2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题13 三角形的相关性质与判定（一）（原卷版+解析版）

这是一份2024年中考数学三轮冲刺热门考点归纳：专题13 三角形的相关性质与判定（一）（原卷版+解析版），文件包含专题13三角形的相关性质与判定一原卷版docx、专题13三角形的相关性质与判定一解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。

【解题策略】
三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°．
推论：直角三角形的两个锐角互余.
三角形的内角和定理的应用：
1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．
三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
方法总结
三角形中角度计算的6种常考模型：
【典例分析】
例1．（2022·内蒙古）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α
例2．（2023·四川）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°则∠B=（ ）

A．52°B．50°C．45°D．25°
【变式演练】
1．（2022·安徽·一模）将两个直角三角板如图摆放，其中∠BCA=∠EDF=90°，∠E=45°，∠A=30°，BC与DE交于点P，AC与DF交于点Q．若AB∥EF，则∠DPC−∠DQC=（ ）
A．40°B．32.5°C．45.5°D．30°
2．（2022·安徽合肥·二模）如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3=150°，∠1=30°，则∠2的大小是（ ）
A．60°B．70°C．80°D．90°
3．（2023·广东广州·统考一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2= 度．
4．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角0°<α<75°，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点E．若△A'DE是等腰三角形，则∠α的度数为 ．

题型02 三角形内角和与外角和定理的应用
【典例分析】
例1．（2024·江西模拟）苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等（如图1），组成了一个完美的六边形（正六边形），图2是其平面示意图，则∠1的度数为（ ）

A．130°B．120°C．110°D．60°
例2．（2023·山西模拟）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中AB，CD都与地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM与CB平行，则∠MAC的度数为（ ）
图1 图2
A．70°B．68°C．60°D．50°
【变式演练】
1．（2022·湖南）如图，一束光沿CD方向，先后经过平面镜OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，则∠AEF= ．
2．（2024·陕西模拟）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点． 若∠1=155°，∠2=30°，则 ∠3的大小为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．65°
题型03 三角形的三边关系
【解题策略】
三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边．
推论：三角形的两边之差小于第三边．
【解题技巧】
1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形．
2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b
3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形．
【典例分析】
例1．（2024·湖南模拟）3.已知a，b，c是一个三角形的三边，且a，b满足 a−1+(b−2)2=0.则c的取值范围是______．
例2．（2020·甘肃天水·统考中考真题）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为 ．
【变式演练】
1．（2023·河北）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）

A．2B．3C．4D．5
2.（2024·湖南模拟）2,5,m是某三角形三边的长，则(m−3)2+(m−7)2等于（ ）
A．2m−10B．10−2mC．10D．4
题型04 与三角形有关线段问题
【解题策略】
三角形有关的线段的性质：
方法总结：
1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系．
2. 常见三角形的高：
3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系.
【典例分析】
例1．（2024·山东模拟）观察下列作图痕迹，所作CD为△ABC的边AB上的中线是( )
A. B.
C. D.
例2．（2024·全国模拟）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB=AC，∠CAD=20∘，则∠ACE的度数是( )
A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘
例3．（2024·广东模拟）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE=2，则BC的长是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【变式演练】
1．（2023·江苏模拟）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF=3FE，则BDDC= ．
2．（2023·黑龙江模拟）已知，如图1，若AD是△ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质．请你根据上述信息，求解如下问题：如图2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长l的取值范围是
题型05 线段垂直平分线的性质与判定
【解题策略】
垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
方法总结：
对于含有垂直平分线的题目，首先考虑将垂直平分线上的点与线段两端点连接起来．
【典例分析】
例1．（2023·天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等)，两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD.若BD=DC，AE=4，AD=5，则AB的长为( )
A. 9B. 8C. 7D. 6
例2．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
【变式演练】
1.（2023·山东）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧交AC于点D，连接BD，再分别以点B，D为圆心，大于D的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，连接DE，则下列结论中不正确的是( )
A. BE=DEB. AE=CE
C. CE=2BED. S△EDCS△ABC= 33
2．（2024·吉林模拟）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF=BFB．AE=12AC
C．∠DBF+∠DFB=90°D．∠BAF=∠EBC
3．（2023·江西模拟）如图，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC=49∘，则∠BAE的度数为 ．
题型06 角平分线的性质与判定
【解题策略】
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
方法总结
性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等.
【典例分析】
例1．（2022·四川）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D，DE//AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE=5,DF=3，则下列结论错误的是（ ）
A．BF=1B．DC=3C．AE=5D．AC=9
【变式演练】
1．（2021·广东深圳·中考真题）如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为 ．
2.（2022·江苏）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A． AE⊥DE B． AE//OD C． DE=OD D．∠BOD=50°
1．（2023·江苏）如图，△ABC中，∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．当α=40°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ ）

A．80°B．85°C．90°D．95°
2．（2022·湖北）如图，沿AB方向架桥修路，为加快施工进度，在直线AB上湖的另一边的D处同时施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，则C，D两点的距离是 m．
3．（2023·江苏）若一个等腰三角形的腰长为3，则它的周长可能是( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
4.（2023·四川）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连结OE.若AC=6，BD=8，则OE=( )
A. 2
B. 52
C. 3
D. 4
5.（2022·四川）如图，在△ABC中，∠CAD=90°，AD=3，AC=4，BD=DE=EC，点F是AB边的中点，则DF=( )
A. 54B. 52C. 2D. 1
6.（2023·广东）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的( )
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高的交点
7．（2022·湖北）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于12BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，则△ABD的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
8.（2023·内蒙古）如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM=1，BN=2，则BD的长为( )
A. 2 3
B. 3
C. 2 5
D. 3 2
9.（2023·浙江）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB.若AB=4，则DC的长是 ．
10.（2023·全国）如图，在△ABC中，∠A=90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；作直线MN交AB于点E.若线段AE=5，AC=12，则BE长为______．
11.（2023·青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线.若AB=5，AC=8，则△ABD的周长是______．
12．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线BE交AC于点D，则线段AD的长为 ．

A字模型
8字模型
飞镖模型
老鹰抓小鸡模型（一）
∠1+∠2=∠A+180°
∠A+∠B=∠C+∠D
∠C=∠A+∠B+∠D
∠A+∠O=∠1+∠2
老鹰抓小鸡模型（二）
双角平分线模型（一）
双角平分线模型（二）
双角平分线模型（三）
∠A+∠O=∠2-∠1
∠D=90°+12∠A
∠D=90°- 12∠A
∠E=12∠A
三角形折叠模型（一）
三角形折叠模型（二）
三角形折叠模型（三）
∠2=2∠C
2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）
2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）
高（AD）
中线（AD）
角平分线（AD）
中位线（DE）
∠ADB=∠ADC=90°
BD=CD S△ABD=S△ADC
C∆ACD−C∆ABD=AC−AB
∠BAD=∠DAC=12 ∠BAC
AD=DB AE=EC
DE=12 BC DE∥BC