新高考数学一轮复习专题六数列微专题一数列中的奇偶项问题课件

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类型一:数列中连续两项和或积的问题(an+an+1= f(n)或an·an+1= f(n)型)1.an+an+1=f (n)型:由an+an+1=f(n),得an+1+an+2=f(n+1),从而an+2-an=f(n+1)-f(n),特别地,当f(n)= an+b(a≠0)时,an+2-an=a,则{an}的偶数项与奇数项分别构成一个公差为a的等差数列·an+1=f (n)型:由an·an+1=f(n),得an+1·an+2=f(n+1),从而 = ,特别地,当f(n)=aqn时, =q,则{an}的偶数项与奇数项分别构成一个公比为q的等比数列,其中a≠0,q≠0,1.
例1　已知数列{an}满足a1=3,anan+1=9×22n-1,n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{an}中的任意三项均不能构成等差数列.
  解析    (1)由 anan+1=9×22n-1,得 an+1an+2=9×22n+1,两式相除,得 =4,由a1a2=9×21,a1=3,得a2=6,所以数列{a2n-1}是首项为3,公比为4的等比数列,则a2n-1=3×22n-2=3×2(2n-1)-1;数列{a2n}是首项为6,公比为4的等比数列,则a2n=6×22n-2=3×22n-1.综上,数列{an}的通项公式为 an=3×2n-1.(2)证明:假设数列{an}中存在三项am,ak,ap(其中m类型二:an= 此类问题的常用解法:1.按奇偶项分为两个数列分别求解,但要注意原数列项数分奇数和偶数讨论.2.利用an= 转化为数列{an}的奇数项和偶数项求解.
例2　已知数列{an}满足a1+a3=2a2,an+1= 数列{cn}满足cn=a2n-1.(1)求数列{cn}和{an}的通项公式;(2)求数列{an}的前n项和Sn.
  解析    (1)由an+1= 得a2=3a1,a3=a2+2=3a1+2.因为a1+a3=2a2,所以a1+3a1+2=6a1,解得a1=1,由cn=a2n-1,得c1=a1=1,cn+1=a2n+1,又a2k=3a2k-1,a2k+1=a2k+2,k∈N*,所以a2k+1=3a2k-1+2,所以ck+1=3ck+2,即cn+1=3cn+2,所以cn+1+1=3(cn+1),又c1+1=2,所以数列{cn+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以cn+1=2·3n-1,所以cn=2·3n-1-1,则a2n-1=2·3n-1-1,故a2n=3a2n-1=2·3n-3.所以an= 
(2)当n为偶数时,Sn=(a1+a3+…+an-1)+(a2+a4+…+an)=4(a1+a3+…+an-1)=4(c1+c2+…+ )=4× =4· -2n-4;当n为奇数时,Sn=Sn+1-an+1=4· -2(n+1)-4-(2· -3)=2· -2n-3.综上,Sn= 
类型三:递推式中含有(-1)n型　　对n分奇、偶进行讨论,转化为相邻两项和或差求解.当项数不确定时,要分奇数和 偶数讨论求解.
例3　已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,且2Sn= +an.(1)求数列{an}的通项公式;(2)记cn=(-1)nanan+1,求数列{cn}的前n项和Tn.
  解析    (1)当n=1时,2S1=2a1= +a1,解得a1=1或a1=0(舍去),当n≥2时,由2Sn= +an得2Sn-1= +an-1,两式相减得2an= +an- -an-1,n≥2,所以(an+an-1)(an-an-1)-(an+an-1)=0,即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,又{an}各项均为正数,所以an-an-1=1,n≥2,所以{an}是公差为1的等差数列,所以an=n.(2)由(1)知cn=(-1)nn(n+1),当n为偶数时,Tn=(-1)×2+2×3+(-3)×4+4×5+…+[-(n-1)×n]+n×(n+1)