重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷，共36页。试卷主要包含了计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（解析版）
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的
1．（4分）下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
4．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
B．顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
5．（4分）若ab＞0，则一次函数y＝ax+2与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，则BC：EF＝（　　）​

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
7．（4分）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，若DF＝2，CD＝6（　　）
​

A． B．1 C． D．2
8．（4分）学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
9．（4分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点，连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝，则△EOF的面积为（　　）
​

A．1 B． C． D．
10．（4分）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝x，且满足以下规律：
a2＝2a1，a3＝2a2，a4＝2a3，…，an＝2an﹣1，…
b2＝b1+1，b3＝b2+1，b4＝b3+1，…，bn＝bn﹣1+1，…
c1＝，c2＝a2b2，c3＝，c4＝a4b4，…
其中n为正整数，以此类推：
①a8＝128x；②b1+b2+b3+b4+…+b15＝15x+105：③当x＝1时，cn＝；④当x＝1时，c1+c2+c3+c4+…+c20＝．
以上说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡
11．（4分）计算：﹣（﹣3）2+（π﹣5）0＝　 　．
12．（4分）已知，则的值为　 　．
13．（4分）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 　 　．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 　 　．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B为反比例函数y＝（k≠0），且点B横坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作x轴平行线，两直线交于点C，若S△OAB＝6，则S△ABC＝　 　．
​

16．（4分）已知关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组，则符合条件的所有整数a的和为 　 　．
17．（4分）如图，矩形ABCD的宽为8，长为12，CQ＝5，点P在线段BC上，若点C恰落在边AD上的点R处，点O在线段AB上，点A恰落在线段PR上的点H处，则点H到线段DC的距离为 　 　．

18．（4分）若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15，得到新四位数A′，规定F（A）＝（6233）的值为 　 　．若s＝2640+1000a+100b+10c+d（0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“凸月数”，且s最大时F（s）　 　．
三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时给出必要的演
19．（8分）化简：
（1）；
（2）．
20．（10分）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7；
（2）＝1．
四、解答题：（本大题共6个大题，共60分）解答时给出必要的演算过程.
21．（10分）如图，在▱ABCD中，连接BD．
（1）用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E，连接AE（用基本作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）若BD＝CD，求证：四边形ABDE为菱形．
证明：∵BD＝CD，
∴　 　，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴　 　，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴　 　，
∵▱ABCD，
∴AB≌CD，
∴AB⊥ED，
∴四边形ABDE为 　 　，
∵▱ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（ 　 　）．

22．（10分）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击，学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
​
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

24．（10分）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件
（1）求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
（2）为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，求m的值．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD（0，﹣2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，K为y轴上一动点，连接PF、PK△DOF＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形
​
26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB＝AD，EC＝1，求AD的长；
（2）如图2，若AD＝AE，连接DE，在AB上截取AG＝AF，连接DG，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH＝DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5，请直接写出点C到直线DE的距离．
​

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请在答题卡中将正确答案所对应的
1．（4分）下列式子中是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，分别判断即可．
【解答】解：是分式，
故A符合题意，
，，都不是分式，
故B、C、D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2．（4分）2023年第31届世界大学生运动会在成都举行，如图所示历届大运会会徽是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+4x+3＝0的两根分别为a、b，则的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
【分析】先根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，再利用通分得到+＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得a+b＝﹣4，ab＝3，
所以+＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
4．（4分）下列说法错误的是（　　）
A．三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
B．顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是矩形
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】由三角形中位线定理，相似三角形的判定，矩形、菱形、正方形的判定，即可判断．
【解答】解：A、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，故A不符合题意；
B、顺次连接对角线相等的任意四边形各边中点所得的四边形是菱形；
C、由两角对应相等的两三角形相似，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，矩形、菱形、正方形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
5．（4分）若ab＞0，则一次函数y＝ax+2与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据ab＞0及一次函数与反比例函数图象的特点，可以从a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：∵ab＞0，
∴分两种情况：
（1）当a＞0，b＞8时、二、三象限图象在第一，无选项符合；
（2）当a＜0，b＜4时、二、四象限图象在第二，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，则BC：EF＝（　　）​

A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
【分析】根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∵△DEF的面积是△ABC面积的4倍，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：5，
∴BC：EF＝1：2，
故选：A．
【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．（4分）如图，矩形ABCD对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，若DF＝2，CD＝6（　　）
​

A． B．1 C． D．2
【分析】由角平分线的定义可得∠ADE＝45°，则△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，根据等腰直角三角形三线合一的性质得DF＝EF，∠AFD＝90°，进而易求得AD＝DF＝4＝AE，于是BE＝2，由三角形中位线定理易知OF为△BDE的中位线，则OF＝BE＝1．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，CD＝6，
∴AB＝CD＝6，∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠ADC＝45°，
∴△ADE为等腰直角三角形，AD＝AE，
∵AF⊥DE，
∴DF＝EF，∠AFD＝90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴AD＝DF＝6，
∴AE＝AD＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝6﹣5＝2，
∵DF＝EF，OD＝OB、O分别为DE，
∴OF为△BDE的中位线，
∴OF＝BE＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质、三角形中位线的判定与性质，根据矩形的性质得到OD＝OB，根据等腰直角三角形的三线合一性质得到DF＝EF，进而得出OF为△BDE的中位线是解题关键．
8．（4分）学校“自然之美”研究小组在野外考察时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，根据题意，下列方程正确的是（　　）
A．1+（1+x）2＝73 B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73 D．x+（1+x）2＝73
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝73，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
9．（4分）如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，O为对角线BD的中点，连接CE、AE、FE、AF、OF，取AF中点G，当∠ECF＝∠EFC时，若EG＝，则△EOF的面积为（　　）
​

A．1 B． C． D．
【分析】过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，过F作FH⊥BD于H，先证四边形EMCN为矩形，再证△EFC为等腰三角形，设MC＝x，AG＝y，则MF＝MC＝x，CF＝2x，BM＝x+2，AB＝BC＝2x+2，然后证△ADE和△CDE全等得AE＝EC＝EF，进而根据等腰三角形的性质得AG＝GF＝y，则AF＝2y，在RtABF中由勾股定理得y2＝x2+2x+2①，证△BEM为等腰直角三角形得EM＝BM＝2+x，在Rt△EMF和Rt△EGF中，由勾股定理得EF2＝EM2+MF2＝EG2+GF2，据此得y2＝2x2+4x﹣6②，由①②解得x＝2，进而得AB＝6，EM＝CN＝4，EN＝MC＝2，最后再由勾股定理计算得出BD＝，DE＝，HF＝，则OE＝，据此可求出△EOF的面积．
【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，如图：

则∠EMC＝∠ENC＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，BD为对角线，
∴∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴四边形EMCN为矩形，
∴EM＝CN，EN＝MC，
∵∠ECF＝∠EFC，
∴△EFC为等腰三角形，即：EC＝EF，
又EM⊥BC，
∴MC＝MF，
设MC＝x，AG＝y，
∴MF＝MC＝x，
∴CF＝MC+MF＝2x，BM＝BF+MF＝x+2，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC＝EF，
即△EAF为等腰三角形，
又EG⊥AF，
∴AG＝GF＝y，则AF＝AG+GF＝8y，
在RtABF中，AF＝2y，BF＝2，
由勾股定理得：AF4＝AB2+BF2，
即：（4y）2＝（2x+6）2+28，
整理得：y2＝x2+3x+2①，
∵∠CBD＝45°，EM⊥BC，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴EM＝BM＝2+x，
在Rt△EMF中，EM＝7+x，
由勾股定理得：EF2＝EM2+MF3＝（2+x）2+x4＝2x2+8x+4，
在Rt△EGF中，EG＝，
由勾股定理得：EF2＝EG3+GF2＝10+y2，
∴10+y5＝2x2+6x+4，
整理得：y2＝8x2+4x﹣7②，
由①②得：2x2+2x﹣6＝x2+5x+2，
整理得：x2+7x﹣8＝0，
解得：x＝3，或x＝﹣4（不合题意，
∴AB＝2x+2＝6，EM＝CN＝2+x＝5，
在Rt△ABD中，AB＝AD＝6，
由勾股定理得：，
∵点O为BD的中点，
∴OD＝BD＝，
∵∠CDB＝45°，EN⊥CD，
∴△DEN为等腰直角三角形，
∴DN＝EN＝2，
由勾股定理得：，
∴OE＝OD﹣DE＝＝，
∵∠CBD＝45°，FH⊥BD，
∴△BHF为等腰直角三角形，即：HF＝BH，
由勾股定理得：HF2+BH8＝BF2，
∴2HF7＝22，
∴HF＝，
∴S△EOF＝OE•HF＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解正方形的性质和矩形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理构造方程进行计算是解答此题的关键．
10．（4分）在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如对单项式x进行如下操作：规定a1＝b1＝x，且满足以下规律：
a2＝2a1，a3＝2a2，a4＝2a3，…，an＝2an﹣1，…
b2＝b1+1，b3＝b2+1，b4＝b3+1，…，bn＝bn﹣1+1，…
c1＝，c2＝a2b2，c3＝，c4＝a4b4，…
其中n为正整数，以此类推：
①a8＝128x；②b1+b2+b3+b4+…+b15＝15x+105：③当x＝1时，cn＝；④当x＝1时，c1+c2+c3+c4+…+c20＝．
以上说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题中的操作步骤，可知ai（i为正整数）是x的2i﹣1倍，bi是x加上i﹣1，再根据ci（i为正整数）与ai和bi的关系找出规律，即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，bi＝x+i﹣8（i为正整数），
所以．
故①正确．
b1+b7+b3+b4+…+b15
＝x+x+3+x+2+…+x+14
＝15x+
＝15x+105．
故②正确．
因为，
，
，
，
…
所以当n为奇数，且x＝5时，，
当n为偶数，且x＝1时，．
故③错误．
由上面的结论可知，
c1+c2+c5+c4+…+c20
＝
＝S．
则24S＝1×22+2×28+…+9×220+10×322，
故3S＝10×222﹣2×22﹣34﹣28﹣…﹣220，
S＝．
所以c1+c8+c3+c4+…+c20
＝
＝．
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查实数的计算规律，能根据所给的等式找到ai，bi和ci的变化规律是解题的关键．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将正确答案直接填写在答题卡
11．（4分）计算：﹣（﹣3）2+（π﹣5）0＝　﹣4　．
【分析】利用算术平方根的意义，有理数的乘方法则和零指数幂的意义化简运算即可．
【解答】解：原式＝4﹣9+8
＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题主要考查了实数的运算，算术平方根的意义，有理数的乘方法则和零指数幂的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
12．（4分）已知，则的值为　　．
【分析】两边都乘以5（a+b）得出5a＝3a+3b，求出2a＝3b，再根据比例的性质得出即可．
【解答】解：＝，
两边都乘以5（a+b）得：5a＝3a+7b，
2a＝3b，
＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，如果ab＝cd，那么＝，反之亦然．
13．（4分）现有四张完全相同的刮刮卡，涂层下面的文字分别是“我”、“爱”、“学”、“习”．小光从中随机抽取两张并刮开，则这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率是 　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：

我
爱
学
习
我

（爱，我）
（学，我）
（习，我）
爱
（我，爱）

（学，爱）
（习，爱）
学
（我，学）
（爱，学）

（习，学）
习
（我，习）
（爱，习）
（学，习）

由表知，共有12种等可能结果，
所以这两张刮刮卡上的文字恰好是“我”和“学”的概率为＝，
故答案为：．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及概率公式，画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．（4分）若关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 　k≥﹣1　．
【分析】根据方程有实数根得出△≥0，据此列出不等式求解即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝5有实数根，
∴Δ＝22﹣7×1×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣7，
故答案为：k≥﹣1．
【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根是解决问题的关键．
15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B为反比例函数y＝（k≠0），且点B横坐标为点A横坐标的两倍，分别过点A作x轴平行线，两直线交于点C，若S△OAB＝6，则S△ABC＝　2　．
​

【分析】过点A，B作AE，BD⊥x轴于E，D，然后根据点B横坐标为点A横坐标的两倍，且点A、B都在曲线上，设出A，B坐标，由图形的面积公式求出k的值，然后由反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：过点A，B作AE，D，如图：

∵点B横坐标为点A横坐标的两倍，且点A，
∴设A（﹣m，﹣），则B（﹣2m，﹣，k＞5），
∵S△ABO＝S梯形ABDE+S△AEO﹣S△BDO＝6，
∴（+）×m+﹣×5m×，
∴＝6，
∴k＝8，
∴S△ABC＝AC•CB＝＝＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，面积公式等，关键是对反比例函数性质的掌握．
16．（4分）已知关于x的分式方程有整数解，且关于x的不等式组，则符合条件的所有整数a的和为 　1　．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有整数解，确定出a的值，再根据不等式组的解集确定出满足题意a的值，求出之和即可．
【解答】解：去分母得：ax﹣2+x﹣1＝6，
解得：x＝，
∵分式方程有整数解，
∴a+5＝±1或±2或±4，
解得：a＝0或﹣2或2或﹣3或﹣5，
不等式组整理得：，
∵不等式组的解集为x≤﹣1，
∴＞﹣1，
解得：a＞﹣，
则满足题意的整数a为0或6，之和为1．
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．
17．（4分）如图，矩形ABCD的宽为8，长为12，CQ＝5，点P在线段BC上，若点C恰落在边AD上的点R处，点O在线段AB上，点A恰落在线段PR上的点H处，则点H到线段DC的距离为 　　．

【分析】过点H作EF∥CD，交AD于点E，交BC于点F，则四边形CDEF为矩形，由折叠得性质可知CQ＝RQ＝5，∠C＝∠PRQ＝90°，AR＝HR，利用勾股定理求得DR＝4，进而求得AR＝8＝HR，易证△RDQ∽△HER，根据相似三角形的性质可求得ER＝，DE＝DR+ER＝，以此即可得到答案．
【解答】解：如图，过点H作EF∥CD，交BC于点F，

∵矩形ABCD的宽为8，长为12，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝12，AD∥BC，
∵EF∥CD，
∴∠DEF＝90°＝∠D＝∠C，
∴四边形CDEF为矩形，
∵将△PQC沿PQ翻折，点C恰落在边AD上的点R处，
∴CQ＝RQ＝4，∠C＝∠PRQ＝90°，
∴DQ＝CD﹣CQ＝8﹣5＝7，
在Rt△RDQ中，DR＝＝，
∴AR＝AD﹣DR＝12﹣4＝8，
∵将△AOR沿OR翻折，点A恰落在线段PR上的点H处，
∴AR＝HR＝5，
∵∠DRQ+∠ERH＝90°，
∠DRQ+∠DQR＝90°，
∴∠DQR＝∠ERH，
∵∠RDQ＝∠HER，
∴△RDQ∽△HER，
∴，即，
∵ER＝，
∴DE＝DR+ER＝4+＝，
∴点H到线段DC的距离为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查矩形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质，利用相似三角形的性质解决问题．
18．（4分）若对于一个四位正整数，其千位数字的2倍和百位数字之和为14，十位数字的2倍和个位数字的3倍之和为15，得到新四位数A′，规定F（A）＝（6233）的值为 　29　．若s＝2640+1000a+100b+10c+d（0≤a≤6，3＜b≤9，0≤c≤5，0≤d≤9，其中a、b、c、d均为整数），则当s为“凸月数”，且s最大时F（s）　9　．
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）分两种情况：当0≤b＜4时，当4≤b≤7时，根据新定义分别列出方程进行解答求得s，并求得s最大时，F（s）的值．
【解答】解：（1）∵6×2+5＝14，3×2+8×3＝15，
∴6233是“凸月数”．
∴F（6233）＝＝29．
故答案为：29．
（2）当0≤b＜3时，
∵s＝2640+1000a+100b+10c+d为“十四五数”，
∴2（a+2）+（b+5）＝14，2（c+4）+3d＝15．
即2a+b＝4，7c+3d＝7．
∵4≤a≤6，0≤b＜5，0≤d≤9、b、c、d均为整数，
∴a＝5，b＝2（或a＝2；c＝8．
∴s＝3861或4661．
当4≤b≤7时，
∵s＝2640+1000a+100b+10c+d为“十四五数”，
∴2（a+3）+（b﹣4）＝14，4（c+4）+3d＝15．
即4a+b＝12，2c+3d＝2，
∵0≤a≤6，8≤b≤7，0≤d≤3、b、c、d均为整数，
∴a＝3，b＝6（或a＝7；c＝2．
∴s＝6261或7061．
故满足条件s的值为3861或4661或6261或7061．
当s＝7061时，F（s）＝．
即当s最大时F（s）的值为9．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了新定义，二元一次方程的整数解的求解，理解新定义是解本题的关键．
三、计算题：（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时给出必要的演
19．（8分）化简：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝•
＝•
＝；
（2）
＝÷
＝÷
＝•
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序．
20．（10分）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣7；
（2）＝1．
【分析】（1）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣1＝0，然后解一次方程即可；
（2）先把方程化为（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝x（2x+6）﹣5，
方程化为一般式为x2﹣5x+6＝0，
（x﹣4）（x﹣7）＝0，
x﹣4＝4或x﹣1＝0，
所以x8＝4，x2＝6；
（2）去分母得，（x+1）2﹣8＝x2﹣1，
解得x＝5，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣2）＝0，
所以原方程无解．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了解分式方程．
四、解答题：（本大题共6个大题，共60分）解答时给出必要的演算过程.
21．（10分）如图，在▱ABCD中，连接BD．
（1）用直尺和圆规过点B作BC的垂线，交线段CD的延长线于点E，连接AE（用基本作图，要保留作图痕迹，不写作法，不下结论）．
（2）若BD＝CD，求证：四边形ABDE为菱形．
证明：∵BD＝CD，
∴　∠CBD＝∠C　，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴　∠EBD＝∠CEB　，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴　CD＝ED　，
∵▱ABCD，
∴AB≌CD，
∴AB⊥ED，
∴四边形ABDE为 　平行四边形　，
∵▱ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（ 　邻边相等的平行四边形为菱形　）．

【分析】（1）利用基本作图，过B点作BC的垂线即可；
（2）先证明∠EBD＝∠CEB得到BD＝ED，所以CD＝DE，再根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，所以AB＝ED，则可判断四边形ABDE为平行四边形，然后利用BD＝ED可判断四边形ABDE为菱形．
【解答】（1）解：如图，BE；

（2）证明：∵BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C，
∵在Rt△CBE中，∠CBE＝90°，
∴∠CEB+∠C＝∠EBD+∠CBD＝90°，
∴∠EBD＝∠CEB，
∴BD＝ED，
∵BD＝CD，
∴CD＝DE，
∵▱ABCD，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝ED，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∵▱ABDE，BD＝ED，
∴四边形ABDE为菱形（邻边相等的平行四边形为菱形）．
故答案为：∠CBD＝∠C，∠EBD＝∠CEB，平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质和菱形的判定．
22．（10分）第19届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月08日在浙江省多地举行，此次杭州亚运会共设40个大项，现场观赛门票分项目开售，则可以只购买田径赛事门票．近期官方平台有意愿为学校免费提供四个比赛项目的门票若干张，包括田径、游泳、篮球、拳击，学校调查了a个同学（要求每个同学只能选择一个项目观看），并将调查结果绘制成如图所示两幅不完整的统计图．
​
请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝　160　，b＝　20　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全校共有3500名学生，请你估计选择“篮球”项目的学生人数．
【分析】（1）用拳击人数及其所占百分比可得总人数a；用总人数﹣其它各类人数得出游泳人数，再÷总人数可得b；
（2）根据（1）中游泳人数从而补全条形图；
（3）总人数乘以样本中选择“篮球”项目对应的百分比即可．
【解答】解：（1）本次共调查学生a＝64÷40%＝160（名），
游泳人数为：160﹣24﹣40﹣64＝32（名），
∴b%＝×100%＝20%，
∴b＝20；
故答案为：160；20；
（2）补全图形如下：

（3）喜欢篮球运动的学生约有3500×＝875（名），
答：估计选择“篮球”项目的学生人数875名．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（10分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，E沿折线A→B→C方向运动，F沿折线A→C→B方向运动，点E，F的距离为y．
（1）请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值．

【分析】（1）根据动点E、F运动的路线和速度分段进行分析，写出不同时间的函数表达式并注明自变量t的取值范围即可；
（2）根据画函数图象的方法分别画出两段函数图象，然后写出这个函数的其中一条性质即可；
（3）根据两个函数关系式分别求出当y＝3时的t值即可解决问题．
【解答】解：（1）当点E、F分别在AB，△AEF为边长等于t的等边三角形，
∴点E，F的距离等于AE，
∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，
当点E、F都在BC上运动时，F的距离等于8﹣2（t﹣4），
∴当7＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，
∴y关于t的函数表达式为；
（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝3，y＝4，y＝0，
分别描出三个点（2，0），4）（7，然后顺次连线

根据函数图象可知这个函数的其中一条性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大，正确即可）
（3）把y＝7分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：
3＝t，5＝12﹣2t，
解得：t＝3或t＝3.5，
∴点E，F相距3个单位长度时t的值为7或4.5．
【点评】本题是一道三角形综合题，主要考查等边三角形的性质、一次函数的图象和性质，以及一次函数的应用，深入理解题意是解决问题的关键．
24．（10分）今年七八月份世界大学生运动会在成都顺利召开，中国向世界展现了热情好客的一面，也获得了许多外国友人的喜爱与赞赏，熊猫周边供不应求：现成都一玩偶店销售“抱竹熊猫”、“打坐熊猫”两款熊猫玩偶，其中“抱竹熊猫”成本每件100元，“打坐熊猫”售价是“抱竹熊猫”售价的倍，大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件
（1）求两款熊猫玩偶的售价分别是多少元？
（2）为了更好的宣传国宝熊猫，第二天店家决定降价出售，但是市场规定降价之后的售价不能低于成本价的，当天“抱竹熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，结果“打坐熊猫”的销量在第一天的基础上增加了m%，求m的值．
【分析】（1）设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是x元，利用数量＝总价÷单价，结合大运会开幕第一天“抱竹熊猫”比“打坐熊猫”多卖3件，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出“抱竹熊猫”的售价，再将其代入x中，即可求出“打坐熊猫”的售价；
（2）利用总利润＝每个的销售利润×销售数量，可列出关于m的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设“抱竹熊猫”的售价是x元，则“打坐熊猫”的售价是，
根据题意得：﹣＝3，
解得：x＝150，
经检验，x＝150是所列方程的解，
∴x＝．
答：“抱竹熊猫”的售价是150元，“打坐熊猫”的售价是200元；
（2）根据题意得：[150（1﹣m%）﹣100]×m%）+（200×85%﹣120）×m%）＝1230，
整理得：m2﹣120m+3200＝2，
解得：m1＝40，m2＝80，
当m＝40时，150（8﹣×40%）＝135＝125，符合题意；
当m＝80时，150（1﹣×80%）＝120＝125，不符合题意．
答：m的值是40．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△ACD沿直线CD翻折得△BCD（0，﹣2），D（0，3），点B在x轴负半轴上，A、C、B三点在同一条直线上
（1）求直线CD的解析式；
（2）如图1，在线段CE上有一动点F，连接OF，K为y轴上一动点，连接PF、PK△DOF＝时，求PF+PK的最小值；
（3）如图2，将△DOE沿直线DC平移得到△D'O'E'，若在平移过程中△BD'E'是以BE'为一腰的等腰三角形
​
【分析】（1）根据题意可知C点是AB的中点，由折叠可知，BO＝4，则B（﹣4，0），利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）根据DO×|xF|＝，即3×|xF|＝，求出F（﹣，﹣），作F点关于AB的对称点F'，连接F'K，则PF+PK＝PF'+PK≥F'K，当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴，C点是FF'的中点，求出F'（﹣，﹣），PF+PK的最小值为；
（3）设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移2t个单位，则D'（﹣t，3﹣2t），O'（﹣t，﹣2t），E'（﹣﹣t，﹣2t），分两种情况讨论：当BE'＝BD'时，当BE'＝E'D'时，利用两点间距离公式列出方程求t的值即可．
【解答】解：（1）∵A（0，﹣2），8），
∴AD＝5，
由折叠可知，AD＝BD＝5，
∵DO＝4，
∴BO＝4，
∴B（﹣4，6），
∵C点是AB的中点，
∴C（﹣2，﹣1），
设直线CD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直线CD的解析式为y＝2x+6；
（2）∵S△DOF＝，
∴DO×|xF|＝，即3×|xF|＝，
解得xF＝﹣，
∴F（﹣，﹣），
作F点关于AB的对称点F'，连接F'K，
∴PF＝PF'，
∴PF+PK＝PF'+PK≥F'K，
当F'K最小时PF+PK的值最小，此时F'K⊥y轴，
∵AB⊥CD，
∴F'在直线CD上，
∴C点是FF'的中点，
∴F'（﹣，﹣），
∴PF+PK的最小值为；
（3）设△DOE沿x轴负方向平移t个单位，沿y轴负方向平移8t个单位，
则D'（﹣t，3﹣2t），﹣5t）﹣t，
当BE'＝BD'时，（﹣2+（8t）2＝（t﹣4）2+（2t﹣3）3，
解得t＝，
∴D'的横坐标为﹣；
当BE'＝E'D'时，（﹣2+（2t）2＝（）5+32，
解得t＝；
∴D'的横坐标为；
综上所述：D'的横坐标为﹣或．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，利用轴对称求最短距离是解题的关键．
26．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB＝AD，EC＝1，求AD的长；
（2）如图2，若AD＝AE，连接DE，在AB上截取AG＝AF，连接DG，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH＝DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5，请直接写出点C到直线DE的距离．
​
【分析】（1）先根据题意得出BE＝AB，然后根据菱形的性质得出AB＝AB+1即可求出AB，即AD；
（2）连接EG，然后证明△AEG≌△ADF，得出∠AEG＝∠ADF，再利用平行线分线段成比例即可解答；
（3）先说明△AHN∽△EGN，根据相似比可得EG，再根据中位线的性质求出HM，AM，然后利用勾股定理求出AD，最后根据相似三角形的性质即可解答．
【解答】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，
∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝2，
∴AB＝AB+3，
∴AB＝2，
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2；
（2）证明：连接EG，

∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）∵AN：AD＝2：5，AD＝AE，
∴AN：NE＝3：3，
由AM∥EG得△AHN∽△EGN，
∴，即，
∴EG＝7，
由（2）知，GH＝DH，
∴HM是△DEG的中位线，
∴HM＝EG＝，
∴AM＝AH+HM＝2+＝，
在Rt△ADE中，DM＝EM，
∴AM＝DE，
∴DE＝2AM＝6，
∵DE＝＝AD，
∴AD＝AE＝＝8，
如图，作GK⊥BC于K，

∴GK＝EK＝＝＝3，
由GK∥AE得△BGK∽△BAE，
∴，即BK•AE＝BE•GK，
∴BK•7＝（BK+3）×3，
∴BK＝，
∴CE＝BC﹣BK﹣EK＝AD﹣BK﹣EK＝7﹣﹣3＝，
作CT⊥DE于T，由∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝45°，
∴△CET也是等腰直角三角形，
∴CT＝＝，
即点C到DE的距离为，
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．