2023-2024学年江苏省徐州市贾汪区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省徐州市贾汪区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列方法中，不能判定三角形全等的是( )
A. SASB. SSSC. ASAD. AAA
3.如图，△ABC≌△ADC，若∠B=25°，则∠D的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 50°
4.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于( )
A. 12B. 12或15C. 15或18D. 15
5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 3，4，5D. 4，5，6
6.到三角形三个顶点距离相等的点是( )
A. 三边高线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条内角平分线的交点
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，则CD的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8.如图，将一个直角三角形纸片ABC(∠ACB=90°)，沿线段CD折叠，使点B落在B′处，若∠ACB′=70°，则∠ACD的度数为( )
A. 30°
B. 20°
C. 15°
D. 10°
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
9.在△ABC中，AB=AC，若∠B=50°，则∠C= ______ 度.
10.在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，若CD=3，则AB= ______ ．
11.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D.请添加一个条件______，使△ABF≌△DCE．
12.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=5，S2=10，则S3= ______ ．
13.如图，已知线段AB，分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧线相交于点C，连接AC，BC，则∠BAC的度数为______ ．
14.如图，点B、C、D共线，AC=BE，AC⊥BE，∠ABC=∠D=90°，AB=12，DE=5，则CD=______．
15.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE/​/BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②△ADE的周长=AB+AC；③BF=CF.其中正确的有______ .(填正确的序号)
16.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，E、F在射线AC与射线CB上运动，且满足AE=CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为______ ．
三、解答题：本题共9小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知：如图，AB=AC，∠BAD=∠CAD．
求证：∠B=∠C．
18.(本小题8分)
如图，AB、CD相交于点O，AO=BO，AC/​/DB.求证：△AOC≌△BOD．
19.(本小题8分)
如图，已知△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.求证：AB=AC．
20.(本小题8分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)△ABC的面积为______ ；
(3)在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短．
21.(本小题10分)
如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．
22.(本小题10分)
如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD．
(1)求证：△BFD≌△ACD；
(2)求∠ABD的度数．
23.(本小题10分)
如图，△ABC中，∠C=90°．
(1)用尺规作图作AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)；
(2)在(1)条件下，连接BD，当BC=3cm，AB=5cm时，求△BCD的周长．
24.(本小题10分)
已知：如图，点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形.BE交AC于F，交AD于点G，AD交CE于H．
(1)求证：△BCE≌△ACD；
(2)求∠AGB度数；
(3)试判断△CFH的形状，并说明理由．
25.(本小题12分)
(1)观察推理：
如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E.求证：AE=CD；
(2)类比探究：
如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；
(3)拓展提升：
如图3，∠E=60°，EC=EB=5cm，点O在BC上，且OC=4cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF.要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、不是轴对称图形
B、不是轴对称图形
C、不是轴对称图形
D、是轴对称图形；
故选：D．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2.【答案】D
【解析】解：A、SAS可以判定全等，故本选项不符合题意；
B、SSS可以判定全等，故本选项不符合题意；
C、ASA可以判定全等，故本选项不符合题意；
D、AAA不可以判定全等，故本选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定定理即可得出答案．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形).注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3.【答案】B
【解析】解：∵△ABC≌△ADC，
∴∠D=∠B，
∵∠B=25°，
∴∠D=25°，
故选：B．
根据全等三角形的性质可得∠D=∠B，进一步即可确定∠D的度数．
本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵等腰三角形的两边长分别是3和6，
∴①当腰为6时，三角形的周长为：6+6+3=15；
②当腰为3时，3+3=6，三角形不成立；
∴此等腰三角形的周长是15．
故选D．
由于等腰三角形的两边长分别是3和6，没有直接告诉哪一条是腰，哪一条是底边，所以有两种情况，分别利用三角形的周长的定义计算即可求解．
此题主要考查了三角形的周长的计算，也利用了等腰三角形的性质，同时也利用了分类讨论的思想．
5.【答案】C
【解析】解：A.12+22≠32，故不是直角三角形，不符合题意；
B.22+32≠42，故不是直角三角形，不符合题意；
C.32+42=52，故是直角三角形，符合题意；
D.42+52≠62，故不是直角三角形，不符合题意．
故选：C．
运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形的三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
6.【答案】B
【解析】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
根据线段垂直平分线的性质判断即可．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD，
∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10⋅DE=15，
解得：DE=3，
∴CD=3．
故选：A．
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵∠B′CB=∠ACB+∠ACB′
∴∠B′CB=160°
由折叠的性质可知：
∴∠B′CD=∠BCD=12∠B′CB=80°
∴∠ACD=∠ACB−∠BCD=10°
故选：D．
由折叠的性质可求解．
本题考查了翻折变换，折叠的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
9.【答案】50
【解析】解：∵AB=AC
∴∠C=∠B=50°
故填50．
由已知可判断∠B=50°是三角形的底角，∠A是顶角，∠C是底角，根据等腰三角形等边对等角求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质；由已知判断出∠B、∠C是三角形的底角是解答本题的关键．
10.【答案】6
【解析】解：在Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点，CD=3，
∴AB=2CD=3×2=6，
故答案为：6．
根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
11.【答案】∠B=∠C(答案不唯一)
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
添加∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中，
∠B=∠C∠A=∠DBF=CE，
∴△ABF≌△DCE(AAS)，
故答案为：∠B=∠C(答案不唯一)．
求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
12.【答案】15
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，
∴S1=BC2、S2=AC2、S3=AB2，
∴S1+S2=S3，
∵S1=5，S2=10，
∴S3=5+10=15，
故答案为：15．
根据勾股定理，得AB2=AC2+BC2，根据正方形的面积公式，得S1=BC2、S2=AC2、S3=AB2，从而得到S1+S2=S3，代入计算即可．
本题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
13.【答案】60°
【解析】解：∵分别以点A和点B为圆心，AB的长为半径作弧，两弧线相交于点C，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
故答案为：60°．
根据题意得出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解．
此题考查了等边三角形的性质，熟记“等边三角形的内角均为60°”是解题的关键．
14.【答案】7
【解析】解：∵AC⊥BE，∠ABC=∠D=90°，
∴∠A+∠ABE=∠ABE+∠EBD=90°，
∴∠A=∠EBD，
在△ABC与△BDE中
∠ABC=∠BDE=90°∠A=∠EBDAC=BE，
∴△ABC≌△BDE(AAS)，
∴DE=BC，AB=BD，
∴CD=BD−BC=AB−DE=12−5=7，
故答案为：7
根据全等三角形的判定和性质解答即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，全等三角形的判定有SAS，ASA，AAS，SSS．
15.【答案】①②
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，
∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线，
∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，
∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，
∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．故①正确；
∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC，故②正确；
∵∠ABC不一定等于∠ACB，
∴∠FBC不一定等于∠FCB，
∴BF与CF不一定相等，故③错误；
①②正确，
故答案为：①②．
根据平行线性质和角平分线定义可以得∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB，从而得到△DFB，△FEC都是等腰三角形；
②同①有DF=DB，FE=EC，则△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC；
③因为∠ABC不一定等于∠ACB，所以∠FBC不一定等于∠FCB，所以BF与CF不一定相等．
本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的定义及平行线的性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定和性质．
16.【答案】2
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是AB的中点，
∴∠A=∠CBA=45°，∠ACD=∠BCD=45°，CD⊥AB，且CD=AD=BD，
在△AED和△CFD中，
AE=CF∠A=∠BCDAD=CD，
∴△AED≌△CFD(SAS)，
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∵∠ADE+∠CDE=90°，
∴∠CDF+∠CDE=90°，即：∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形，
当DE⊥AC时，DE最短，△DEF的面积最小，
此时，DE=DF=12AC=2，
S△DEF=12DE⋅DF=12×2×2=2，
故答案为：2．
利用等腰直角三角形的性质可以得到，∠A=∠BCD=45°，CD=AD=BD，利用SAS可得到△AED≌△CFD，进而得到△DEF为等腰直角三角形，利用垂线段最短，可以得到当DE⊥AC时，DE最短，△DEF的面积最小，再利用等腰三角形的性质可得DE最短等于2，根据三角形的面积公式即可求解；
本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，三角形面积计算，熟练掌握等腰直角三角形的三线合一的性质，证明△AED≌△CFD是解决本题的关键．
17.【答案】解：在△ABD和△ACD中，
AB=AC(已知)∠BAD=∠CAD(已知)AD=AD(公共边)
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴∠B=∠C．
【解析】易证△ABD≌△ACD根据全等三角形对应角相等的性质可得∠B=∠C．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证△ABD≌△ACD是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC//DB，
∴∠C=∠D，∠A=∠B，
在△AOC和△BOD中∠C=∠D∠A=∠BAO=BO，
∴△AOC≌△BOD(AAS)．
【解析】利用平行线的性质可得∠C=∠D，∠A=∠B，然后再利用AAS判定△AOC≌△BOD即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
19.【答案】证明：如图，连接AO．

∵CE⊥AB，BD⊥AC，
∴∠AEC=∠ADB=∠BEC=∠CDB=90°．
∵OB=OC，
∴∠DBC=∠ECB．
在△BCD和△CBE中，
∠BEC=∠CDB，∠BCE=∠DBC，BC=CB
∴△BCD≌△CBE(AAS)，
∴∠DBC=∠ECB，
∴AB=AC．
【解析】连接AO.只要证明△BCD≌△CBE(AAS)，推出∠DBC=∠ECB，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20.【答案】5.5
【解析】解：(1)作出点A，点B关于l的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C，
如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)S△ABC=3×5−12×2×1−12×5×1−12×4×3=5.5；
故答案为：5.5；
(3)∵点B与点B′关于l对称，
连接AB′交直线l与点P，
∴PB=PB′，
∴PA+PB=PA+PB′，
则PA+PB长的最短值=AB′．
(1)根据题意作出点A，点B关于L的对称点A′、B′，连结CA′，A′B′，B′C即可；
(2)用割补法利用矩形面积减去3个直角三角形面积求解即可得到结论；
(3)通过轴对称的性质，作出图形．
本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−轴对称变换，正确地理解题意是解题的关键．
21.【答案】解：∵∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC= AB2+BC2=5，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，
则S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×5×12=36．
故四边形ABCD的面积是36．
【解析】在直角三角形ABC中，由AB及BC的长，利用勾股定理求出AC的长，再由AD及CD的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD为直角三角形，根据四边形ABCD的面积=直角三角形ABC的面积+直角三角形ACD的面积，即可求出四边形的面积．
此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵AD为△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠BDF=∠ADC=90°，
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
BF=ACFD=CD，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)．
(2)解：∵Rt△BFD≌Rt△ACD，
∴BD=AD，
∵∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠BAD=12(180°−∠ADB)=12×(180°−90°)=45°，
∴∠ABD的度数是45°．
【解析】(1)由AD为△ABC的高，得∠BDF=∠ADC=90°，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△BFD≌Rt△ACD；
(2)由Rt△BFD≌Rt△ACD，得BD=AD，而∠ADB=90°，所以∠ABD=∠BAD=45°．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图；
(2)在Rt△ABC中，∵AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4，
∵DE为AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴△BCD的周长=BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=3+4=7(cm)．
【解析】(1)作线段AB的垂直平分线即可；
(2)先根据勾股定理计算出AC=4，再利用线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则可把△BCD的周长转为AC与BC的和，从而达到解决问题的目的．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
24.【答案】证明：(1)∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)由(1)△ACD≌△BCE可得，
∠CAD=∠CBE，
∵∠AGB=∠CBE+∠ADC，
∠ACB=∠CAD+∠ADC=60°，
∴∠AGB=∠CAD+∠ADC=∠ACB=60°；
(3)由(1)可知△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH，
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH=180°−∠ACB−∠HCD=60°=∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∠CBF=∠CAHBC=AC∠BCF=∠ACH，
∴△BCF≌△ACH(ASA)，
∴CF=CH，
∵∠FCH=60°，
∴△CHF是等边三角形．
【解析】(1)由等边三角形的性质，可求得∠BCE=∠ACD，结合BC=AC，CE=CD，可证明△BCE≌△ACD；
(2)根据)△ACD≌△BCE和三角形的外角的性质可得结论；
(3)可先证明△BCF≌△ACH，可求得CF=CH，且∠FCH=60°，可证△CHF为等边三角形．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和全等三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E，
∴∠AEC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CAE=∠BCD=90°−∠ACE，
在△AEC和△CDB中，
∠CAE=∠BCD∠AEC=∠CDBAC=CB，
∴△AEC≌△CDB(AAS)，
∴AE=CD．
(2)解：如图2，作B′G⊥AC于点G，则∠B′GA=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠B′GA=∠ACB，
由旋转得∠BAB′=90°，B′A=AB，
∴∠AB′G=∠BAC=90°−∠CAB′，
在△B′AG和△ABC中，
∠AB′G=∠BAC∠B′GA=∠ACBB′A=AB，
∴△B′AG≌△ABC(AAS)，
∴B′G=AC=4，
∴S△AB′C=12AC⋅B′G=12×4×4=8，
∴△AB′C的面积是8．
(3)解：如图4，点F恰好在射线EB上，设点P运动的时间为ts，
∵∠E=60°，EC=EB=5cm，
∴△EBC是等边三角形，
∴BC=EC=5cm，∠ECB=∠EBC=60°，
∴∠PCO=∠OBF=180°−60°=120°，
∵OC=4cm，
∴OB=BC−OC=5−4=1(cm)，
由旋转得PO=OF，∠POF=120°，
∴∠POC=180°−∠POF−∠BOF=60°−∠BOF，∠OFB=180°−∠OBF−∠BOF=60°−∠BOF，
∴∠POC=∠OFB，
在△PCO和△OBF中，
∠PCO=∠OBF∠POC=∠OFBPO=OF，
∴△PCO≌△OBF(AAS)，
∴PC=OB=1，
∴EP=EC+PC=5+1=6(cm)，
∴2t=6，
解得t=3，
∴点P运动的时间为3s．
【解析】(1)由∠AEC=∠CDB=∠ACB=90°，得∠CAE=∠BCD=90°−∠ACE，而AC=CB，即可根据“AAS”证明△AEC≌△CDB，得AE=CD；
(2)作B′G⊥AC于点G，则∠B′GA=∠ACB=90°，由旋转得∠BAB′=90°，B′A=AB，则∠AB′G=∠BAC=90°−∠CAB′，即可根据“AAS”证明△B′AG≌△ABC，则B′G=AC=4，所以S△AB′C=12AC⋅B′G=8；
(3)当点F恰好在射线EB上，设点P运动的时间为t s，由∠E=60°，EC=EB=5cm，证明△EBC是等边三角形，则BC=EC=5cm，∠ECB=∠EBC=60°，所以∠PCO=∠OBF=120°，由旋转得PO=OF，∠POF=120°，可证明∠POC=∠OFB=60°−∠BOF，即可根据“AAS”证明△PCO≌△OBF，则PC=OB=1cm，所以EP=6cm，则2t=6，求得t=3，则点P运动的时间为3s．
此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的面积公式、动点问题的求解等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．