2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省常州市新北区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列剪纸图案中，为轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.如图，，AC=2，则DC等于
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是
( )
A. AM=BMB. AP=BN
C. ∠MAP=∠MBPD. ∠ANM=∠BNM
4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. a=1,b=2,c=3B. a=2,b=3,c=4
C. a=3,b=4,c=5D. a=4,b=5,c=6
5.点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是
( )
A. PQ>5B. PQ≥5C. PQ<5D. PQ≤5
6.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC,BC于点E,D.若△ABC的周长为23，▵ABD的周长为15，则EC的长是
( )
A. 8B. 6C. 5D. 4
7.如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC等于
( )
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 130∘
8.如图，在△ABC中，，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交射线BA于点D，连接CD，则∠BCD的大小是
( )
A. 10∘B. 50∘C. 100∘D. 10∘或100∘
二、填空题（本大题共10小题，共30分）
9.如图，BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．
10.如图，已知D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF//AB.若AB=9cm，CF=6cm，则BD= cm．
11.若等腰三角形的顶角是40∘，则它的一个底角是 ∘．
12.若一个等腰三角形的周长是20，底边长是8，则等腰三角形的腰长是 ．
13.若n>1，△ABC三边长分别是n2−1，2n，n2+1，则△ABC是 三角形．
14.如图，已知点D,E分别在AB,AC上，AD=AE,BD=CE.若∠BDC=100∘，则∠AEB= ∘．
15.如图，在Rt▵ABC中，D是斜边AB的中点，若CD=2，则AC2+BC2= ．
16.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC=8，DE=2，则△BCE的面积等于 ．
17.如图，在△ABC中，∠BAC=108∘，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为 ．
18.如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，BC=2，AC=3.直线BE/​/AC，D是BE上一动点．则AD+CD的最小值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19.(本小题8分)
利用网格画图：
(1)在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等；
(2)在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
20.(本小题8分)
已知：如图，ED⊥AB，FC⊥AB，垂足分别为D、C，AE//BF，且AE=BF.求证：AC=BD．
21.(本小题8分)
已知：如图，AB=DC，AC=DB，AC,DB交于点O，∠AOB与∠OBC有怎样的数量关系？证明你的结论．
22.(本小题8分)
已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BD上，点G在CA的延长线上，且GE//AD，GE交AB于点F．
(1)求证：AG=AF；
(2)连接BG，若BE2+GE2=BG2，判断△ABC的形状，并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，折叠长方形纸片ABCD，使得点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知AB=DC=6，AD=BC=10.求：
(1)CF的长；
(2)EC的长．
24.(本小题8分)
如图，在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，D是边BC的中点，E是边AB上一点，且DE=DC．
(1)用直尺和圆规在边AC上作点F，使得▵CDF≌▵EDF；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)的条件下：
①求CF的长；
②线段DF与线段AB的数量关系是______，位置关系是______．
25.(本小题8分)
已知：如图，C是线段AB上一点，直线AM⊥AB，射线CN⊥AB，AC=3，CB=2，在直线AM上取一点D，在射线CN上取一点E，连接BD,ED,BE．
(1)如图，若▵ABD≌▵CEB．
①判断△BDE的形状，并证明你的结论；
②求△BDE的面积；
(2)若▵ABD与△BDE全等，求CE2的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】此题考查轴对称图形的定义：一个图形沿着一条直线折叠后，两侧能完全重合，此图形即为轴对称图形，根据定义依次判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形；
B.不是轴对称图形；
C.不是轴对称图形；
D.是轴对称图形；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】此题考查全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据性质直接得到DC=AC=2．
【详解】，AC=2，
∴DC=AC=2，
故选B．
3.【答案】B
【解析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P是直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，而B错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】此题考查勾股定理的逆定理，三角形三边关系，根据勾股定理逆定理分别计算并判断能否构成直角三角形，熟练掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解题的关键．
【详解】A．1+2=3不能构成三角形，故该项不符合题意；
B.22+32≠42，不是直角三角形，故该项不符合题意；
C.32+42=52，是直角三角形，故符合题意；
D.42+52≠62，不是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
5.【答案】B
【解析】根据角平分线上的点到两边的距离相等，可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短，即可得出结论．
【详解】∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，
∴点P到OB的距离为5，
∵点Q是OB边上的任意一点，
∴PQ≥5．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，熟练掌握相关内容是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】此题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线得到AD=CD,AE=CE，利用三角形周长得到AB+BC+2EC=23，AB+BC=15，进而求出EC，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
【详解】∵DE垂直平分AC，
∴AD=CD,AE=CE，
∵△ABC的周长为23，▵ABD的周长为15，
∴AB+BC+AC=AB+BC+2EC=23，
AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15
∴EC=4
故选：D．
7.【答案】C
【解析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质，根据等边三角形的性质，得∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60∘，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP=∠CAQ=30∘，从而求解．掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵BP=PQ=QC=AP=AQ，
∴△APQ是等边三角形，∠B=∠BAP，∠C=∠CAQ，
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60∘，
∵∠B+∠BAP=∠APQ=60∘，∠C+∠CAQ=∠AQP=60∘，
∴∠BAP=12∠APQ=12×60∘=30∘，∠CAQ=12∠AQP=12×60∘=30∘，
∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=30∘+60∘+30∘=120∘．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】此题考查等边对等角求角度，三角形内角和定理，分类思想，根据点D的位置分两种情况：当点D在BA延长线上时，当点D在线段BA上时，利用三角形内角和定理及等边对等角求出∠BCD的度数，正确掌握分类思想避免漏解．
【详解】当点D在BA延长线上时，

∵AC=AD
∴∠ACD=∠D
∵∠ACD+∠D=∠BAC=80∘，
∴∠ACD=12∠BAC=40∘
∵∠ABC=40∘,∠BAC=80∘
∴∠ACB=60∘
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=100∘；
当点D在线段BA上时，

∵∠BAC=80∘,AD=AC
∴∠ADC=∠ACD=12180∘−∠BAC=50∘
∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=10∘
故选：D．
9.【答案】AC=CD(答案不唯一)
【解析】可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明▵ABC≌▵DEC．
【详解】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中BC=EC∠ACB=∠DCEAC=DC,
∴△ABC≌△DECSAS，
故答案为：AC=CD(答案不唯一)．
【点睛】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
10.【答案】3
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质：根据CF/​/AB得到∠A=∠ACF，由此证明△ADE≌△CFE(ASA)，推出AD=CF=6cm即可，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
【详解】∵CF//AB，
∴∠A=∠ACF
在△ADE和△CFE中
∠A=∠ACFAE=CE∠AED=∠CEF
∴△ADE≌△CFE(ASA)，
∴AD=CF=6cm
∵AB=9cm
∴BD=AB−AD=3cm
故答案为：3．
11.【答案】70
【解析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和可求解．
【详解】解：由题意得：该等腰三角形的底角为180∘−40∘2=70∘，
故答案为：70．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握等腰三角形的定义及三角形内角和是解题的关键．
12.【答案】6
【解析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的周长，设等腰三角形的腰长为x，根据等腰三角形的性质和周长可得x+x+8=20，求解即可．掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：设等腰三角形的腰长为x，
∵等腰三角形的周长是20，底边长是8，
∴x+x+8=20，
解得：x=6，
∴等腰三角形的腰长是6．
故答案为：6．
13.【答案】直角
【解析】此题考查勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，利用较短两边的平方和等于较长边的平方即可得到三角形是直角三角形．
【详解】∵(n2−1)2+(2n)2=n4−2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角．
14.【答案】80
【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，先推出AB=AC，利用SAS证明△ADC≌△AEB，即可求出∠AEB的度数．
【详解】解：∵AD=AE,BD=CE，
∴AB=AC
又，
∴∠AEB=∠ADC=180∘−∠BDC=80∘
故答案为：80．
15.【答案】16
【解析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AB=2CD=4，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，勾股定理．
【详解】∵在Rt▵ABC中，D是斜边AB的中点，
∴CD是Rt▵ABC斜边AB上的中线
∴AB=2CD=4，
∵∠ACB=90∘
∴AC2+BC2=AB2=16．
故答案为：16．
16.【答案】8
【解析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE=EF，再根据三角形的面积公式，即可求得▵BCE的面积．
【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F，
∵CD是AB边上的高，
∴CD⊥BA，
∵BE平分∠ABC，
∴DE=EF，
∵DE=2，
∴EF=2，
∵BC=8，
∴S△BCE=BC⋅EF2=8×22=8
故答案为：8．

【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．
17.【答案】24∘
【解析】由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B=2∠C，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180∘，
∴3∠C=180∘−108∘，
∴∠C=24∘，
∴∠C′=∠C=24∘，
故答案为：24∘．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
18.【答案】5
【解析】此题考查轴对称求最短路径，勾股定理，线段垂直平分线的性质，延长CB至点G，使BG=BC，连接AG交BE于点F，连接CF，得到AD+CD=AD+GD≥AG，当A、D、G三点共线时，AD+CD的值最小，即线段AG的长度，勾股定理求出AG即可，正确理解最短路径问题的解题思路是解题的关键．
【详解】如图，延长CB至点G，使BG=BC，连接AG交BE于点F，连接CF，

∵∠ACB=90∘，BE/​/AC，
，即BE⊥CG
∴CD=GD,CF=GF，
∵AD+CD=AD+GD≥AG，
∴当A、D、G三点共线时，AD+CD的值最小，即线段AG的长度，
∵∠ACB=90∘，BC=2，AC=3，
∴CG=4
∴AG= AC2+CG2=5，
∴AD+CD的值最小值为5，
故答案为：5．
19.【答案】【小题1】
解：如图，利用格点作∠BAC的角平分线，交CB于点P，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”，点P到AB和AC的距离相等，故点P即为所求．

【小题2】
如图，利用格点作线段BC的垂直平分线，交射线AP于点Q，根据垂直平分线的性质定理“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，QB=QC，故点Q即为所求．

【解析】1.
利用格点作∠BAC的角平分线交CB于点P即可；
2.
利用格点作线段BC的垂直平分线交射线AP于点Q即可．
【点睛】本题考查了网格作图，涉及了角平分线的性质定理、垂直平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理、垂直平分线的性质定理，是解题的关键．
20.【答案】证明：∵AE // BF，
∴∠A=∠B，
∵ED⊥AB，FC⊥AB，
∴∠FCB=∠EDA
在△ADE和△FCB中：
∠A=∠B∠FCB=∠EDAAE=BF
∴△ADE≌△FCB(AAS)，
∴AD=BC，
∵CD=DC，
∴AC=BD．

【解析】先证明△ADE≌△FCB，由此得出AD=BC，进而可证AC=BD．
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，关键在于熟练掌握基础知识．
21.【答案】∠AOB=2∠OBC，
证明：在△ABC和△DCB中
AB=DCAC=DBBC=CB
∴▵ABC≌▵DCBSSS
∴∠ACB=∠DBC
∴∠AOB=∠OBC+∠OCB=2∠OBC．

【解析】此题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，利用SSS证明▵ABC≌▵DCB，得到∠ACB=∠DBC，再利用三角形外角性质得到∠AOB=2∠OBC，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】【小题1】
证明：∵GE//AD，
∴∠AGF=∠CAD,∠AFG=∠BAD
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD
∴∠AGF=∠AFG
∴AG=AF；
【小题2】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵BE2+GE2=BG2，
∴△BEG是直角三角形，∠BEG=90∘，
∵GE//AD，
∴∠ADC=90∘=∠ADB
又∵∠BAD=∠CAD,AD=AD
∴▵ABD≌▵ACD
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形．

【解析】1.
此题考查平行线的性质，等角对等边，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定：
利用平行线的性质得到∠AGF=∠CAD,∠AFG=∠BAD，根据角平分线得到∠CAD=∠BAD，即可推出∠AGF=∠AFG，由此得到AG=AF；
2.
根据勾股定理逆定理得到△BEG是直角三角形，∠BEG=90∘，推出∠ADC=90∘=∠ADB，由此证明▵ABD≌▵ACD，得到AB=AC，进而得到结论△ABC是等腰三角形．
23.【答案】【小题1】
∵▵AEF由▵AED折叠而来，
∴AD=AF=10,DE=FE．
在Rt△ABF中，AB=6,AF=10，
∴BF= AF2−AB2=8，
∴CF=BC−BF=10−8=2．
【小题2】
设EC=x，则EF=ED=6−x，
在Rt▵CEF中，EF2=CE2+CF2，即6−x2=x2+22，
解得：x=83．
即CE=83．

【解析】1.
此题考查折叠的性质，勾股定理：
根据折叠得AD=AF=10,DE=FE，利用勾股定理求出BF=8，即可得到CF的长；
2.
设EC=x，则EF=ED=6−x，在Rt▵CEF中，由勾股定理得EF2=CE2+CF2，即6−x2=x2+22，求出x=83即可．
24.【答案】【小题1】
如图，连接EF，

∵CD=DE,∠CDF=∠EDF,DF=DF
∴▵CDF≌▵EDF；
【小题2】
①∵▵CDF≌▵EDF，
∴EF=CF，∠DEF=∠C=90∘，
∵BC=4，D是边BC的中点，DE=DC．
∴CD=DE=BD=2
∴∠B=∠BED
∵∠A+∠B=90∘,∠DEB+∠AEF=90∘
∴∠A=∠AEF
∴AF=EF
∴AF=CF=12AC=32；
②∵∠ACB=90∘，AC=3，BC=4，
∴AB= AC2+BC2=5
∵AF=CF,CD=BD
∴FD= CF2+CD2=52
∴DF=12AB，
∵∠B=∠BED=∠EDF=∠CDF
∴DF/​/AB
故答案为：DF=12AB，DF/​/AB．

【解析】1.
此题考查作角平分线，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等角对等边证明边相等，三角形中位线的性质定理，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．
作∠CDE的平分线，可得▵CDF≌▵EDF；
2.
①由▵CDF≌▵EDF得到EF=CF，∠DEF=∠C=90∘，利用CD=DE=BD=2推出∠B=∠BED，进而得到∠A=∠AEF，证得AF=EF，即可求出AF=CF=12AC=32；②勾股定理求出AB=5，根据中点得到DF是▵ABC的中位线，由此得到DF//AB,DF=12AB．
25.【答案】【小题1】
①△BDE是等腰直角三角形，
∵▵ABD≌▵CEB，
∴BD=BE,∠ABD=∠BEC，
∵CN⊥AB
∴∠BCE=90∘
∴∠BEC+∠CBE=90∘，
∴∠ABD+∠CBE=90∘，即∠DBE=90∘，
∴▵BDE是等腰直角三角形；
②∵▵ABD≌▵CEB，AC=3，CB=2，
∴AB=AC+BC=5,AD=BC=2，
∴BD=BE= AB2+AD2= 52+22= 29
∴S▵BDE=12⋅BD2=292；
【小题2】
当△ABD≌△EBD时，BE=AB=5，
∴CE2=BE2−BC2=25−4=21．
．

【解析】1.
此题考查全等三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
①根据全等三角形的性质得到BD=BE,∠ABD=∠BEC，利用等角的余角相等推出∠ABD+∠CBE=90∘，即可得到▵BDE是等腰直角三角形；②利用全等三角形的性质得到AB=AC+BC=5,AD=BC=2，勾股定理求出BD=BE= 29，再利用面积公式计算即可；
2.
根据△ABD≌△EBD得到BE=AB=5，利用勾股定理求出CE2．