2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）月考数学试卷（11月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）月考数学试卷（11月份）（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，八年级的优秀率即可得．等内容，欢迎下载使用。

1．在﹣23，﹣5，0，8这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣23B．﹣5C．0D．8
2．在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（ ）
A．圆锥B．正方体
C．三棱柱D．圆柱
3．下列运算一定正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（a2b）2＝a4b2
4．反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）
5．如图，△OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A（2，1），B（3，0），N（9，0），则点M的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（6，3）C．（5，3）D．（5，4）
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
7．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（ ）
A．71B．78C．85D．89
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为x m，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．x（12﹣2x+1）＝20D．x（12﹣2x﹣1）＝20
9．如图，正方形ABCD中，边长为8，E为AB中点，F为正方形内部一点，连接DE、DF，若DE平分∠ADF且DA＝DF，则BF的长为（ ）
A．B．4C．D．
10．已知A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，则下列说法：
①若a＝2，b＝4，则A﹣B＝0；
②若2A+B的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4；
③当a＝1，b＝4时，若|2A﹣B|＝6，则或；
④当a＝﹣1，b＝1时，|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，则．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算：＝ ．
12．有四张正面写有数字1，2，3，4的卡片，卡片除数字外其余完全相同，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，不放回，再随机抽取1张，那么两张卡片的数字之和为偶数的概率是 ．
13．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+1的值为 ．
14．某一时刻太阳光下身高1.5m的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为 m．
15．如图，△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 ．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a之和是 ．
17．如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上．若AB＝4，则GH＝ ．
18．对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若F（m）为整数，则称数m为“重九数”，F（4050）＝ ，若“重九数”n＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（1）（x﹣1）2﹣x（x﹣2）；
（2）．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）尺规作图：在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形AOBF为矩形．
证明：∵BF⊥AE，
∴ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵BE＝BC，
∴ ，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴ ，
∴∠AFB+∠FBO＝180°，
∴ ，
∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°，
∴四边形AOBF为矩形．
21．2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
22．为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线2.4km，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为12km的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
23．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度．
24．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝33m，求这座古塔的高度．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，动点M从点C出发，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到AC的距离MH为y个单位长度．
（1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 ．
（3）根据图象直接写出当y≥2时t的取值范围： ．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，直线l1与直线l2交于点D（2，d）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴于点F，交l1直线于点G，当EG+BF＝时，求△EGD的面积；
（3）如图2，将l2向下平移3个单位长度得到直线l3，直线l3与直线l1交于点H，点D关于y轴的对称点为点G，点M为直线l1上一个动点，点N为直线l2上一个动点．若以点G，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标并写出求其中一个点M坐标的过程．
27．在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，连接AE，当B、A、E三点共线时，若AB＝4，求AE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
参考答案
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．在﹣23，﹣5，0，8这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣23B．﹣5C．0D．8
【分析】首先求出所给的每个数的绝对值，然后根据有理数大小比较的方法判断即可．
解：|﹣23|＝23，|﹣5|＝5，|0|＝0，|8|＝8，
∵23＞8＞5＞0，
∴在﹣23，﹣5，0，8这四个数中，绝对值最大的数是﹣23．
故选：A．
【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及有理数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2．在下面的四个几何体中，它们各自的三视图相同的是（ ）
A．圆锥B．正方体
C．三棱柱D．圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解：A．俯视图是带圆心的圆，左视图和左视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
B．主视图、俯视图与左视图都是正方形，故本选项符合题意；
C．左视图是三角形，主视图和俯视图是矩形，故本选项不合题意；
D．俯视图是圆，主视图和左视图是矩形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的轮廓线都应表现在三视图中．
3．下列运算一定正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5B．a6÷a2＝a3
C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．（a2b）2＝a4b2
【分析】根据合并同类项法则、幂的运算分别计算可得答案．
解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故此选项错误，不符合题意；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误，不符合题意；
C、（﹣2a）2＝4a2，故此选项错误，不符合题意；
D、（a2b）2＝a4b2，故此选项正确，符合题意
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除运算、积的乘方以及幂的乘方，正确掌握运算法则是解题关键．
4．反比例函数y＝﹣的图象一定经过的点是（ ）
A．（1，4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，2）D．（2，2）
【分析】根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
解：∵反比例函数y＝﹣，
∴k＝﹣4，
A、∵1×4＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵﹣1×（﹣4）＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵﹣2×2＝﹣4，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
D、∵2×2＝4≠﹣4，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k＝xy为定值是解答此题的关键．
5．如图，△OAB与△OMN是以点O为位似中心的位似图形，若A（2，1），B（3，0），N（9，0），则点M的坐标为（ ）
A．（4，2）B．（6，3）C．（5，3）D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质得到△OMN∽△OAB，相似比为1：3，进而求出点M的坐标．
解：∵△OMN与△OAB是以点O为位似中心的位似图形，B（3，0），N（9，0），
∴△OMN∽△OAB，相似比为1：3，
∵A（2，1），
∴点M的坐标为（6，3），
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，求出△OMN与△OAB的相似比为1：3是解题的关键．
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解．
解：原式＝＝，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键．
7．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第8个图形中小正方形的个数是（ ）
A．71B．78C．85D．89
【分析】观察图形可知，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；…；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，进而得出答案．
解：第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；
第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3；
…；
则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，
所以第8个图形共有小正方形的个数为：9×9+8＝89．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
8．用12m长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，场地的面积为20m2，并且在垂直于墙的一边开一个1m长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为x m，那么可列方程为（ ）
A．B．
C．x（12﹣2x+1）＝20D．x（12﹣2x﹣1）＝20
【分析】根据各边长度间的关系，可得出平行于墙的一边长为（12﹣2x+1）m，根据场地的面积为20m2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
解：∵铁丝的长度为12m，且垂直于墙的一边长为x m，
∴平行于墙的一边长为（12﹣2x+1）m．
根据题意得：x（12﹣2x+1）＝20．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．如图，正方形ABCD中，边长为8，E为AB中点，F为正方形内部一点，连接DE、DF，若DE平分∠ADF且DA＝DF，则BF的长为（ ）
A．B．4C．D．
【分析】连接AF，交ED于点O，根据勾股定理求出DE，证明△AED≌△FED（SAS），推出DE垂直平分AF，根据面积法，求出AF，再证明△ADF∽△BEF，即可求解．
解：如图，连接AF交DE于点O，
∵正方形ABCD中，边长为8，E为AB中点，
∴BE＝AE＝4，∠EAD＝90°，
根据勾股定理可得，
∵DE平分∠ADF，
∴∠ADE＝∠FDE，
∵AD＝FD，ED＝ED，
∴△ADE≌△FDE（SAS），
∴AE＝FE，AD＝FD，∠DFE＝90°，
∴ED垂直平分AF，
在△AED中，，
∴，
∴，
∵∠ADF+∠AEF＝180°，∠BEF+∠AEF＝180°，
∴∠ADF＝∠BEF，
∵DA＝DF，EB＝EF，
∴∠DAF＝∠EBF，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
可得，
故选：D．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形，作出正确的辅助线是解题的关键．
10．已知A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，则下列说法：
①若a＝2，b＝4，则A﹣B＝0；
②若2A+B的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4；
③当a＝1，b＝4时，若|2A﹣B|＝6，则或；
④当a＝﹣1，b＝1时，|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，则．
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】运用整式的加减运算对各个说法进行逐一辨别．
解：∵A＝ax2﹣4x+3，B＝2x2﹣bx﹣3，
∴当a＝2，b＝4时，
A﹣B＝（2x2﹣4x+3）﹣（2x2﹣4x﹣3）
＝2x2﹣4x+3﹣2x2+4x+3
＝6，
∴说法①不符合题意；
∵2A+B＝2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）
＝2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3
＝（2a+2）x2﹣（8+b）x+3，
∴当其值与x的取值无关时，
2a+2＝0，8+b＝0，
解得a＝﹣1，b＝﹣8，
∴说法②不符合题意；
∵|2A﹣B|＝|2（ax2﹣4x+3）﹣（2x2﹣bx﹣3）|
＝|2ax2﹣8x+6﹣2x2+bx+3|
＝|（2a﹣2）x2+（﹣8+b）x+9|，
∴当a＝1，b＝4时，
|2A﹣B|＝|（2×1﹣2）x2+（﹣8+4）x+9|
＝|﹣4x+9|
＝6，
∴﹣4x+9＝6或﹣4x+9＝﹣6，
解得或，
∴说法③符合题意；
∵当a＝﹣1，b＝1时，
|2A+B﹣4|+|2A+B+3|
＝|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）﹣4|+|2（ax2﹣4x+3）+（2x2﹣bx﹣3）+3|
＝|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3﹣4|+|2ax2﹣8x+6+2x2﹣bx﹣3+3|
＝|（2a+2）x2﹣（8+b）x﹣1|+|（2a+2）x2﹣（8+b）x+6|
＝|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x﹣1|+|[2×（﹣1）+2]x2﹣（8+1）x+6|
＝|﹣9x﹣1|+|﹣9x+6|，
当﹣9x﹣1≤0且﹣9x+6≥0，即﹣≤x≤时，
|2A+B﹣4|+|2A+B+3|有最小值为7，
∴说法④符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了绝对值的应用和整式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地讨论、求解．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算：＝ ﹣4 ．
【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
解：原式＝4﹣9+1
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
12．有四张正面写有数字1，2，3，4的卡片，卡片除数字外其余完全相同，将其背面向上并洗匀，随机抽取1张后，不放回，再随机抽取1张，那么两张卡片的数字之和为偶数的概率是 ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
解：列树状图得：
由表知，共有12种等可能结果，其中抽出的两张卡片上的数字之和为偶数的有4种结果，
所以两张卡片的数字之和为偶数的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+1的值为 13 ．
【分析】先把m代入方程x2﹣2x﹣6＝0，得到m2﹣2m＝6，再代入代数式2m2﹣4m+1，即可求出答案．
解：把m代入方程x2﹣2x﹣6＝0，得到m2﹣2m﹣6＝0，
所以m2﹣2m＝6，
所以代数式2m2﹣4m+1＝2×6+1＝13；
故答案为13．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14．某一时刻太阳光下身高1.5m的小明的影长为2m，同一时刻旗杆的影长为6m则旗杆的高度为 4.5 m．
【分析】根据成比例关系可知，人身高比上人的影长等于旗杆长比上旗杆的影长，代入数据即可得出答案．
解：设旗杆高度为x m，根据题意得，
，
解得x＝4.5．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查了平行投影以及相似三角形的应用，熟知在同一时刻物高与影长的比相等是解题的关键．
15．如图，△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO＝90°，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若四边形MNQP的面积为3，则k的值为 ﹣18 ．
【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出．
解：∵NQ∥MP∥OB，
∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，
∵M、N是OA的三等分点，
∴＝，＝，
∴＝，
∵四边形MNQP的面积为3，
∴＝，
∴S△ANQ＝1，
∵＝（）2＝，
∴S△AOB＝9，
∴|k|＝2S△AOB＝18，
∴k＝﹣18．
故答案为：﹣18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，正确地求出S△ANQ＝1是解题的关键．
16．若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数a之和是 ﹣13 ．
【分析】解不等式组解不等式组，得出a＞﹣11，解分式方程得出，结合题意得出a＝﹣8或﹣5，进而即可求出答案．
解：解不等式组，
解①得，3（x﹣1）≥4x﹣1，
解得：x≤﹣2，
解②得，5x＜a+1，，
∴不等式的解为，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，
∴，
∴a＞﹣11，
解分式方程得，
y﹣1＝a﹣2（y+1），
y﹣1＝a﹣2y﹣2，
y+2y＝a﹣1，
3y＝a﹣1，
，
∵关于y的分式方程的解为负整数且y+1≠0，
∴是负整数且，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值的和为：﹣5+（﹣8）＝﹣13，
故答案为：﹣13．
【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
17．如图所示，将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上．若AB＝4，则GH＝ ．
【分析】利用矩形的性质和翻折的性质，得到，∠AEB＝∠HEB，∠DEF＝∠HFE，可得∠AEB+∠DEF＝90°，从而证明△AEB∽△DFE，即可求得ED，同理可得△DFE∽△CGF，即可求得GH的值．
解：∵将矩形ABCD分别沿BE，EF，FG翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，
∴，∠AEB＝∠HEB，∠DEF＝∠HFE，AE＝EH＝ED，
∴∠AEB+∠DEF＝90°，
∵∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠DEF＝∠ABE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△AEB∽△DFE，
∴，
即可得，
得到或﹣2（不合题意，舍去），
同理可得△DFE∽△CGF，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用翻折的性质得到∠AEB+∠DEF＝90°是解题的关键．
18．对任意的四位数m，若千位数字与十位数字之和减去百位数字与个位数字之和的差等于9，将m的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s，将m的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t，记，若F（m）为整数，则称数m为“重九数”，F（4050）＝ 10 ，若“重九数”n＝1000a+100b+10c+d（1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数）是7的倍数，则满足条件的n的最大值是 9891 ．
【分析】先分别将4050和n的千位数字和百位数字去掉得到s，将4050和n的十位数字和个位数字去掉得到t，再根据“九重数”的特征求出F（4050）和F（n），最后根据“重九数”n是7的倍数及1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数确定a、b、c、d的值即可．
解：将4050的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s＝50，将4050的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t＝40，
∴F（4050）＝＝10；
将n的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数s＝10c+d，将n的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数t＝10a+b，
∵n是“重九数”，
∴F（n）＝，a+c﹣（b+d）＝9，
∴F（n）＝﹣1，
∵1≤a≤9，0≤b，c，d≤9，a，b，c，d为整数，
∴要使n最大，则a，b，c，d的值必须最大，而且a的取值尽可能大，
当a＝9，则c＝9时，
∵a+c﹣（b+d）＝9，
∴18﹣9＝b+d，
∴b+d＝9，
当b＝9，d＝0时，此时n＝9990，n不是7的倍数，不符合题意，
当b＝8，d＝1时，此时n＝9891，n是7的倍数，符合题意，
∴满足条件的n的最大值是9891．
故答案为：10；9891．
【点评】本题是新定义型，主要考查因式分解的应用，明确“九重数”的特征是解题的关键
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（1）（x﹣1）2﹣x（x﹣2）；
（2）．
【分析】（1）利用完全平方公式，单项式乘多项式，合并同类项，即可解答；
（2）先将括号中式子通分，再算乘除，即可解答．
解：（1）（x﹣1）2﹣x（x﹣2），
＝x2﹣2x+1﹣x2+2x，
＝1；
（2），
＝，
＝，
＝，
＝．
【点评】本题考查了整式的乘除和乘法公式，分式的混合运算，熟练掌握相关计算法则是解题的关键．
20．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）尺规作图：在CB的延长线上截取BE＝BC，连接AE，再过点B作AE的垂线交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形AOBF为矩形．
证明：∵BF⊥AE，
∴ ∠AFB＝90° ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵BE＝BC，
∴ AD＝BE ，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴ AE∥BD ，
∴∠AFB+∠FBO＝180°，
∴ ∠OBF＝90° ，
∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°，
∴四边形AOBF为矩形．
【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法作图；
（2）根据“三个角是直角的四边形是矩形”进行证明．
解：（1）如图：
（2）证明：∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵BE＝BC，
∴AD＝BE，
又∵AD∥BC，
∴四边形ADBE为平行四边形，
∴AE∥BD，
∴∠AFB+∠FBO＝180°，
∴∠OBF＝90°，
∴∠AFB＝∠AOB＝∠FBO＝90°，
∴四边形AOBF为矩形，
故答案为：∠AFB＝90°，AD＝BE，AE∥BD，∠OBF＝90°．
【点评】本题考查了基本作图，掌握矩形的判定定理是解题的关键．
21．2023年6月5日是世界环境日，某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试．为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析（单位：分，满分100分），将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
其中，七年级学生的竞赛成绩为：
66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，
86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
八年级等级C的学生成绩为：81，82，83，86，87，88，89．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
根据以上信息，解答下列问题；
（1）填空：a＝ 87.5 ，b＝ 88 ，m＝ 35 ；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）
（3）若七年级有500名学生参赛，八年级有700名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？
【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出a和b的值；利用八年级C组的频数除以20即可得m的值；
（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；
（3）分别利用500和800乘以七、八年级的优秀率即可得．
解：（1）八年级A、B组的频数和为20×（10%+15%）＝5，
所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，
则其中位数a＝＝87.5，
七年级D组的人数为10%×20＝2（人），
根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b＝88，
∵m%＝7÷20×100%＝35%，
所以m＝35；
故答案为：87.5，88，35；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；
（3）500×+800×（1﹣10%﹣15%﹣35%）＝150+320＝470（人），
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有470人．
【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估算总体，加权平均数，中位数，掌握相关知识是解题的关键．
22．为方便群众出行，甲、乙两个工程队负责修建某段通往高铁站的快线，已知甲队每天修路的长度是乙队的1.5倍，如果两队各自修建快线2.4km，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲，乙两个工程队每天各修路多少km？
（2）现计划再修建长度为12km的快线，由甲、乙两个工程队来完成．若甲队每天所需费用为1万元，乙队每天所需费用为0.6万元，求在总费用不超过38万元的情况下，至少安排乙工程队施工多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合两队各自修建公路2.4km时甲队比乙队少用4天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设安排乙工程队施工m天，则安排甲工程队施工天，根据总费用不超过38元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设乙工程队每天修路x米，则甲工程队每天修路1.5x米，
依题意得：﹣＝4．
解得：x＝0.2，
经检验，x＝0.2是原方程的解．
∴1.5x＝0.3．
答：甲工程队每天修路0.3千米，乙工程队每天修路0.2千米；
（2）设安排乙工程队施工m天，
则安排甲工程队施工的天数为，
依题意得：0.6m+×1≤38，
解得：m≥30．
答：至少安排乙工程队施工30天．
【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
23．如图，AB表示一个窗户的高，AM和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC＝1m．已知某一时刻BC在地面的影长CN＝1.5m，AC在地面的影长CM＝4.5m，求窗户的高度．
【分析】阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线BN与AE仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出AB的长，即窗户的高度．
解：∵BN∥AM，
∴∠CBN＝∠A，∠CNB＝∠M，
∴△CBN∽△CAM，
∴＝，
∴＝，
解得：CA＝3（m），
∴AB＝3﹣1＝2（m），
答：窗户的高度为2m．
【点评】本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．
24．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝33m，求这座古塔的高度．
【分析】先根据小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB可知，BH＝DG＝EF＝1.6m，再小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m求出CG的长，由于CD∥AB可得出△EGC∽△EHA，再根据相似三角形的对应边成比例可求出AH的长，进而得出AB的长．
解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直，EH⊥AB
∴BH＝DG＝EF＝1.6m，EG＝DF，GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.6＝0.8m，
∵CD∥AB，
∴△EGC∽△EHA，DF＝2m，DB＝33m，
∴＝，即＝，
解得AH＝14m．
∴AB＝AH+BH＝14+1.6＝15.6m．
答：古塔的高度是15.6米．
【点评】本题考查的是相似三角形的应用，先根据题意得出相似三角形，再根据相似三角形的对应边成比例得出结论是解答此题的关键．
25．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点D是BC的中点，动点M从点C出发，沿着折线C→D→A（含端点C和A）运动，速度为每秒1个单位长度，到达A点停止运动，设点M的运动时间为t秒，点M到AC的距离MH为y个单位长度．
（1）求y关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）在直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出它的一条性质 当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，当5＜t≤10时，y随t的增大而减小 ．
（3）根据图象直接写出当y≥2时t的取值范围： ≤t≤ ．
【分析】（1）分两种情形：当0≤t≤5时，当5＜t≤10时，利用三角函数的定义求解；
（2）画出函数图象，可得结论；
（3）利用图象法解决问题即可．
解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝＝10，
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD＝5，
∴AD＝DB＝DC＝5，
∴∠C＝∠DAC，
∴sin∠DAC＝sinC＝＝，
当0≤t≤5时，y＝CM•sinC＝t．
当5＜t≤10时，y＝（10﹣t）•＝﹣t+6．
综上所述，y＝；
（2）函数图象如图所示：
性质：当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，当5＜t≤10时，y随t的增大而减小．
故答案为：当0≤t≤5时，y随t的增大而增大，当5＜t≤10时，y随t的增大而减小；
（3）观察图象可知，当y＝2时，x＝或，
∴当≤t≤时，y≥2．
故答案为：≤t≤．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
26．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，直线l1与直线l2交于点D（2，d）．
（1）求直线l2的解析式；
（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴于点F，交l1直线于点G，当EG+BF＝时，求△EGD的面积；
（3）如图2，将l2向下平移3个单位长度得到直线l3，直线l3与直线l1交于点H，点D关于y轴的对称点为点G，点M为直线l1上一个动点，点N为直线l2上一个动点．若以点G，H，M，N为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有满足条件的点M的坐标并写出求其中一个点M坐标的过程．
【分析】（1）根据题意求出D点的坐标，然后用待定系数法求出直线l2的解析式即可；
（2）设出点E的横坐标为a，根据EF垂直于x轴表示出点G和F的坐标，再表示出EG的长度，然后根据关系列出方程求出a的值，进而求出EG及其上的高，最后根据三角形面积公式即可；
（3）分GH为平行四边形的一边和对角线两种情况分别运用平移和对角线互相平分进行解答即可．
解：（1）∵直线l1与直线l2交于点D（2，d），
∴当x＝2时，d＝﹣2+5＝﹣3，
∴点D坐标为（2，3），
设直线l2的解析式为y＝kx+b，
把点B（﹣4，0）和D（2，3）分别代入y＝kx+b中，
得：，
解得：，
∴直线l2的解析式为y＝x+2；
（2）设点E的坐标为（a，a+2），则点G（a，﹣a+5），F（a，0），
∴EG＝﹣a+5﹣（a+2）＝﹣a+3，
∵B（﹣4，0）
∴BF＝a﹣（﹣4）＝a+4，
∴﹣a+3+a+4＝，
解得：a＝，
∴EG＝，
∵△EGD中EG边上的高为：2﹣（）＝，
∴△EGD的面积＝；
（3）∵将l2向下平移3个单位长度得到直线l3，
∴直线l3的解析式为y＝x+2﹣3，
即y＝x﹣1，
由题意得：，
解得：，
∴点H（4，1），
∵点D关于y轴的对称点为点G，
∴点G（﹣2，3），
设M（b，﹣b+5），N（c，c+2），
①当GH为平行四边形一边时，则GH∥MN，GH＝MN，即点G、H平移方式相同得到M、N或N、M，
A．当点G、H平移方式相同得到M、N时，
则有，
解得：，
∴M（，）；
B．当点G、H平移方式相同得到N、M时，
则有，
解得：，
∴M（，）；
②当GH为平行四边形的对角线时，
∵平行四边形的对角线互相平分，即线段GH和MN的中点相交，
∴，
解得：，
∴M（，）．
综上，点M的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，一次函数的几何变换，三角形面积计算，平行四边形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键．
27．在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转120°，得到DE，连接CE．
（1）如图1，连接AE，当B、A、E三点共线时，若AB＝4，求AE的长；
（2）如图2，取CE的中点F，连接DF，猜想AD与DF的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接BE、AF交于G点．若GF＝DF，请直接写出的值．
【分析】（1）作EF⊥AC交CA的延长线于F，先推出∠ADB＝90°，进而求出AD＝AE＝1，解Rt△AEF，从而求得AE；
（2）连接AF并延长至H，使FH＝AF，先证得△EFH≌△CFA，进而证得△DEH≌△DBA，进一步得∠DAH＝30°，∠ADF＝90°，从而得出DF＝；
（3）连接DG，作DM⊥AB于M，先证得点A、B、D、G共圆，从而得出∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，∠FDG＝∠ABD＝45°，设AM＝x，解斜三角形ABD和△BDE，进一步求得结果．
解：（1）如图1，
作EF⊥AC交CA的延长线于F，
∴∠AFE＝90°，
∵BD＝DE，∠BDE＝120°，
∴∠BED＝∠DBE＝＝＝30°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝2，
∵∠BAC＝∠AED+∠ADE，
∴∠ADE＝∠BAC﹣∠AED＝60°﹣30°＝30°，
∴AE＝AD＝2；
（2）如图2，DF＝，理由如下：
连接AF并延长至H，使FH＝AF，
∵F是CE的中点，
∴EF＝CF，
∵∠EFH＝∠CFA，
∴△EFH≌△CFA（SAS），
∴EH＝AC，∠CAF＝∠EHF，
∴AC∥EH，
∴∠DEH＝∠ADE，
∵∠BDE＝120°，
∴∠ADE+∠ADB＝120°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴∠ABD+∠ADB＝120°，EH＝AB，
∴∠ADE＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠DEH，
∵DE＝BD，
∴△DEH≌△DBA（SAS），
∴AD＝DH，∠EDH＝∠ADB，
∴∠DAH＝∠AHD，∠EDH+∠ADE＝∠ADB+∠ADE＝∠BDE，
∴∠ADH＝120°，
∴∠DAH＝30°，
∵AD＝DH，AF＝FH，
∴DF⊥AH，
∴∠ADF＝90°，
∴DF＝；
（3）如图3，
连接DG，作DM⊥AB于M，
由（2）知：∠AFD＝90°，∠FAD＝30°，∠DEB＝30°，
∴∠FAD＝∠DEB，∠BAF＝∠BAC+∠DAF＝90°，
∴点A、B、D、G共圆，
∴∠BDG＝180°﹣∠BAF＝90°，
∵GF＝DF，
∴∠FGD＝∠GDF＝45°，
∴∠ABD＝∠FGD＝45°，
∴∠FDG＝∠ABD＝45°，
∴BM＝DM，
在Rt△ADH中，∠BAC＝60°，
设AM＝x，则BM＝DM＝AM•tan60°＝x，AD＝2x，
∴AC＝AB＝AM+BM＝（1+）x，BD＝＝x，
∵BE＝2•（BD•sin60°）＝2×x＝3x，
∴CD＝AC﹣AD＝（1+）x﹣2x＝（）x，
∴＝＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是“倍长中线”及“四点共圆”等模型方法．
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
b
59.66
八年级
85.2
a
91
91.76
学生
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85.2
86
b
59.66
八年级
85.2
a
91
91.76