新高考数学一轮复习专题六数列微专题一数列中的奇偶项问题练习含答案

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2.(2024福建厦门毕业班第四次质量检测,15)设Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,S4=10,且Snn为等差数列.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=an,n为奇数,1anan+2,n为偶数,求{bn}的前2n项和T2n.
解析 (1)设等差数列Snn的公差为d,因为a1=S1=1,
所以S44-S11=3d,即104-1=3d,d=12,
所以Snn=1+12(n-1),即Sn=n(n+1)2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-n(n−1)2=n,
当n=1时,a1=1满足上式,所以an=n,n∈N*.
(2)由(1)知bn=n,n为奇数,1n(n+2),n为偶数,
则T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)
=(1+3+5+…+2n-1)+12×4+14×6+16×8+…+12n×(2n+2)
=n(1+2n−1)2+1212-14+14-16+…+12n-12n+2
=n2+14-14n+4.
所以数列{bn}的前2n项和为T2n=n2+14-14n+4.
3.(2024山东齐鲁名校联考七,17)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S6-S3=27,数列{cn}满足c1=a2=3,cn+1=2cn,n是偶数,cn−1,n是奇数,bn=c2n+c2n-1.
(1)求{an}的通项公式,并证明:bn+1=2bn-3;
(2)设tn=an(bn-3),求数列{tn}的前n项和Qn.
解析 (1)设{an}的公差为d.
∵{an}是等差数列,S6-S3=27,∴a4+a5+a6=27,
即3a5=27,a5=9,又a2=3,∴d=a5−a25−2=2,(2分)
∴an=a2+(n-2)d=3+(n-2)·2=2n-1.(3分)
由{cn}的递推关系可得c2n=c2n-1-1,c2n+1=2c2n,c2n+2=c2n+1-1,(4分)
∴bn=c2n+c2n-1=2c2n+1.
∵bn+1=c2n+2+c2n+1=4c2n-1=2(2c2n+1)-3,
∴bn+1=2bn-3.(7分)
(2)由(1)可知bn+1-3=2(bn-3),又∵b1-3=c1+c2-3=2≠0,∴数列{bn-3}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴bn-3=2×2n-1=2n,(9分)
∴tn=(2n-1)×2n,(10分)
∴Qn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-1)×2n,
∴2Qn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)×2n+1,(11分)
两式相减,可得-Qn=1×2+2(22+23+…+2n)-(2n-1)×2n+1
=2+8(1−2n−1)1−2-(2n-1)×2n+1=2+2n+2-8-(2n-1)×2n+1
=(3-2n)×2n+1-6,(14分)
∴Qn=(2n-3)×2n+1+6.(15分)
4.(2024山东青岛二中二模,16)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数,例如:φ(1)=1,φ(4)=2,φ(8)=4,数列{an}满足an=φ(2n)(n∈N*).
(1)求a1,a2,a3,并求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=(-1)nlg2a2na2n,求数列{bn}的前n和Sn.
解析 (1)由题意可知a1=φ(2)=1,a2=φ(4)=2,a3=φ(8)=4,(4分)
由题意可知,正偶数与2n不互素,所有正奇数与2n互素,比2n小的正奇数有2n-1个,
所以an=φ(2n)=2n-1.(6分)
(2)由(1)知an=φ(2n)=2n-1,所以a2n=φ(22n)=22n-1,
所以bn=(-1)nlg2a2na2n=(-1)nlg222n−122n−1=(-1)n(2n-1)24n=(4n-2)−14n,(8分)
所以Sn=2×−141+6×−142+…+(4n-6)×−14n−1+(4n-2)×−14n,①
−14Sn=2×−142+6×−143+…+(4n-6)×−14n+(4n-2)×−14n+1,②(10分)
①-②得54Sn=2×−141+4−142+…+−14n-(4n-2)×−14n+1=-12+4×1161−−14n−11−−14-(4n-2)×−14n+1
=-12+151−−14n−1-(4n-2)×−14n+1=-310-20n+65×(−4)n+1,(13分)
所以Sn=-625+20n+625×(−4)n.(15分)
5.(2024河北石家庄二模,17)已知数列{an}满足a1=7,an+1=an−3,n为奇数,2an,n为偶数.
(1)写出a2,a3,a4;
(2)证明:数列{a2n-1-6}为等比数列;
(3)若bn=a2n,求数列{n·(bn-3)}的前n项和Sn.
解析 (1)因为a1=7,所以a2=a1-3=4,(1分)
a3=2a2=8,(2分)
a4=a3-3=5.(3分)
(2)证明:因为an+1=an−3,n为奇数,2an,n为偶数,
所以a2n+1-6=2a2n-6=2(a2n-1-3)-6=2(a2n-1-6),(5分)
即a2n+1−6a2n−1−6=2,且a1-6=1,
所以数列{a2n-1-6}是首项为1,公比为2的等比数列.(7分)
(3)由(2)可知a2n-1-6=1·2n-1,即a2n-1=2n-1+6,
因为2n为偶数,2n-1为奇数,
所以bn=a2n=a2n-1-3=2n-1+3,(9分)
所以n·(bn-3)=n·(2n-1+3-3)=n·2n-1,(10分)
则Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①
2Sn=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,②
①-②得-Sn=1+21+22+…+2n-1-n2·2n=1−2n1−2-n·2n.(14分)
所以Sn=(n-1)2n+1.(15分)