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新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第1讲等差数列与等比数列课件
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这是一份新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第1讲等差数列与等比数列课件，共59页。PPT课件主要包含了专题二数列，分析考情·明方向，真题研究·悟高考，考点突破·提能力等内容，欢迎下载使用。
第1讲 等差数列与等比数列
1. (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D．3
2. (2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块
3. (2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4. (2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6. (2023·新高考全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85 C．－85 D．－120
7. (2022·北京卷)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；其中所有正确结论的序号是__________.
核心考点1 等差、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
角度1：等差数列的通项公式和前n项和1. (2023·赣州二模)已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5＝( )A．7 B．10 C．11 D．13【解析】 设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C．
2. (2023·江西模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13，则该数列的第11项为( )A．111 B．110 C．101 D．100
【解析】 设该数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，由二阶等差数列的定义可知，a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，即an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，an＋1－an＝2n，将所有上式累加可得an＋1－a1＝n(n＋1)，所以a11＝10(10＋1)＋1＝111，即该数列的第11项为a11＝111.故选A．
3. (多选)(2023·建水县校级模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列结论正确的是( )A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
角度2：等比数列的通项公式和前n项和
5. (2023·海淀区校级三模)已知{an}是公比为q(q>0)的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，则q＝_____.【解析】 因为{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即2a2q2＝a2＋a2q4，所以q4－2q2＋1＝0，则q2＝1，解得q＝±1，又q>0，则q＝1.故答案为1.
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
2. (2023·碑林区校级模拟)已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且6，a2，a5成等差数列，则S5＝__________.
核心考点2 等差数列、等比数列的性质
1.等差数列的常用性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(6)等差数列的函数性质①等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
2.等比数列常用的性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(4)对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
角度1：等差数列的性质的应用1. (2023·平顶山模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2＋S3＝4，a2＋a3＋a4＋a5＝7，则S9等于( )
2. (2023·阿拉善盟一模)等差数列{an}中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于________.【解析】 ∵a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 020＝10，由等差数列的性质得2a1 011＝10，即a1 011＝5，∴由等差中项的性质，a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15.故答案为15.
角度2：等比数列的性质3. (2023·河南驻马店统考二模)设等比数列{an}的前n项之积为Sn，若S3＝1，S9＝512，则a11＝( )A．2 B．4 C．8 D．16
4. (多选)(2023·广东佛山高二佛山市荣山中学校考期中)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是( )
角度3：等差等比数列的综合6. (多选)(2023·齐齐哈尔二模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是公差大于0的等差数列，且a3＝b3，a7＝b7，则( )A．a5＝b5 B．a5b1 D．a9>b9
等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
1. (2023·广东广州高二广东华侨中学校考期中)若前n项和为Sn的等差数列{an}满足a5＋a7＝12－a9，则S13－2＝( )A．46 B．48 C．50 D．52
2. (2023·大观区校级三模)在等比数列{an}中，a2a3a4＝4，a5a6a7＝16，则a8a9a10＝( )A．4 B．8 C．32 D．64
3.在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0
第1讲 等差数列与等比数列
1. (2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )A．14 B．12 C．6 D．3
2. (2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块
3. (2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则( )A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
4. (2022·北京卷)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈N*且k>N0，ak>0，
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6. (2023·新高考全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝( )A．120 B．85 C．－85 D．－120
7. (2022·北京卷)已知数列{an}各项均为正数，其前n项和Sn满足an·Sn＝9(n＝1,2，…)．给出下列四个结论：①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；其中所有正确结论的序号是__________.
核心考点1 等差、等比数列的基本运算
等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*)(1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1.
角度1：等差数列的通项公式和前n项和1. (2023·赣州二模)已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，若a3＋S3＝22，a4－S4＝－15，则a5＝( )A．7 B．10 C．11 D．13【解析】 设公差为d，则a1＋2d＋3a1＋3d＝22，a1＋3d－4a1－6d＝－15，解得a1＝3，d＝2，故a5＝a1＋4d＝3＋8＝11.故选C．
2. (2023·江西模拟)南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列，以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,3,7,13，则该数列的第11项为( )A．111 B．110 C．101 D．100
【解析】 设该数列为{an}，则a1＝1，a2＝3，a3＝7，a4＝13，由二阶等差数列的定义可知，a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，所以数列{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，即an＋1－an＝2n，所以a2－a1＝2，a3－a2＝4，a4－a3＝6，an＋1－an＝2n，将所有上式累加可得an＋1－a1＝n(n＋1)，所以a11＝10(10＋1)＋1＝111，即该数列的第11项为a11＝111.故选A．
3. (多选)(2023·建水县校级模拟)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则下列结论正确的是( )A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2
角度2：等比数列的通项公式和前n项和
5. (2023·海淀区校级三模)已知{an}是公比为q(q>0)的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，则q＝_____.【解析】 因为{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即2a2q2＝a2＋a2q4，所以q4－2q2＋1＝0，则q2＝1，解得q＝±1，又q>0，则q＝1.故答案为1.
等差数列、等比数列问题的求解策略(1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列．(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算．
2. (2023·碑林区校级模拟)已知等比数列{an}的公比为2，前n项和为Sn，且6，a2，a5成等差数列，则S5＝__________.
核心考点2 等差数列、等比数列的性质
1.等差数列的常用性质已知{an}为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和．(1)等差数列{an}中，当m＋n＝p＋q时，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(m，n，p∈N*)．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)．
(6)等差数列的函数性质①等差数列与一次函数的关系an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．
2.等比数列常用的性质设数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(4)对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)．
角度1：等差数列的性质的应用1. (2023·平顶山模拟)已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a2＋S3＝4，a2＋a3＋a4＋a5＝7，则S9等于( )
2. (2023·阿拉善盟一模)等差数列{an}中，若a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1＋a1 011＋a2 021等于________.【解析】 ∵a2，a2 020为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 020＝10，由等差数列的性质得2a1 011＝10，即a1 011＝5，∴由等差中项的性质，a1＋a1 011＋a2 021＝3a1 011＝15.故答案为15.
角度2：等比数列的性质3. (2023·河南驻马店统考二模)设等比数列{an}的前n项之积为Sn，若S3＝1，S9＝512，则a11＝( )A．2 B．4 C．8 D．16
4. (多选)(2023·广东佛山高二佛山市荣山中学校考期中)在正项等比数列{an}中，公比为q，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an＋1an＋2an＋3＝324，下列说法正确的是( )
角度3：等差等比数列的综合6. (多选)(2023·齐齐哈尔二模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是公差大于0的等差数列，且a3＝b3，a7＝b7，则( )A．a5＝b5 B．a5
等差、等比数列的性质问题的求解策略(1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解．(2)用性质，数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
1. (2023·广东广州高二广东华侨中学校考期中)若前n项和为Sn的等差数列{an}满足a5＋a7＝12－a9，则S13－2＝( )A．46 B．48 C．50 D．52
2. (2023·大观区校级三模)在等比数列{an}中，a2a3a4＝4，a5a6a7＝16，则a8a9a10＝( )A．4 B．8 C．32 D．64
3.在各项都为正数的等比数列{an}中，已知0
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