n2+2nn+1−1n+1=1n×n(n+2)n+1−1n+1=n+2n+1−1n+1=n+1n+1=1，
∴第n个等式：1n×n2+2nn+1−1n+1=1．
16．【答案】（1）（4×5)×100+25
（2）解：猜想：（10a+5）2=100a(a+1)+25，
证明：左边=100a2+100a+25=100a(a+1)+25=右边，
∴等式成立
17．【答案】（1）20
（2）13n(n+1)(n+2)
（3）14n(n+1)(n+2)(n+3)
18．【答案】（1）67×(1+16)=1
（2）解：由（1）猜想第n个等式为n+1n+2×(1+1n+1)=1；证明如下：
∵左边n+1n+2×(1+1n+1)=n+1n+2×(n+1n+1+1n+1)=n+1n+2×n+2n+1=1=右边，
∴等式成立．