还剩24页未读，
继续阅读
（实用性答案）2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷
展开
这是一份（实用性答案）2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷，共27页。
2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（学生版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（4分）8的绝对值是（ ）
A．8 B．-8 C． D.-
2．（4分）下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．9：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
4．（4分）计算（3x2y）2的结果是（ ）
A．6x2y2 B．9x2y2 C．9x4y2 D．x4y2
5．（4分）下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．（4分）小妍从家出发步行上学，途中发现忘带了数学书，于是打电话让妈妈马上从家里沿上学的路送来，同时小妍也掉头往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续向学校走去．设小妍从家出发后所用时间为t，小妍与学校的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B=28°，则∠D的度数为（ ）
A．28° B．30° C．31° D．36°
8．（4分）现有甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地．甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，每种车都不能超载．已安排甲种车5辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车（ ）辆．
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（4分）把黑色梅花按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4朵梅花，第②个图案有8朵梅花，第③个图案有13朵梅花，…，按此规律排列下去，第⑥个图案中黑色梅花的朵数是（ ）
A．25 B．26 C．34 D．35
10．（4分）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
11．（4分）若m使关于x的分式方程1-的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-3
12．（4分）如图，△ABC中，点B，C分别在y轴，x轴上，点D是AB的中点，点E，F是AC的四等分点，连接DF，DF∥x轴，反比例函数y=的图象恰好经过点D，E，若△ADF的面积为4，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在容题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：=________.
14．（4分）根据国家统计局的数据，2021年的第一季度，我国的国内生产总值接近250000亿元，增幅达到了18.3%．数据250000用科学记数法表示为_________.
15．（4分）现将背面完全相同，正面分别标有数字-1，0，3，4的4张卡片洗匀后背面朝上，从中任取一张．将该卡片上的数字记为a后放回，再次洗匀后从中任取一张，将数字记为b，则使得ab＜0的概率为_________.
16．（4分）如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE为△ABC的中位线，G为BC边上一点，将△BGD沿着DG翻折得到△FGD，DF⊥DE，连接EF，若AB=8，EF=，则BG的长度为________.
18．（4分）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候”，三种花束的数量之比为2：3：5，每束花束的总成本为组成花束的康乃馨、百合、玫瑰成本之和（包装成本忽略不计）．“心之眷恋”花束包含康乃馨6支、百合1支、玫瑰3支，“佳人如兰”花束包含康乃馨2支、百合2支、玫瑰6支．每束“心之眷恋”的成本是每支康乃馨成本的15倍，销售的利润率是60%；每束“佳人如兰”的售价是成本的倍：每束“守候”在成本的基础上提价70%标价后打9折出售，获利为每支康乃馨成本的5.3倍．为了促进这三种花束的销售，商家在每束花束中分别赠送一支康乃馨作为礼物，销售结束时，这些花束全部卖完，则商家获得的总利润率为______.
三、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）+（a-b）2；
（2）
20．（10分）小南为了了解本校九年级学生的体育训练情况，从本校九年级甲、乙两班各随机抽取20名学生的本月体测成绩（满分均为50分，将体测成绩记为x）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲班20名学生的体测成绩在45＜x＜50分数段的数据为：49、48、49、49、48、49、47、49
乙班20名学生的体测成绩为：
40、45、44、48、50、49、50、49、47、45、48、46、49、47、49、49、48、50、49、50
甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表：
甲班
乙班
平均分
47.6
47.6
众数
50
b
中位数
a
48.5
方差
18.24
6.14
49分及以上人数所占百分比
70%
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=_____，b=_______，请补全条形统计图；
（2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级有1600名学生参加本月的体测，估计这次体测成绩为满分的学生人数是多少？
21．（10分）如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF=AE，连接OF，若OD=2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．
22．（10分）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y=||-4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）该函数的自变量取值范围是______；下表中p=_____，q=_______，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
（2）根据函数图象写出该函数的一条性质：______________________.
（3）已知函数y=-x-1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||-4＜-x-1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
24．（10分）若一个四位数m=，其中a，b为一位正整数，则称这样的四位数为“镜箴数”，将这个“镜箴数”的个位与十位上的数字交换位置，同时将百位与千位上的数字交换位置，得到一个新的“镜箴数”m'=，称交换前后的这两个“镜箴数”为一组“相关镜箴数”．规定G（m）=，例如：m=1221，m'=2112，G（1221）==33．
（1）G（5335）=_____；G（2992）=______；
（2）若m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，G（m）能被8整除，求所有满足条件的m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为（，0）．tan∠OBC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步嘹，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．
（1）如图1，若α=60°，连接AE，求AE长度；
（2）如图2，求证：BF=DF+CF；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG=BH=1，在△ABC旋转过程中，当FG-FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．
2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（4分）8的绝对值是（ ）
A．8 B．-8 C． D.-
【答案】A
2．（4分）下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．9：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
【答案】B
4．（4分）计算（3x2y）2的结果是（ ）
A．6x2y2 B．9x2y2 C．9x4y2 D．x4y2
【答案】C
5．（4分）下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
6．（4分）小妍从家出发步行上学，途中发现忘带了数学书，于是打电话让妈妈马上从家里沿上学的路送来，同时小妍也掉头往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续向学校走去．设小妍从家出发后所用时间为t，小妍与学校的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B=28°，则∠D的度数为（ ）
A．28° B．30° C．31° D．36°
【答案】C
8．（4分）现有甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地．甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，每种车都不能超载．已安排甲种车5辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车（ ）辆．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
9．（4分）把黑色梅花按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4朵梅花，第②个图案有8朵梅花，第③个图案有13朵梅花，…，按此规律排列下去，第⑥个图案中黑色梅花的朵数是（ ）
A．25 B．26 C．34 D．35
【答案】C
10．（4分）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
【答案】D
11．（4分）若m使关于x的分式方程1-的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-3
【答案】C
12．（4分）如图，△ABC中，点B，C分别在y轴，x轴上，点D是AB的中点，点E，F是AC的四等分点，连接DF，DF∥x轴，反比例函数y=的图象恰好经过点D，E，若△ADF的面积为4，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
解：过点B作BM∥DF交AC于点F，过点E作EN∥DF交y轴于点N，
则：BM∥DF∥EN∥OC，
∵BM∥DF，点D是AB的中点，
∴DF是△ABM的中位线，点F是AM的中点，
∵E、F是AC的四等分点，
∴点M是EF的中点，
又∵BM∥DF∥EN∥OC，
∴点A到DF的距离，DF和BM之间的距离，BM和EN之间的距离，EN和OC之间的距离相等，
设点A到DF的距离为a，则：
yD=3a，yE=a，
∵点D，点E在反比例函数y=的图象上，
∴D（，3a），E（，a），
∵S△ADF=•DF•a＝4，
∴DF=，
∴xF=xD+DF=+=，
xM=2DF=2×＝，
∵点M是FE的中点，
∴xM=，
∴＝，
解得：k=18．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在容题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：=________.
【答案】4．
14．（4分）根据国家统计局的数据，2021年的第一季度，我国的国内生产总值接近250000亿元，增幅达到了18.3%．数据250000用科学记数法表示为
_________.
【答案】2.5×105．
15．（4分）现将背面完全相同，正面分别标有数字-1，0，3，4的4张卡片洗匀后背面朝上，从中任取一张．将该卡片上的数字记为a后放回，再次洗匀后从中任取一张，将数字记为b，则使得ab＜0的概率为_________.
【答案】
16．（4分）如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AB=BO，
∴△ABO和△CDO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，∠COD=60°
∵BD=2，
∴OB=OD=1，
∴图中阴影部分的面积为：2S扇形ABO-S△COD=2×-×1×1×=，
【答案】．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE为△ABC的中位线，G为BC边上一点，将△BGD沿着DG翻折得到△FGD，DF⊥DE，连接EF，若AB=8，EF=，则BG的长度为________.
解：设DF与BC交点为H，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
由折叠知：DF=BD=AB＝4，∠DFG=∠B，
∴DE=＝5，
∴BC=10，
∴AC=＝6，
∴sinB＝，
∴，
∴DH＝，
∴FH＝4−＝，
∴cos∠GFH=＝，
∴，
∴FG=2，
∴BG=2，
故答案为：2．
18．（4分）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候”，三种花束的数量之比为2：3：5，每束花束的总成本为组成花束的康乃馨、百合、玫瑰成本之和（包装成本忽略不计）．“心之眷恋”花束包含康乃馨6支、百合1支、玫瑰3支，“佳人如兰”花束包含康乃馨2支、百合2支、玫瑰6支．每束“心之眷恋”的成本是每支康乃馨成本的15倍，销售的利润率是60%；每束“佳人如兰”的售价是成本的倍：每束“守候”在成本的基础上提价70%标价后打9折出售，获利为每支康乃馨成本的5.3倍．为了促进这三种花束的销售，商家在每束花束中分别赠送一支康乃馨作为礼物，销售结束时，这些花束全部卖完，则商家获得的总利润率为______.
解：∵三种花束的数量比固定后单种花束的数量并不影响总利润率，
∴按题目顺序设三种花束分别为2，3，5束，
设康乃馨、百合、玫瑰的单价分别为x，y，z，
则心之春恋的成本为：6x+y+3z=15x，
∴y+3z=9x，
佳人如兰的成本为：2x+2y+6z=2x+2（y+3z）=20x，
佳人如兰的利润为：（−1）×20x=15x，
由题意得守候得利润为5.3x，
守候得成本为：＝10x，
∴总成本为2×15x+3×20x+5×10x+1（2+3+5）x=150x，
∵总利润为：2×9x+3×15x+5×5.3x=89.5x，
∴总利润率为：×100%≈59.67%．
故答案为：59.67%．
三、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）+（a-b）2；
（2）
【答案】（1）2a2+b2；
（2）．
20．（10分）小南为了了解本校九年级学生的体育训练情况，从本校九年级甲、乙两班各随机抽取20名学生的本月体测成绩（满分均为50分，将体测成绩记为x）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲班20名学生的体测成绩在45＜x＜50分数段的数据为：49、48、49、49、48、49、47、49
乙班20名学生的体测成绩为：
40、45、44、48、50、49、50、49、47、45、48、46、49、47、49、49、48、50、49、50
甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表：
甲班
乙班
平均分
47.6
47.6
众数
50
b
中位数
a
48.5
方差
18.24
6.14
49分及以上人数所占百分比
70%
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=_____，b=_______，请补全条形统计图；
（2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级有1600名学生参加本月的体测，估计这次体测成绩为满分的学生人数是多少？
解：（1）由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是45＜x＜50分数段的最后两个数：49，49．
故中位数a==49．
∵乙班20名学生的体测成绩49出现了6次，最多次．
∴b=49．
故答案为：49，49；
（2）甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班；
（3）20个人中，甲班满分的有：20-1-2-8=9（人），乙班满分4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：1600×=520（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是520人．
21．（10分）如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF=AE，连接OF，若OD=2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．
解：结论：CE=OF．
理由：图形如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，OF⊥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEC=∠DAE=∠AOD=∠DFO=90°，
∴∠EAC+∠DAO=90°，∠FDO+∠DAO=90°，
∴∠CAE=∠ODF，
∵OD=2AO，AC=2AO，
∴AC=OD，
在△AEC和△DFO中，
，
∴△AEC≌△DFO（AAS），
∴CE=OF．
22．（10分）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
解：（1）设P樱桃单价是x元，则B樱桃单价是x元，
依题意得：4x+2×x=125，
解得：x=25．
答：P樱桃单价是25元．
（2）依题意得：25（1-a%）×（4-）+（1+a%）×2=125（1-a%），
整理得：0.0125a2-0.25a=0，
解得：a1=20，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y=||-4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）该函数的自变量取值范围是______；下表中p=_____，q=_______，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
（2）根据函数图象写出该函数的一条性质：______________________.
（3）已知函数y=-x-1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||-4＜-x-1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
解：（1）∵x+1≠0，
∴x≠-1，
∴函数y=||-4的自变量x的取值范围是x≠-1，
把x=-3和-分别代入函数关系式求得p=2，q=0，
画出函数图象如图：
故答案为x≠-1，2，0．
（2）观察图象可知：x＜-1时，y随x值的增大而增大；
故答案为：x＜-1时，y随x值的增大而增大；
（3）由图象可知，不等式||-4＜-x-1的解集为x＜-3或-0.4＜x＜1．
24．（10分）若一个四位数m=，其中a，b为一位正整数，则称这样的四位数为“镜箴数”，将这个“镜箴数”的个位与十位上的数字交换位置，同时将百位与千位上的数字交换位置，得到一个新的“镜箴数”m'=，称交换前后的这两个“镜箴数”为一组“相关镜箴数”．规定G（m）=，例如：m=1221，m'=2112，G（1221）==33．
（1）G（5335）=_____；G（2992）=______；
（2）若m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，G（m）能被8整除，求所有满足条件的m的值．
解：（1）G（5335）==88；
G（2992）==121．
故答案为：88；121．
（2）∵m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，
∴设m=，则m′=．x，y均为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y．
∴m=1000x+100y+10y+x，m′=1000y+100x+10x+y．
∴G（m）=
=11（x+y）．
∵G（m）能被8整除，
∴11（x+y）能被8整除．
∵x，y均为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，
∴2≤x+y≤18．
∴x+y=8或16．
∵x＜y，
∴x=1，y=7或x=2，y=6或x=3，y=5或x=7，y=9．
∴所有满足条件的m的值为：1771，2662，3553，7997．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为（，0）．tan∠OBC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
解：（1）由抛物线的表达式知，c=3=OC，则点C（0，3），
则tan∠OBC==，解得OB=4，故点B的坐标为（4，0），
故设抛物线的表达式为y=a（x-x1）（x-x2）=a（x-）（x-4）=ax2-5a+12a，
即12a=3，
解得a=，
故抛物线的表达式为y=x2-x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+3，
设点P的坐标为（x，x2-x+3），
则点D的坐标为（x，-x+3），
则PD+DE=（-x+3）-（x2-x+3）+x=-x2+x，
∵−＜0，
故PD+DE有最大值，
当x=3时，其最大值为，
此时点P的坐标为（3，-）；
（3）存在，理由：
∵y=x2-x+3=（x-）2-，
当抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，相当于向右平移了个单位向下平移了4.5个单位，
故y′=（x-4）2-，
故设点M的坐标为（4，m），
则点M与点B（4，0）横坐标相同，
即MB∥y轴，
①当BC是边时，
当点N在BM的右侧时，则点N、C关于BM对称，
故点N的坐标为（8，3）；
当点N在MB的左侧时（即点N在y轴上），
则CN∥BM，即点N在y轴上，
则CN=BC=，
则点N的坐标为（0，3+）或（0，3-）；
②当BC是对角线时，
设点N的坐标为（t，s），
则BC的中点即为NM的中点，且CM=CN，
即（0+4）=t+4，3+0=s+m且（s-3）2+（4）2+（m-s）2，
解得t=0，s=-6.5，
故点N的坐标为（0，-6.5），
综上，点N的坐标为（0，3+）或（0，3-）或（8，3）或（0，-6.5）．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步嘹，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．
（1）如图1，若α=60°，连接AE，求AE长度；
（2）如图2，求证：BF=DF+CF；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG=BH=1，在△ABC旋转过程中，当FG-FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．
】解：（1）如图1，作AG⊥BE于G，
∵α=60°，
∴∠BCE=60°，
∵BC=CE=2，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠ABE=30°，
∵AB=2，∠AGB=90°，
∴AG=1，BG=，
∴GE=2-，
在Rt△AGE中，AE2=AG2+GE2，
∴AE＝，
（2）证明：如图2，作DM⊥BE延长线于M，CN⊥BE于N，
∵∠ECN+∠CEN=∠DEM+∠CEN，
∴∠ECN=∠DEM，
∵∠CNE=∠EMD，CE=ED，
∴△CEN≌△EDM（AAS）
∴CN=EM，EN=DM，
∵BC=CE，CN⊥BE，
∴BN=EN，
∴DM=BN，
由旋转知：BC=CE，CA=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FAC，
∴∠AFB=∠ACB=45°，
∴∠DFM=45°，
∴DM=MF，
∴DF＝FM，
∴ME=FN，
∴CN=FN，
∴FC＝FN，
∴BF＝DF+CF，
（3）取AC的中点O，连接OH、OF、OG，在OG上取OQ＝，
∵∠AFB+∠CFB=90°，
∴OF＝AC＝，
∵AH=HB，
∴OH＝BC＝1，
∴OG＝，
∴OF2=OQ×OG，
∵∠FOG=∠QOF，
∴△FOG∽△QOF，
2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（学生版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（4分）8的绝对值是（ ）
A．8 B．-8 C． D.-
2．（4分）下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．9：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
4．（4分）计算（3x2y）2的结果是（ ）
A．6x2y2 B．9x2y2 C．9x4y2 D．x4y2
5．（4分）下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．（4分）小妍从家出发步行上学，途中发现忘带了数学书，于是打电话让妈妈马上从家里沿上学的路送来，同时小妍也掉头往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续向学校走去．设小妍从家出发后所用时间为t，小妍与学校的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B=28°，则∠D的度数为（ ）
A．28° B．30° C．31° D．36°
8．（4分）现有甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地．甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，每种车都不能超载．已安排甲种车5辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车（ ）辆．
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（4分）把黑色梅花按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4朵梅花，第②个图案有8朵梅花，第③个图案有13朵梅花，…，按此规律排列下去，第⑥个图案中黑色梅花的朵数是（ ）
A．25 B．26 C．34 D．35
10．（4分）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
11．（4分）若m使关于x的分式方程1-的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-3
12．（4分）如图，△ABC中，点B，C分别在y轴，x轴上，点D是AB的中点，点E，F是AC的四等分点，连接DF，DF∥x轴，反比例函数y=的图象恰好经过点D，E，若△ADF的面积为4，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在容题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：=________.
14．（4分）根据国家统计局的数据，2021年的第一季度，我国的国内生产总值接近250000亿元，增幅达到了18.3%．数据250000用科学记数法表示为_________.
15．（4分）现将背面完全相同，正面分别标有数字-1，0，3，4的4张卡片洗匀后背面朝上，从中任取一张．将该卡片上的数字记为a后放回，再次洗匀后从中任取一张，将数字记为b，则使得ab＜0的概率为_________.
16．（4分）如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE为△ABC的中位线，G为BC边上一点，将△BGD沿着DG翻折得到△FGD，DF⊥DE，连接EF，若AB=8，EF=，则BG的长度为________.
18．（4分）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候”，三种花束的数量之比为2：3：5，每束花束的总成本为组成花束的康乃馨、百合、玫瑰成本之和（包装成本忽略不计）．“心之眷恋”花束包含康乃馨6支、百合1支、玫瑰3支，“佳人如兰”花束包含康乃馨2支、百合2支、玫瑰6支．每束“心之眷恋”的成本是每支康乃馨成本的15倍，销售的利润率是60%；每束“佳人如兰”的售价是成本的倍：每束“守候”在成本的基础上提价70%标价后打9折出售，获利为每支康乃馨成本的5.3倍．为了促进这三种花束的销售，商家在每束花束中分别赠送一支康乃馨作为礼物，销售结束时，这些花束全部卖完，则商家获得的总利润率为______.
三、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）+（a-b）2；
（2）
20．（10分）小南为了了解本校九年级学生的体育训练情况，从本校九年级甲、乙两班各随机抽取20名学生的本月体测成绩（满分均为50分，将体测成绩记为x）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲班20名学生的体测成绩在45＜x＜50分数段的数据为：49、48、49、49、48、49、47、49
乙班20名学生的体测成绩为：
40、45、44、48、50、49、50、49、47、45、48、46、49、47、49、49、48、50、49、50
甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表：
甲班
乙班
平均分
47.6
47.6
众数
50
b
中位数
a
48.5
方差
18.24
6.14
49分及以上人数所占百分比
70%
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=_____，b=_______，请补全条形统计图；
（2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级有1600名学生参加本月的体测，估计这次体测成绩为满分的学生人数是多少？
21．（10分）如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF=AE，连接OF，若OD=2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．
22．（10分）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y=||-4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）该函数的自变量取值范围是______；下表中p=_____，q=_______，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
（2）根据函数图象写出该函数的一条性质：______________________.
（3）已知函数y=-x-1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||-4＜-x-1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
24．（10分）若一个四位数m=，其中a，b为一位正整数，则称这样的四位数为“镜箴数”，将这个“镜箴数”的个位与十位上的数字交换位置，同时将百位与千位上的数字交换位置，得到一个新的“镜箴数”m'=，称交换前后的这两个“镜箴数”为一组“相关镜箴数”．规定G（m）=，例如：m=1221，m'=2112，G（1221）==33．
（1）G（5335）=_____；G（2992）=______；
（2）若m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，G（m）能被8整除，求所有满足条件的m的值．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为（，0）．tan∠OBC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步嘹，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．
（1）如图1，若α=60°，连接AE，求AE长度；
（2）如图2，求证：BF=DF+CF；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG=BH=1，在△ABC旋转过程中，当FG-FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．
2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（下）期中数学试卷（教师版）
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（4分）8的绝对值是（ ）
A．8 B．-8 C． D.-
【答案】A
2．（4分）下列新能源汽车的标志，是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知BO：OE=2：1，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．9：1 B．4：1 C．3：1 D．2：1
【答案】B
4．（4分）计算（3x2y）2的结果是（ ）
A．6x2y2 B．9x2y2 C．9x4y2 D．x4y2
【答案】C
5．（4分）下列命题错误的是（ ）
A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】C
6．（4分）小妍从家出发步行上学，途中发现忘带了数学书，于是打电话让妈妈马上从家里沿上学的路送来，同时小妍也掉头往家走，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续向学校走去．设小妍从家出发后所用时间为t，小妍与学校的距离为s，下面能反映s与t的函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
7．（4分）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，OB与⊙O交于点C，D为⊙O上一点，连接AD，CD．若∠B=28°，则∠D的度数为（ ）
A．28° B．30° C．31° D．36°
【答案】C
8．（4分）现有甲、乙两种运输车将46吨物资运往A地．甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，每种车都不能超载．已安排甲种车5辆，要一次性完成该物资的运输，则至少安排乙种车（ ）辆．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
9．（4分）把黑色梅花按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有4朵梅花，第②个图案有8朵梅花，第③个图案有13朵梅花，…，按此规律排列下去，第⑥个图案中黑色梅花的朵数是（ ）
A．25 B．26 C．34 D．35
【答案】C
10．（4分）如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i=1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．
（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）
A．10.5米 B．16.1米 C．20.7米 D．32.2米
【答案】D
11．（4分）若m使关于x的分式方程1-的解为非负数，且使关于y的不等式组有且只有三个整数解，则所有满足条件的整数m的和为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-3
【答案】C
12．（4分）如图，△ABC中，点B，C分别在y轴，x轴上，点D是AB的中点，点E，F是AC的四等分点，连接DF，DF∥x轴，反比例函数y=的图象恰好经过点D，E，若△ADF的面积为4，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
解：过点B作BM∥DF交AC于点F，过点E作EN∥DF交y轴于点N，
则：BM∥DF∥EN∥OC，
∵BM∥DF，点D是AB的中点，
∴DF是△ABM的中位线，点F是AM的中点，
∵E、F是AC的四等分点，
∴点M是EF的中点，
又∵BM∥DF∥EN∥OC，
∴点A到DF的距离，DF和BM之间的距离，BM和EN之间的距离，EN和OC之间的距离相等，
设点A到DF的距离为a，则：
yD=3a，yE=a，
∵点D，点E在反比例函数y=的图象上，
∴D（，3a），E（，a），
∵S△ADF=•DF•a＝4，
∴DF=，
∴xF=xD+DF=+=，
xM=2DF=2×＝，
∵点M是FE的中点，
∴xM=，
∴＝，
解得：k=18．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在容题卡中对应的横线上.
13．（4分）计算：=________.
【答案】4．
14．（4分）根据国家统计局的数据，2021年的第一季度，我国的国内生产总值接近250000亿元，增幅达到了18.3%．数据250000用科学记数法表示为
_________.
【答案】2.5×105．
15．（4分）现将背面完全相同，正面分别标有数字-1，0，3，4的4张卡片洗匀后背面朝上，从中任取一张．将该卡片上的数字记为a后放回，再次洗匀后从中任取一张，将数字记为b，则使得ab＜0的概率为_________.
【答案】
16．（4分）如图，矩形ABCD中，O是对角线BD的中点，连接CO，以B为圆心，BO为半径画弧，弧线刚好过点A，以O为圆心，OC为半径画弧CD，若BD=2，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OB=OD，
∵AB=BO，
∴△ABO和△CDO是等边三角形，
∴∠BAO=60°，∠COD=60°
∵BD=2，
∴OB=OD=1，
∴图中阴影部分的面积为：2S扇形ABO-S△COD=2×-×1×1×=，
【答案】．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE为△ABC的中位线，G为BC边上一点，将△BGD沿着DG翻折得到△FGD，DF⊥DE，连接EF，若AB=8，EF=，则BG的长度为________.
解：设DF与BC交点为H，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90°，
由折叠知：DF=BD=AB＝4，∠DFG=∠B，
∴DE=＝5，
∴BC=10，
∴AC=＝6，
∴sinB＝，
∴，
∴DH＝，
∴FH＝4−＝，
∴cos∠GFH=＝，
∴，
∴FG=2，
∴BG=2，
故答案为：2．
18．（4分）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候”，三种花束的数量之比为2：3：5，每束花束的总成本为组成花束的康乃馨、百合、玫瑰成本之和（包装成本忽略不计）．“心之眷恋”花束包含康乃馨6支、百合1支、玫瑰3支，“佳人如兰”花束包含康乃馨2支、百合2支、玫瑰6支．每束“心之眷恋”的成本是每支康乃馨成本的15倍，销售的利润率是60%；每束“佳人如兰”的售价是成本的倍：每束“守候”在成本的基础上提价70%标价后打9折出售，获利为每支康乃馨成本的5.3倍．为了促进这三种花束的销售，商家在每束花束中分别赠送一支康乃馨作为礼物，销售结束时，这些花束全部卖完，则商家获得的总利润率为______.
解：∵三种花束的数量比固定后单种花束的数量并不影响总利润率，
∴按题目顺序设三种花束分别为2，3，5束，
设康乃馨、百合、玫瑰的单价分别为x，y，z，
则心之春恋的成本为：6x+y+3z=15x，
∴y+3z=9x，
佳人如兰的成本为：2x+2y+6z=2x+2（y+3z）=20x，
佳人如兰的利润为：（−1）×20x=15x，
由题意得守候得利润为5.3x，
守候得成本为：＝10x，
∴总成本为2×15x+3×20x+5×10x+1（2+3+5）x=150x，
∵总利润为：2×9x+3×15x+5×5.3x=89.5x，
∴总利润率为：×100%≈59.67%．
故答案为：59.67%．
三、解答题（本大题共7小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上。
19．（10分）计算：
（1）a（a+2b）+（a-b）2；
（2）
【答案】（1）2a2+b2；
（2）．
20．（10分）小南为了了解本校九年级学生的体育训练情况，从本校九年级甲、乙两班各随机抽取20名学生的本月体测成绩（满分均为50分，将体测成绩记为x）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
甲班20名学生的体测成绩在45＜x＜50分数段的数据为：49、48、49、49、48、49、47、49
乙班20名学生的体测成绩为：
40、45、44、48、50、49、50、49、47、45、48、46、49、47、49、49、48、50、49、50
甲、乙两班抽取的学生体测成绩统计表：
甲班
乙班
平均分
47.6
47.6
众数
50
b
中位数
a
48.5
方差
18.24
6.14
49分及以上人数所占百分比
70%
50%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=_____，b=_______，请补全条形统计图；
（2）根据上述数据，你认为甲、乙两班中哪个班级的学生体测成绩更好？请说明理由（写出一条即可）；
（3）该校九年级有1600名学生参加本月的体测，估计这次体测成绩为满分的学生人数是多少？
解：（1）由题意得：甲班学生成绩处在中间位置的两个数是45＜x＜50分数段的最后两个数：49，49．
故中位数a==49．
∵乙班20名学生的体测成绩49出现了6次，最多次．
∴b=49．
故答案为：49，49；
（2）甲班成绩较好，理由：甲班的平均数与乙班一样、但中位数，众数均大于乙班；
（3）20个人中，甲班满分的有：20-1-2-8=9（人），乙班满分4人．
∴估计这次体测成绩为满分的学生人数是：1600×=520（人）．
答：估计这次体测成绩为满分的学生人数是520人．
21．（10分）如图．菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O．尺规作图：过点A作直线BC的垂线（不写作法和证明，保留作图痕迹）．该垂线与BC交于点E，F为AD边上一点，DF=AE，连接OF，若OD=2AO，请猜想CE与OF的数量关系，并证明你的猜想．
解：结论：CE=OF．
理由：图形如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，OF⊥AD，
∴AE⊥AD，
∴∠AEC=∠DAE=∠AOD=∠DFO=90°，
∴∠EAC+∠DAO=90°，∠FDO+∠DAO=90°，
∴∠CAE=∠ODF，
∵OD=2AO，AC=2AO，
∴AC=OD，
在△AEC和△DFO中，
，
∴△AEC≌△DFO（AAS），
∴CE=OF．
22．（10分）樱桃果实味甘性温，营养丰富，含铁量高，有调中补气、祛风湿、促进血红蛋白再生等功能．宋代女诗人朱淑真以“樱桃”为题吟道：“为花结实自殊常，摘下盘中颗颗香．味重不容轻众口，独于寝庙荐先尝”．本月正是日啖樱桃的好时节，小玉访友途中先后购买了攀枝花甜樱桃（简称“P樱桃”）4斤和壁山小樱桃（简称“B樱桃”）2斤，共支付125元．
（1）已知P樱桃单价是B樱桃单价的2倍，则P樱桃单价是多少？
（2）小玉发现后购买的樱桃价虽廉，但物不够美，决定到甲、乙两个采摘园自行采摘．回家后发现，甲采摘园樱桃单价比P樱桃单价少a%，乙采摘园樱桃单价比B樱桃高a%，且在甲采摘园采摘的数量比途中购买的P樱桃数量少斤，在乙采摘园采摘的数量与途中购买的B樱桃数量一样多，总价比途中购买时的支付费用125元少a%，则a的值为多少？
解：（1）设P樱桃单价是x元，则B樱桃单价是x元，
依题意得：4x+2×x=125，
解得：x=25．
答：P樱桃单价是25元．
（2）依题意得：25（1-a%）×（4-）+（1+a%）×2=125（1-a%），
整理得：0.0125a2-0.25a=0，
解得：a1=20，a2=0（不合题意，舍去）．
答：a的值为20．
23．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数解析式--利用函数图象研究其性质--运用函数图象解决问题”的学习过程，以下是我们研究函数y=||-4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）该函数的自变量取值范围是______；下表中p=_____，q=_______，在所给的平面直角坐标系中补全该函数图象；
（2）根据函数图象写出该函数的一条性质：______________________.
（3）已知函数y=-x-1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式||-4＜-x-1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
解：（1）∵x+1≠0，
∴x≠-1，
∴函数y=||-4的自变量x的取值范围是x≠-1，
把x=-3和-分别代入函数关系式求得p=2，q=0，
画出函数图象如图：
故答案为x≠-1，2，0．
（2）观察图象可知：x＜-1时，y随x值的增大而增大；
故答案为：x＜-1时，y随x值的增大而增大；
（3）由图象可知，不等式||-4＜-x-1的解集为x＜-3或-0.4＜x＜1．
24．（10分）若一个四位数m=，其中a，b为一位正整数，则称这样的四位数为“镜箴数”，将这个“镜箴数”的个位与十位上的数字交换位置，同时将百位与千位上的数字交换位置，得到一个新的“镜箴数”m'=，称交换前后的这两个“镜箴数”为一组“相关镜箴数”．规定G（m）=，例如：m=1221，m'=2112，G（1221）==33．
（1）G（5335）=_____；G（2992）=______；
（2）若m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，G（m）能被8整除，求所有满足条件的m的值．
解：（1）G（5335）==88；
G（2992）==121．
故答案为：88；121．
（2）∵m是镜箴数，且它的百位数字大于千位数字，
∴设m=，则m′=．x，y均为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，x＜y．
∴m=1000x+100y+10y+x，m′=1000y+100x+10x+y．
∴G（m）=
=11（x+y）．
∵G（m）能被8整除，
∴11（x+y）能被8整除．
∵x，y均为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9，
∴2≤x+y≤18．
∴x+y=8或16．
∵x＜y，
∴x=1，y=7或x=2，y=6或x=3，y=5或x=7，y=9．
∴所有满足条件的m的值为：1771，2662，3553，7997．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C，与x轴交于点A，B，连接BC．点A的坐标为（，0）．tan∠OBC=．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为线段BC下方的抛物线上一动点，过点P作PD∥y轴交BC于点D，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E，求PD+DE的最大值及此时点P的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，得到抛物线y'，M为y'对称轴上一动点，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以B、M、N、C四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出N点的坐标，若不存在，在请说明理由．
解：（1）由抛物线的表达式知，c=3=OC，则点C（0，3），
则tan∠OBC==，解得OB=4，故点B的坐标为（4，0），
故设抛物线的表达式为y=a（x-x1）（x-x2）=a（x-）（x-4）=ax2-5a+12a，
即12a=3，
解得a=，
故抛物线的表达式为y=x2-x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y=-x+3，
设点P的坐标为（x，x2-x+3），
则点D的坐标为（x，-x+3），
则PD+DE=（-x+3）-（x2-x+3）+x=-x2+x，
∵−＜0，
故PD+DE有最大值，
当x=3时，其最大值为，
此时点P的坐标为（3，-）；
（3）存在，理由：
∵y=x2-x+3=（x-）2-，
当抛物线y=ax2+bx+3沿射线CA方向平移3个单位长度，相当于向右平移了个单位向下平移了4.5个单位，
故y′=（x-4）2-，
故设点M的坐标为（4，m），
则点M与点B（4，0）横坐标相同，
即MB∥y轴，
①当BC是边时，
当点N在BM的右侧时，则点N、C关于BM对称，
故点N的坐标为（8，3）；
当点N在MB的左侧时（即点N在y轴上），
则CN∥BM，即点N在y轴上，
则CN=BC=，
则点N的坐标为（0，3+）或（0，3-）；
②当BC是对角线时，
设点N的坐标为（t，s），
则BC的中点即为NM的中点，且CM=CN，
即（0+4）=t+4，3+0=s+m且（s-3）2+（4）2+（m-s）2，
解得t=0，s=-6.5，
故点N的坐标为（0，-6.5），
综上，点N的坐标为（0，3+）或（0，3-）或（8，3）或（0，-6.5）．
四、解答题（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步嘹，画出必要的图形（包括辅助线），并将解答过程写在答题卡中对应的位置上.
26．（8分）如图，Rt△ABC中，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转，旋转角为α，A、B的对应点分别为D、E．连接BE并延长，与AD交于点F．
（1）如图1，若α=60°，连接AE，求AE长度；
（2）如图2，求证：BF=DF+CF；
（3）如图3，在射线AB上分别取点H、G（H、G不重合），使得BG=BH=1，在△ABC旋转过程中，当FG-FH的值最大时，直接写出△AFG的面积．
】解：（1）如图1，作AG⊥BE于G，
∵α=60°，
∴∠BCE=60°，
∵BC=CE=2，
∴△BCE为等边三角形，
∴∠ABE=30°，
∵AB=2，∠AGB=90°，
∴AG=1，BG=，
∴GE=2-，
在Rt△AGE中，AE2=AG2+GE2，
∴AE＝，
（2）证明：如图2，作DM⊥BE延长线于M，CN⊥BE于N，
∵∠ECN+∠CEN=∠DEM+∠CEN，
∴∠ECN=∠DEM，
∵∠CNE=∠EMD，CE=ED，
∴△CEN≌△EDM（AAS）
∴CN=EM，EN=DM，
∵BC=CE，CN⊥BE，
∴BN=EN，
∴DM=BN，
由旋转知：BC=CE，CA=CD，∠BCE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FAC，
∴∠AFB=∠ACB=45°，
∴∠DFM=45°，
∴DM=MF，
∴DF＝FM，
∴ME=FN，
∴CN=FN，
∴FC＝FN，
∴BF＝DF+CF，
（3）取AC的中点O，连接OH、OF、OG，在OG上取OQ＝，
∵∠AFB+∠CFB=90°，
∴OF＝AC＝，
∵AH=HB，
∴OH＝BC＝1，
∴OG＝，
∴OF2=OQ×OG，
∵∠FOG=∠QOF，
∴△FOG∽△QOF，
相关试卷
2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷： 这是一份2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学九年级（上）期中数学试卷，共38页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)： 这是一份重庆市沙坪坝区南开中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷(含答案)，共35页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（实用性答案）2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份）： 这是一份（实用性答案）2020-2021学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（下）第一次月考数学试卷（3月份），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
