2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（含解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”.若收入100元记作+100元，那么支出30元应记作( )
A. +30元B. −30元C. +70元D. −70元
2.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.若2xmy3与−3xyn是同类项，则m+n的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.为了了解某区初中毕业年级体育考试情况，从20000名初三年级学生中随机抽取1200名学生的体育考试成绩进行分析，下列说法正确的是( )
A. 该调查方式是普查B. 每名初三学生的体育考试成绩是个体
C. 1200名学生是总体的一个样本D. 20000名考生是总体
5.如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，若点B坐标为(1,1)，则点D的坐标是( )
A. (3,3)
B. (4,4)
C. (5,5)
D. (6,6)
6.估计 6×(2 3- 6)的结果应在
( )
A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间
7.如图，长为38cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块.除阴影A、B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为6cm，则阴影A的周长比阴影B的周长多( )
A. 20cmB. 18cmC. 16cmD. 14cm
8.如图，点D是⊙O的弦AB延长线上一点，CD切⊙O于点C，若OB/​/CD，AB=OB= 3，则BD的长度为( )
A. 5
B. 3+1
C. 2 3
D. 2
9.如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上一点，连接DE，点F为对角线AC的中点，连接EF，若DE⊥AC，AB=2AD，设∠AFE=α，则∠DAF的度数可以表示为( )
A. 45°+12αB. 45°+αC. 45°−αD. 45°−12α
10.已知有序整式串：m−n，m，对其进行如下操作：
第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：−n，m−n，m；
第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：−m，−n，m−n，m；
依次进行操作.下列说法：
①第3次操作后得到的整式串为：−m+n，−m，−n，m−n，m；
②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等；
③第2024次操作后得到的整式串各项之和为m−2n．
其中正确的个数是( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.2024年3月12日是我国第46个植树节，截至2023年，全国完成新增种植和低产林改造10180000亩，将数据10180000用科学记数法表示为______．
12.若反比例函数y=8x的图象经过点A(4,m)和点B(−4,n)，则m ______n(填“>”“=”或“<”)．
13.有四张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有−2，−3，2，3，从这四张卡片随机同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和小于0的概率是______．
14.如图，已知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=280°，那么∠6= ______°.
15.如图，在扇形AOB中，∠AOB=105°，半径OA=8，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在AB上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的面积是______.(结果保留π)
16.在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边CD于点E，与边AB的垂直平分线相交于点O，若点O恰好为线段AE的中点，且tan∠DAE=23，EC=2，则BC的长是______．
17.若整数a使关于x的一元一次不等式组x−13≤x21−x≥a有解，同时使得关于y的分式方程1+a−y2−y=1y−2的解为非负整数，则满足条件的所有a的值之和是______．
18.若一个四位正整数abcd−的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为______；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数ab−记为s，后两位数字组成的两位数cd记为t，规定F(M)=s+t9，G(M)=s−t3.若F(M)、G(M)都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(1)4x(x−y)−(2x+y)2；
(2)(2aa−2−1)÷a2+4a+4a2+2a．
20.(本小题10分)
学习了正方形的对称性后，同学们发现过正方形对称中心O的直线l将正方形分成面积相等的两部分.某小组就“能否在此基础上再作一条直线将正方形的面积四等分”进行了探究.小明的想法是：过点O作直线l的垂线.他的证明思路是：连接OB、OC，通过证明三角形全等将四边形的面积转化成三角形的面积从而使问题得到解决，请根据他的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点O作直线l的垂线交AD于点H，交BC于点F，连接OB、OC.(只保留作图痕迹)
已知：如图，过正方形ABCD对称中心O作两条互相垂直的直线分别交AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H．
求证：S四边形OEAH=S四边形OFBE=S四 边形OGCF=S四边形OHDG．
证明：∵O为正方形的对称中心，
∴O为正方形对角线AC、BD的交点，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠EBO=∠FCO=45°．
∵HF⊥EG于点O，
∴ ______=90°．
∴∠EOF−∠BOF=∠BOC−∠BOF，
∴ ______．
∴在△EOB和△FOC中，
∠EBO=∠FOCOB=OC∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC(ASA)，
∴ ______，
∴S四边形OFBE=S△OEB+S△OFB=S△OFC+S△OFB=S△OBC=14S正方形ABCD，
同理可得S四边形OEAH=S四边形OGCF=S四边形OHDG=14S正方形ABCD，
∴S四边形OEAH=S四边形OFBE=S四边形OGCF=S四边形OHDG．
根据题意完成以下命题：过正方形对称中心的两条互相垂直的直线______．
21.(本小题10分)
为了解A、B两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买A、B两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析(体验评分用x表示，共分为三个等级：差评0≤x<4，中评4≤x<9，好评9≤x≤10)，下面给出了部分信息．
购买A款饮水机的10名用户体验评分：2，6，6，7，8，8，9，9，9，10．
购买B款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为：5，7，7，7，8，8．
购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的a= ______，b= ______，m= ______；
(2)根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由(写出一条理由即可)；
(3)若购买A款饮水机的用户有2000名，购买B款饮水机的用户有1500名，估计对A、B两款饮水机好评的用户共有多少名？
22.(本小题10分)
如图1，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=8，AD=2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线B→D→A方向运动，到点A处停止；动点Q从点C出发，以同样的速度沿着折线C→D→A方向运动，到点A处停止.令y=S△ABP+S△ACQ，运动时间记为x秒，请回答下列问题：
(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围；
(2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出一条性质；
(3)根据图象直接写出当y≥5时，x的取值范围．
23.(本小题10分)
为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标.已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍．
(1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天？
(2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程.两队同时开工，同时完工.已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？
24.(本小题10分)
如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线AO直接挖掘前往.经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①A−C−D−O；线路②A−B−O.其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西30°方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东30°方向.(参考数据： 2≈1.41， 6=2.45)
(1)求CD的长度；(结果保留根号)
(2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O．
25.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ 3(a≠0)与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM/​/x轴交BC于点M，过点P作PN/​/AC交BC于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)把原抛物线y=ax2+bx+ 3(a≠0)沿射线AC方向平移8个单位，点E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接BE、CE，将△BCE沿直线BC翻折，使得点E的对应点点Q落在坐标轴上，写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程．
26.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，过点A作AO⊥BC于点O，点D是BC边上一点，连接AD．
(1)如图1，若∠BAD=15°，AD=2 2，求BD的长；
(2)如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE.求证：AC= 3BD+2EF；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出S△AOES△AO′C的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
∴支出30元应记作−30元，
故选：B．
根据正负数的定义作答即可．
本题考查的是正负数，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、B、C中的图形不是轴对称图形，故ABC不符合题意；
D、图形是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
3.【答案】C
【解析】解：∵2xmy3与−3xyn是同类项，
∴m=1，n=3，
∴m+n=1+3=4，
故选：C．
根据同类项的定义可得m=1，n=3，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了同类项，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、该调查方式是抽样调查，故A不符合题意；
B、每名初三学生的体育考试成绩是个体，故B符合题意；
C、1200名学生的体育考试成绩是总体的一个样本，故C不符合题意；
D、20000名考生的体育考试成绩是总体，故D不符合题意；
故选：B．
根据全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，过点B作BE⊥OC于E，
∵点B坐标为(1,1)，
∴BE=OE=1．
∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1：2，
∴△AOB∽△CDB且相似比为1：2，OA/​/CD．
∴OE：EC=1：2，OACD=12，BEOA=ECOC，BECD=OEOC．
∴OC=OE+2OE=3，CD=3BE=3，
∴D(3,3)．
故选：A．
根据题意可以推知：△AOB∽△CDB且相似比为1：2；由平行线分线段成比例、对应边上的高线之比等于相似比求得答案．
此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解： 6×(2 3− 6)=6 2−6，
∵1.41< 2<1.42，
∴8.46<6 2<8.52，
∴2<6 2−6<3，
∴ 6×(2 3− 6)的结果应在2和3之间．
故选：B．
先按乘法分配律求出乘积，再估算6 2的大小即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分．
7.【答案】A
【解析】解：阴影部分A的周长：2×(38−6×3)+2×(x−12)=(16+2x)cm，
阴影部分B的周长：2×6×3+[x−(38−3×6)]=(2x−4)cm，
∴16+2x−(2x−4)=20(cm)，
故选：A．
计算出阴影部分A的周长和阴影部分B的周长，即可得出结果．
本题考查的是列代数式，从题目中找出等量关系是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：连接OC，过B作BH⊥CD于H，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∵OB/​/CD，
∴四边形OBHC是矩形，
∴BH=OC=OB= 3，
∵AB=OB=OA，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OBA=60°，
∵OB/​/CD，
∴∠D=∠OBA=60°，
∵sinD=sin60°=BHBD= 32，
∴BD=2，
故选：D．
连接OC，过B作BH⊥CD于H，由切线的性质推出OC⊥CD，而OB/​/CD，判定四边形OBHC是矩形，得到BH=OC=OB= 3，判定△OAB是等边三角形，得到∠OBA=60°，由平行线的性质推出∠D=∠OBA=60°，由sinD=BHBD= 32，即可求出BD=2．
本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平行线的性质，关键是由切线的性质，平行线的性质推出四边形OBHC是矩形，得到BH=OC= 3，由锐角的正弦即可求出OB的长．
9.【答案】B
【解析】解：过点F作FG⊥AB，如图，
∵AB=2AD，
设AD=2x，则AB=4x，
∵矩形ABCD，
∴∠B=∠ADC=∠DAB=90°，AB=DC=4x，BC=AD=2x，
∵DE⊥AC，
∴∠ACD+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠ACD，
∴tan∠ADE=tan∠ACD，
∴AEAD=ADBC，即AE2x=2x4x，
解得AE=x，
∴EG=x，
∵F是AC的中点，FG⊥AB，
∴FG=12BC=x，
∴EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°，
∴∠EAF+∠AFE=45°，
∴∠EAF=45°−α，
∴∠DAF=90°−(45°−α)=45°+α．
故选：B．
过点F作FG⊥AB，设AD=2x，则AB=4x，根据矩形的性质表示出DC，BC，再根据题意得出∠ADE=∠ACD，利用锐角三角函数得出AE，EG=FG，∠GEF=∠GFE=45°，再求出∠EAF=45°−α，即可求出∠DAF．
本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，熟练掌握以上知识是解题关键．
10.【答案】C
【解析】解：第3次操作后得到的整式串为：−m+n，−m，−n，m−n，m，故①正确；
第1次操作后得到的整式为：−n，
第2次操作后得到的整式为：−m，
第3次操作后得到的整式为：−m+n，
第4次操作后得到的整式为：n，
第5次操作后得到的整式为：m，
第6次操作后得到的整式为：m−n，
第7次操作后得到的整式为：−n，...
∴得到的整式每6次一循环，
11÷6=，22÷6=，
∴第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式不相等，故②错误；
第1次操作后得到的整式串各项之和为：2m−2n，
第2次操作后得到的整式串各项之和为：m−2n，
第3次操作后得到的整式串各项之和为：−n，
第4次操作后得到的整式串各项之和为：0，
第5次操作后得到的整式串各项之和为：m，
第6次操作后得到的整式串各项之和为：2m−n，
第7次操作后得到的整式串各项之和为：2m−2n，...
∴得到的整式串各项之和每6次一循环，
2024÷6=，
∴第2024次操作后得到的整式串各项之和为：m−2n，故③正确．
故选：C．
按照题中规律向后推算，找到其规律是每6次变化一循环，再求出相应的次数的结果即可解题．
本题考查了整式加减，找到题中整式的变化规律是解题关键．
11.【答案】1.018×107
【解析】解：10180000=1.018×107．
故答案为：1.018×107．
科学记数法的表示形式为a×10n(1≤|a|<10)的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．表示时关键要正确确定a，n的值以及的值．
本题考查了科学记数法的应用能力，掌握形式为a×10n(1≤|a|<10)的形式，其中，n为整数是关键．
12.【答案】>
【解析】解：∵反比例函数y=8x的图象经过点A(4,m)和点B(−4,n)，
∴4m=−4n=8，
解得：m=2，n=−2，
∴m>n，
故答案为：>．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握点的坐标特征是关键．
13.【答案】13
【解析】解：列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和小于0的结果有：(−2,−3)，(−3,−2)，(−3,2)，(2,−3)，共4种，
∴抽取的两张卡片上的数字之和小于0的概率是412=13．
故答案为：13．
列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片上的数字之和小于0的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14.【答案】80
【解析】解：如图，六边形ABCDEF的外角和是360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°，
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=280°，
∴∠6=360°−280°=80°，
故答案为：80．
根据多边形的外角和是360°进行计算即可．
本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的外角和是360°是正确解答的关键．
15.【答案】56π3−16−16 3
【解析】解：连接OD，
∵△CBD由△CBO翻折而成，
∴CD=CO，BD=BO，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形．
∴∠BOD=60°，
∵∠AOB=105°，
∴∠COD=∠CDO=45°，
∴△OCD是等腰直角三角形．
∵OA=OD=OB=8，
∴OC= 22OD=4 2，
∴S阴影=S扇形AOB−S△OCD−S△OBD=105π×82360−12×4 2×4 2−12×8× 32×8=56π3−16−16 3．
首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，△OCD是等腰直角三角形，故可得出OC的长，再根据S阴影=S扇形AOB−S△OCD−S△OBD即可得出结论．
此题考查的是扇形面积公式，在解答此题时要注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
16.【答案】265
【解析】解：连接BE，
∵四边形ABCD是平行四边形，CE=2，
∴CD/​/AB，
∴∠DEA=∠BAE，
∵∠BAD的平分线交边CD于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DEA=∠DAE，
∴ED=AD=BC，
∴AB=CD=ED+2=BC+2，
∵FO垂直平分AB，点O是线段AE的中点，
∴∠AFO=90°，AF=BF，AO=EO，
∴BE//FO，
∴∠BEC=∠ABE=∠AFO=90°，
∴BEAB=tan∠BAE=tan∠DAE=23，
∴BE=23AB=23(BC+2)=23BC+43，
∵BE2+CE2=BC2，
∴(23BC+43)2+22=BC2，
整理得5BC2−16BC−52=0，
解得BC=265或BC=−2(不符合题意，舍去)，
∴BC的长是265，
故答案为：265．
连接BE，由CD/​/AB，得∠DEA=∠BAE，而∠DAE=∠BAE，所以∠DEA=∠DAE，则ED=AD=BC，所以AB=CD=ED+2=BC+2，由FO垂直平分AB，点O是线段AE的中点，得BE//FO，则∠BEC=∠ABE=∠AFO=90°，所以BEAB=tan∠BAE=tan∠DAE=23，则BE=23AB=23BC+43，由勾股定理得(23BC+43)2+22=BC2，求得BC=265，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】−1
【解析】解：x−13≤x2①1−x≥a②，
由①得：2(x−1)≤3x，
2x−2≤3x，
2x−3x≤2，
−x≤2，
x≥−2，
由②得：−x≥a−1，
x≤1−a，
∵关于x的一元一次不等式组x−13≤x21−x≥a有解，
∴1−a≥−2，
−a≥−3，
∴a≤3，
∵a为整数，
∴a=3或2或1或0或…
1+a−y2−y=1y−2，
y−2−a+y=1，
y+y=2+a+1，
2y=3+a，
y=3+a2，
∵关于y的分式方程1+a−y2−y=1y−2的解为非负整数，即3+a2≥0，
∴3+a=0或2或4或6或8…
∴a=−3或−1或1或3…，
∵2−y≠0，即3+a2≠2，
∴3+a≠4，即a≠1，
∴满足条件的所有a的值为：±3或−1，
∴满足条件的所有a的值之和为：3−3−1=−1，
故答案为：−1．
先解含有字母参数的一元一次不等式组，根据已知条件求出a的取值范围，再根据分式方程解为非负整数，求出满足条件的所有a的值，再求出它们的和即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
18.【答案】9871 4761
【解析】解：abcd−为最大的“和平数”，而1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，
但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数，
∴最大的完全平方数为25，
∴最大的“和平数”9bcd−，
当b=8，c=7时，d=25−9−8−7=1，
∴最大的“和平数”为9871；
∵s=10a+b，t=10c+d，
则F(M)=s+t9=10(a+c)+b+d9，G(M)=S−t3=10(a−c)+b−d3，
∵F(M)、G(M)都是整数，
设10(a+c)+b+d9=k1，10(a−c)+b−d3=k2，k1，k2为正整数，
则10(a+c)+b+d=9k1，10(a−c)+b−d=3k2，
两式相加得：20a+2b=18a+2(a+b)=9k1+3k2=3(3k1−k2)，
两式相减得：20c+2d=18c+2(c+d)=9k1−3k2=3(3k1−k2)，
∴a+b，c+d都能被3整除，
∴a+b+c+d能被3整除，4∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，
∴4∴a+b+c+d=9或16或25，
而a+b+c+d能被3整除，
∴a+b+c+d=9，
又∵a+b，c+d都能被3整除，
∴a+b=6，c+d=3时，M最大，a+b=3，c+d=6时，M最小，
∴Mmax=6021，Mmin=1260，
Mmax−Mmin=4761．
故答案为：9871；4761．
由a、b、c、d的取值范围，确定出最大的完全平方数为25，即可求解；确定a+b，c+d都能被3整除，a+b+c+d能被3整除，继而得到a+b+c+d=9，因此得到Mmax=6021，Mmin=1260即可求解．
本题考查代数式，整式的加减，整除的意义，理解新定义和掌握相关知识点是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)4x(x−y)−(2x+y)2
=4x2−4xy−4x2−4xy−y2
=−8xy−y2；
(2)(2aa−2−1)÷a2+4a+4a2+2a
=2a−(a−2)a−2⋅a(a+2)(a+2)2
=2a−a+2a−2⋅a(a+2)(a+2)2
=a+2a−2⋅a(a+2)(a+2)2
=aa−2．
【解析】(1)根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
(2)先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分即可．
本题考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20.【答案】∠EOF ∠EOB=∠FOC S△EOB=S△FOC 将正方形分成面积相等的四部分
【解析】解：如图所示．
证明：∵O为正方形的对称中心，
∴O为正方形对角线AC、BD的交点，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠EBO=∠FCO=45°．
∵HF⊥EG于点O，
∴∠EOF=90°．
∴∠EOF−∠BOF=∠BOC−∠BOF，
∴∠EOB=∠FOC．
∴在△EOB和△FOC中，
∠EBO=∠FOCOB=OC∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC(ASA)，
∴S△EOB=S△FOC，
∴S四边形OFBE=S△OEB+S△OFB=S△OFC+S△OFB=S△OBC=14S正方形ABCD，
同理可得S四边形OEAH=S四边形OGCF=S四边形OHDG=14S正方形ABCD，
∴S四边形OEAH=S四边形OFBE=S四边形OGCF=S四边形OHDG．
根据题意完成以下命题：过正方形对称中心的两条互相垂直的直线将正方形分成面积相等的四部分．
故答案为：∠EOF；∠EOB=∠FOC；S△EOB=S△FOC；将正方形分成面积相等的四部分．
根据垂线的作图方法作图即可；根据全等三角形的判定与性质填空即可．
本题考查作图−复杂作图、全等三角形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】9 7.5 30
【解析】解：(1)A款饮水机的10名用户体验评分的众数a=9，
B款饮水机的10名用户体验评分中“差评”等级人数为10×10%=1(人)，
所以评分数据的第5、6个数据分别为7、8，
所以其中位数b=7+82=7.5，
m%=10−1−610×100%=30%，即m=30，
故答案为：9、7.5、30；
(2)A款饮水机用户体验情况更好，
A款饮水机用户体验评分的中位数大于B款饮水机，
所以A款饮水机用户体验评分得高分人数多于B款，
所以A款饮水机用户体验情况更好(答案不唯一)；
(3)2000×310+1500×310=1050(名)，
答：估计对A、B两款饮水机好评的用户共有1050名．
(1)根据众数和中位数的定义求解即可；
(2)根据中位数和方差的意义求解即可(答案不唯一)；
(3)用总人数分别乘以A、B款饮水机好评人数所占比例即可．
本题考查扇形统计图，频数分布表，中位数，众数，方差以及用样本估计总体，解题关键是从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
22.【答案】解：(1)当0由题意知BP=CQ，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴S△ABP=S△ACQ，
当点P在AD上时，同理可知S△ABP=S△ACQ，
当0∴y=2S△ABP=2×12⋅x⋅2=2x，
当4∴y=2×12AP⋅BD=2×12×(6−x)×4=24−4x，
∴y关于x的函数表达式为y=2x(0(2)图象如图2所示：

性质：当x=4时，y有最大值8.(答案不唯一)；
(3)当y=5时，x=2.5或x=194，
由图象知，当y≥5时，2.5≤x≤194．
【解析】(1)分0(2)根据(1)中表达式画出函数图象，根据图象写出函数的性质即可；
(3)先求得y=5对应的自变量值，结合图象求解即可．
本题考查全等三角形的判定与性质、一次函数的图象与性质、三角形的面积公式，理解动点问题是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲队独立完成此项工程需要(x+5)天，
根据题意得：1x=1x+5×1.5，
解得：x=10，
经检验，x=10是所列方程的解，且符合题意．
答：乙队独立完成此项工程需要10天；
(2)设乙施工队每天的工程款为y元，则甲施工队每天的工程款为(y−2000)元，
根据题意得：(y−2000+y)×1110+110+5≤120000，
解得：y≤11000，
∴y的最大值为11000．
答：乙施工队每天的工程款至多为11000元．
【解析】(1)设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲队独立完成此项工程需要(x+5)天，利用工作效率=工作总量÷工作时间，结合乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设乙施工队每天的工程款为y元，则甲施工队每天的工程款为(y−2000)元，根据总工费不超过12万元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)过点O作OE⊥CD交CD的延长线于点E，如图，

在Rt△ODE中，
∵OD=20米，∠ODE=45°，
∴OE=OD⋅sin45°=20× 22=10 2(米)，
DE=OD⋅cs45°=20× 22=10 2(米)，
在Rt△OCE中，
∵OE=10 2米，∠OCE=30°，
∴OC=OEsin30∘=10 212=20 2(米)，
CE=OEtan30∘=10 2 33=10 6(米)，
∴CD=CE−DE=10 6−10 2(米)，
答：CD的长度为(10 6−10 2)米；
(2)由题意，知∠OBC=∠OCB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC=20 2米≈28.2米，
∴AC+CD+OD=10+10 6−10 2+20≈40.4(米)，
AB+BO=BC−AC+BO≈28.2−10+28.2=46.4(米)，
∵线路①挖掘的平均速度为3米/小时，
∴线路①挖掘需要时间为：40.4÷3≈13.47(小时)，
∵线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，
∴线路②挖掘需要时间为：46.4÷3.2=14.5(小时)，
∵13.47<14.5，
∴选择线路①能更快挖掘到古物O．
【解析】(1)过点O作OE⊥CD交CD的延长线于点E，在RtODE中求出OE，DE，再在RtOCE中求出CE，OC，进而求出CD的抽到；
(2)由(1)可求出AC+CD+OD，证明△OBC是等边三角形，从而可求出AB+BO的长度，进而根据路程÷速度求出选择两条线路挖掘所用的时间，再比较即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，理解题意，将问题转化为解直角三角形问题是解题的关键．
25.【答案】解：(1)A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+ 3中，
得a−b+ 3=09a+3b+ 3=0，
解得a=− 33b=2 33，
∴抛物线的解析式为y=− 33x2+2 33x+ 3；
(2)在y=− 33x2+2 33x+ 3中，令x=0，则y= 3，
∴C(0, 3)，
∴OC= 3，
设直线BC的解析式为y=kx+b′，
∴3k+b′=0b′= 3，
解得k=− 33b′= 3，
∴直线BC的解析式为y=− 33x+ 3；
∵B(3,0)，
∴OB=3，
∴tan∠OBC=OCOB= 33，
∴∠OBC=30°，
∴∠OCB=60°，
同理可得∠OCA=30°，
∴∠ACB=90°，
∵PM/​/AB，PN⊥AC，
∴∠PMN=∠OBC=30°，∠PNM=∠ACB=90°，
∴PN=12PM，
∴PM+PN=32PM，
设P(m,− 33m2+2 33m+ 3)，则M(m2−2m,− 33m2+2 33m+ 3)，
∴PM==m−m2+2m=−m2+3m，
PM+PN=32(−m2+3m)=−32(m−32)2+278，
∵−32<0，
∴当m=32时，PM+PN有最大值，最大值为278，
此时点P坐标为(32,5 34)；
(3)由(2)得∠OCA=30°，
∴把原抛物线y=− 33x2+2 33x+ 3沿射线AC方向平移8个单位，相当于把抛物线y=− 33x2+2 33x+ 3向右平移4个单位，向上平移移动4 3个单位，
∵原抛物线对称轴为直线x=−2 33−2 33=1，
∴平移后的抛物线对称轴为直线x=5，
如图所示，当点E在x轴上方且点Q在y轴上时，

设直线BC交直线x=5于H，
在y=− 33x+ 3中，当x=5时，y=−2 33，
∴H(5,−2 33)，
由(2)得∠OCB=60°，
∵EH/​/OC，
∴∠EHC=∠OCB=60°，
由翻折的性质可得∠ECH=∠QCH=60°，
∴△CEH是等边三角形，
∵点C在线段EH的垂直平分线上，
∴yE−2 332= 3，
∴yE=8 33，
∴E(5,8 33)；
如图所示，当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，设直线x=5交x轴于H，

由翻折的性质可得EQ⊥BC，BO=BE，
由(2)得∠ACB=90°，即AC⊥BC，
∴AC/​/EQ，
∴直线AC与y轴所夹的锐角和直线EQ与直线x=5所夹的锐角相同，
∴∠HEQ=30°，
∴∠BQE=60°，
∴△BQE是等边三角形，
∴HE= 3BH=2 3，
∴E(5,−2 3)，
综上所述，点E的坐标为(5,8 33)或(5,−2 3).
【解析】(1)利用待定系数法求解即可；
(2)先求出C(0, 3)，则OC= 3，再求出直线BC解析式为y=− 33x+ 3；解直角三角形得到∠OBC=30°，则∠OCB=60°，同理可得OCA=30°，则∠ACB=90°，进而得到∠PMN=∠OBC=30°，∠PNM=∠ACB=90°，则PN=12M，则PM+PN=32PM，设P(m,− 33m2+2 33m+ 3)，则M(m2−2m,− 33m2+2 33m+ 3)，可得PM=−m2+3m，PM+PN=−32(m−32)2+278，据此可得答案；
(3)先推出把原抛物线y=− 33x2+2 33x+ 3沿射线AC方向平移8个单位，相当于把抛物线y=− 33x2+2 33x+ 3向右平移4个单位，向上平移4 3个单位，则可求出平移后的抛物线对称轴为直线x=5；再分当点E在x轴上方且点Q在y轴上时，和当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等，关键是这些知识的运用和分类讨论思想以及数形结合的思想运用．
26.【答案】(1)解：∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠BAO=∠CAO=12∠BAC=12×120°=60°，
∵∠BAD=15°，
∴∠DAO=∠BAO−∠BAD=45°，
∴OD=OA=AD⋅cs∠DAO=2 2⋅cs45°=2 2× 22=2，
∴OB=OA⋅tan∠BAO=2⋅tan60°=2 3，
∴BD=OB−OD=2 3−2；
(2)如图1，

延长AO至G，使AG=AB，连接BG，CG，EG，EC，作EH⊥AG于H，
∴∠EFO=90°，
∵∠BAO=60°，
∴△ABG是等边三角形，
∴AB=BG，
∵AO⊥OB，
∴AO=GO=12AG=12AB，
∵线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，
∴AE=AD，∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∵∠BAG=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠GAE，
∵AB=AG，AD=AE，
∴△BAD≌△GAE(SAS)，
∴∠AGE=∠ABC=30°，EG=BD，
∴GH=EG⋅cs∠AGE=BD⋅cs30°= 32BD，
∵AB=AC，
∴AG=AC，
∵∠CAO=60°，
∴△ACG是等边三角形，
∴∠AGC=60°，
∴∠AGE=12∠AGC，
∴GE⊥AC，GE平分AC，
∴AE=CE，
∵DE=AE，
∴DE=CE，
∵F是CD的中点，
∴EF⊥CD，
∴∠EFO=90°，
∴四边形EFOH是矩形，
∴EF=OH，
∴OG=GH+OH，
∴2OG=2GH+2OH，
∴AG= 3BD+2EF，
∴AC= 3BD+2EF；
(3)如图2，

设EO′的延长线交AC于W，作OT//EW，作TV⊥OA于V，作WR⊥AO′于AO′，
由(2)知：点E在AC的垂直平分线上运动，
∴当OE⊥GE时，OE最小，
不妨设OE=1，则OA=OG=2，
∵EG⊥AC，
∴OE//AC，
∴∠AEO=∠EAW，四边形EQTW是平行四边形，
∴TW=OE=1，OT=EW，
∵∠AEO=∠AEO′，
∴∠AEO′=∠EAW，
∴AW=EW，
设AT=x，则AW=EW=OT=x+1，
∴AV=12AT=12x，TV= 32AT= 32x，
在Rt△VOT中，由勾股定理得，
OV2+VT2=OT2，
∴(2−12x)2+( 32x)2=(x+1)2，
∴x=34，
∴AW=x+1=74，
∵∠AO′E=∠AOE=120°，
∴∠AO′W=60°，
设RO′=t，则WO′=2t，RW= 3t，
∴AR=AO′−RO′=2−t，
在Rt△ARW中，由勾股定理得，
(2−t)2+( 3t)2=(74)2，
∴t1=38，t2=58(舍去)，
∴RW= 3t=3 38，
∴sin∠CAO′=RWAW=3 3874=3 314，
∴S△AO′C=12AO′⋅AC⋅sin∠CAO′=12×2×4×3 314=6 37，
∵S△AOE=12OE⋅AO⋅sin∠AOE=12×1×2× 32= 32，
∴S△AOES△AO′C=712．
【解析】(1)可求得∠BAO=60°，从而得出∠DAO=∠BAO−∠BAD=45°，解直角三角形ADO求得OA和OD，解直角三角形AOB求得OB，从而求得结果；
(2)延长AO至G，使AG=AB，连接BG，CG，EG，EC，作EH⊥AG于H，可得出△ABG是等边三角形，从而AB=BG，进而得出AO=GO=12AG=12AB，可推出△ADE是等边三角形，从而∠BAG=∠DAE=60°，进而得出∠BAD=∠GAE，可证得△BAD≌△GAE，从而∠AGE=∠ABC=30°，EG=BD，从而GH=EG⋅cs∠AGE=BD⋅cs30°= 32BD，可证得△ACG是等边三角形，从而∠AGC=60°，进而得出∠AGE=12∠AGC，从而得出GE⊥AC，GE平分AC，从而AE=CE，可证得四边形EFOH是矩形，从而EF=OH，从而OG=GH+OH，进一步得出结果；
(3)设EO′的延长线交AC于W，作OT//EW，作TV⊥OA于V，作WR⊥AO′于AO′，由(2)知：点E在AC的垂直平分线上运动，从而当OE⊥GE时，OE最小，不妨设OE=1，则OA=OG=2，可证得∠AEO=∠EAW，四边形EQTW是平行四边形，从而得出TW=OE=1，OT=EW，进而得出AW=EW，设AT=x，则AW=EW=OT=x+1，在Rt△VOT中，根据OV2+VT2=OT2列出(2−12x)2+( 32x)2=(x+1)2，从而求得x的值，从而得出AW=x+1=74，在Rt△ARW中，由勾股定理得出(2−t)2+( 3t)2=(74)2，求得t的值，进而求得sin∠CAO′的值，进一步求得，S△AO′C，进一步得出结果．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．类别
平均数
众数
中位数
方差
A
7.4
a
8
4.84
B
7.4
7
b
4.24
−2
−3
2
3
−2
(−2,−3)
(−2,2)
(−2,3)
−3
(−3,−2)
(−3,2)
(−3,3)
2
(2,−2)
(2,−3)
(2,3)
3
(3,−2)
(3,−3)
(3,2)