新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题1三角函数与解三角形第3讲三角函数与解三角形课件

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专题一　三角函数与解三角形
第3讲　三角函数与解三角形
1. (2021·全国新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asin C．(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cs∠ABC．
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b·2Rsin∠ABC＝a·2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asin C,∵BD sin∠ABC＝asin C．∴BD＝b；证法二：由正弦定理知，
∴asin C＝bsin∠ABC＝BDsin∠ABC，∴BD＝b.
在△CBD中，由余弦定理知，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B②，联立①②得11b2＝3c2＋6a2，
2. (2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，b＝a＋1，c＝a＋2.(1)若2sin C＝3sin A，求△ABC的面积；(2)是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
5. (2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；
【解析】　(1)证明：因为sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin Csin Acs B－sin Csin Bcs A＝sin Bsin Ccs A－sin Bsin Acs C，所以2a2＝b2＋c2.
故(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝50＋31＝81，所以b＋c＝9，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.
核心考点1　三角函数图象与性质的综合问题
解三角函数图象与性质的综合问题的方法(1)先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(一角一函数)的形式；(2)把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性，奇偶性，最值，对称性．
核心考点2　三角形中的基本量的求解
用正弦、余弦定理求解三角形中的基本量的方法(1)若已知的式子中含有余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；(2)若已知的式子中含有正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；(3)若已知的特征都不明显，则考虑两个定理都能用到．
(2023·陕西西安统考一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足(c－2a)cs B＋bcs C＝0.(1)求B；(2)若△ABC的周长为6，b＝2，求△ABC的面积．
【解析】　(1)∵(c－2a)cs B＋bcs C＝0，根据正弦定理可得：(sin C－2sin A)cs B＋sin Bcs C＝0，即(sin Ccs B＋sin Bcs C)－2sin Acs B＝0.∴sin(B＋C)－2sin Acs B＝0，即sin A－2sin Acs B＝0.∵0(2)由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accs B，即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，又a＋b＋c＝6，b＝2，∴ac＝4.
核心考点3　三角形中的证明问题
(1)证明：A＝2B；(2)若b＝1，求a＋c的取值范围．
由正弦定理得：sin C＝sin B＋2sin Bcs A，又因为A＝π－(B＋C)，所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acs B＋cs Asin B，所以sin Acs B＋cs Asin B＝sin B＋2sin Bcs A，即sin Acs B－cs Asin B＝sin B，所以sin(A－B)＝sin B，因为0三角形中的证明问题分两类：一是角的关系，可以利用三角恒等变换、转化为同名三角函数，或是某个三角函数值求角；二是边的关系，可利用正余弦定理转化边的关系，得到角的关系，再利用三角恒等变换从复杂的一边入手，证明两边相等，也可以利用比较法，左边减右边等于0.
(2023·福建模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C．(1)证明：3c2＋3b2＝5a2；
【解析】　(1)证明：∵tan Atan B＋tan Atan C＝3tan Btan C，
∴sin A(sin Bcs C＋cs Bsin C)＝3sin Bsin Ccs A，∴sin(B＋C)sin A＝3sin Bsin Ccs A，又sin(B＋C)＝sin A，∴sin2A＝3sin Bsin Ccs A，由正弦定理可得a2＝3bccs A，
整理得3b2＋3c2＝5a2.
核心考点4　三角形中的最值和范围的综合题
解决三角形中的最值问题或者范围问题一般是两种思路：一是利用正余弦定理的边角关系转化为三角函数，利用三角恒等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再根据角的范围求得最值或范围；二是寻求边角关系，利用基本不等式求得最值或范围．
1. (2023·湖南张家界统考二模)记△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C．(1)求A；
【解析】　(1)由asin(B＋C)＝b(sin B－sin C)＋csin C，得asin A＝bsin B＋(c－b)sin C，由正弦定理，得a2＝b2＋(c－b)c＝b2＋c2－bc.
所以b2＋c2－20＝bc，
2. (2023·全国模拟预测)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2(sin A－sin C)2＋cs 2B＝1－2sin Asin C．(1)求角B的大小；(2)若c＝3，求△ABC面积的取值范围．
【解析】　(1)因为2(sin A－sin C)2＋cs 2B＝1－2sin Asin C，所以(sin A－sin C)2＝sin2B－sin Asin C，所以sin2A＋sin2C－sin2B＝sin Asin C，
核心考点5　三角函数与解三角形的实际问题
(1)求1号机器人和2号机器人之间的距离；(2)若2号机器人发现足球在点D处向点A做匀速直线运动，2号机器人则立刻以足球滚动速度的一半做匀速直线运动去拦截足球．已知AD＝17米，忽略机器人原地旋转所需的时间，若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，求此时线段AE的长．
(2)如图，设BE＝x米．由题意，ED＝2x米．AE＝AD－ED＝(17－2x)米，在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2＋AE2－2AB·AEcs A，
故若2号机器人最快可在线段AD上的点E处截住足球，此时线段AE的长为7米．
三角函数背景下的数学建模问题，常以实际生活中的测量问题、航海问题、规划线路问题等为背景，考查利用数学模型解决实际问题的能力．求解实际问题中的解三角形问题，关键是对数据的采集与利用，将数据标注在相应平面图形中是准确将问题归类，建立解决问题的数学模型的有效措施．
(1)求此时猎豹与羚羊之间的距离AB的长度；(2)若此时猎豹到点C处比到点B处的距离更近，且开始以25 m/s的速度出击，与此同时机警的羚羊以20 m/s的速度沿北偏东15°方向逃跑，已知猎豹受耐力限制，最多能持续奔跑600 m，试问猎豹这次捕猎是否有成功的可能？请说明原因．
【解析】　(1)由题意作图如下：则∠APC＝45°，∠CBP＝60°，∠BAC＝45°－15°＝30°，
当∠ABC＝120°，∠ACB＝30°＝∠BAC，猎豹与羚羊之间的距离为AB＝BC＝100 m.
(2)由题意作图如下：设捕猎成功所需的最短时间为t，在△ABQ中，BQ＝20t，AQ＝25t，AB＝200，∠ABQ＝120°，