2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省淮安市盱眙县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列倡导节约的图案中是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是( )
A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、
3.如图，，下列条件中，不能判定≌的是( )
A.
B.
C.
D.
4.等腰三角形的底角为，则这个等腰三角形的顶角为( )
A. B. C. D. 或
5.在中，，，，则该三角形为( )
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
6.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图，一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是( )
A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
B. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确
7.如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
8.已知中，，，是边的中点，点、分别在、边上运动，且保持连接、、得到下列结论：是等腰直角三角形；面积的最大值是；的最小值是其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若一个等腰三角形的两边长分别为和，则这个等腰三角形周长为______ ．
10.已知≌，，，则 ______
11.如图，要为一段高米，长米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯______米．
12.已知：如图，，只需补充条件______ ，就可以根据“”得到≌．
13.如图，是的角平分线，于点，于点若的面积为，，，则的为______ ．
14.如图，在中，、的角平分线交于点，过点，且，分别交、于点、若，，则______．
15.如图，在长方形中，将沿对折至位置，与交于点，如果，，则______．
16.如图，在中，，，，是的平分线．若，分别是和上的动点，则的最小值是______．
三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，、分别是、边上的中点，且求证：．
18.本小题分
在边长为个单位长度的小正方形网格中，给出了顶点是网格线的交点．
的面积为______ ；
在直线上找一点，使点到边、的距离相等；
画出关于直线对称的图形．
19.本小题分
如图，中，，，是腰的垂直平分线，求的度数．
20.本小题分
如图，点、、、在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，求证：．
21.本小题分
如图，在中，是中点，，垂足为若，求的度数．
22.本小题分
如图，已知某开发区有一块四边形空地现计划在该空地上种植草皮，经测量，，，，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
23.本小题分
如图，在中，，，于，于．
求证：≌．
，，求的长度．
24.本小题分
如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点，交于点，连接．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，，求线段的长．
25.本小题分
问题：如图，在等边中，点在上，点在的延长线上，，回答下列问题：
与相等的线段是______ ；
请证明中得到的结论．
26.本小题分
如图，在等边中，线段为边上的中线，动点在直线点与点重合除外上时，以为一边且在的下方作等边，连接．
判断与是否相等，请说明理由；
如图，若，点、两点在直线上且，试求的长；
在第小题的条件下，当点在线段的延长线或反向延长线上时．判断的长是否为定值，若是，请直接写出的长；若不是，请简单说明理由．
27.本小题分
自定义：在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，又平分该图形的周长，我们称这条直线为这个图形的“等分积周线”．
如图，已知，，过点能否画出的一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法，若不能，请说明理由．
如图，在四边形中，，垂直平分，垂足为，交于点，已知，，求证：直线为四边形的“等分积周线”；
如图，在中，，，请你作出的一条“等分积周线”要求：直线不过的顶点，交边于点，交边于点，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形定义．
2.【答案】
解：、，能构成直角三角形；
B、，不能构成直角三角形；
C、，不能构成直角三角形；
D、，不能构成直角三角形．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
3.【答案】
解：、，，再加上公共边，不能判定≌，故此选项符合题意；
B、，，再加上公共边，可利用判定≌，故此选项不合题意；
C、，，再加上公共边，能利用判定≌，故此选项不合题意；
D、，，再加上公共边，能利用判定≌，故此选项不合题意；
故选：．
利用全等三角形的判定定理：、、、、进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4.【答案】
解：因为三角形为等腰三角形，且底角为，
所以顶角．
故选：．
等腰三角形中，给出了底角为，可以结合等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，等腰三角形中只要知道一个角，就可求出另外两个角，这种方法经常用到，要熟练掌握．
5.【答案】
【解析】【分析】
根据勾股定理的逆定理解答即可．
此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出直角三角形的判定．
【解答】
解：在中，，，，
，
是直角三角形，
故选：．
6.【答案】
解：如图，过点作于点，于点．
直尺的宽度相等，
，
，，
平分．
故选：．
如图，过点作于点，于点利用角平分线的判定定理解决问题即可．
本题考查角平分线的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：根据三边分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意；
．，，，无法确定三角形的形状，故此选项符合题意；
根据两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，三角形形状确定，故此选项不合题意，
故选：．
8.【答案】
解：是等腰直角三角形，
，；
，
≌；
，；
，
，
是等腰直角三角形．故此选项正确；
由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小；
即当时，最小，此时．
故此选项错误；
≌，
，
．
当面积最大时，此时的面积最小，
，，
，
，
此时故此选项正确；
故正确的有，
故选：．
由定理可证和全等，从而可证，所以是等腰直角三角形；
是等腰直角三角形，，当与垂直，即最小时，取最小值，
根据两三角形全等时面积也相等得：，利用割补法知：，当面积最大时，此时的面积最小，计算，代入即可．
本题是三角形的综合题，难度适中，此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键，在第问中，由的最值来确定的最值，这在讨论最值问题中经常运用，要熟练掌握．
9.【答案】
解：当腰长为时，，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为时，符合三边关系，其周长为，
故该三角形的周长为．
故答案为：．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答是解题的关键．
10.【答案】
解：≌，，
，
在中，，
故答案为：．
根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
11.【答案】
解：根据勾股定理，楼梯水平长度为米，
则红地毯至少要米长，
故答案为：．
地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可．
本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．
12.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、根据的判定方法可得出答案．
【解答】
解：补充条件．
理由：在和中，
，
≌．
故答案为：．
13.【答案】
解：是的角平分线，于点，于点，
，
设，则，
，
，解得，
即的长为．
故答案为．
先根据角平分线的性质得到，设，则，利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了角平分线的性质定理的逆定理．
14.【答案】
解：、的平分线相交于点，
，，
，，，
，，
，，
，即，
，，
，
故答案为．
只要证明即可解决问题；
此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明，是等腰三角形．
15.【答案】
解：，
，
由翻转变换的性质可知，，
，
，
在中，，即，
，
故答案为：．
根据矩形的性质得到，根据翻转变换的性质得到，得到，证明，根据勾股定理计算即可．
本题考查了翻转变换，矩形的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
16.【答案】
解：如图，过点作交于点，交于点，过点作于点，
是的平分线．
，这时有最小值，即的长度，
，，，
，
，
．
故答案为：．
过点作交于点，交于点，过点作于点，由是的平分线．得出，这时有最小值，即的长度，运用勾股定理求出，再运用
，得出的值，即的最小值．
本题解题的关键是找出满足有最小值时点和的位置．
17.【答案】证明：，、分别是、边上的中点，
，
在和中，
≌，
．
【解析】根据已知条件可以证出，再加上条件，可利用证明≌，再根据全等三角形对应角相等可得结论．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18.【答案】
解：的面积为，
故答案为：；
如图所示，点即为所求；
如图所示，即为所求．
利用割补法求解可得；
作的平分线，与直线的交点即为所求；
先作出、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接即可．
本题主要考查作图轴对称变换和平移变换
19.【答案】解：，，
，
又垂直且平分，
，
，
．
即的度数是．
【解析】【试题解析】
已知，可得，再由线段垂直平分线的性质可求出，易求．
本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
20.【答案】证明：，
，
在和中
≌，
，
．
【解析】根据已知条件得出≌，即可得出，再根据内错角相等两直线平行，即可证明．
本题考查了两直线平行的判定方法，内错角相等，两直线平行，难度适中．
21.【答案】解：连接，如图，

在与中，
，
≌，
，
是中点，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据证明与全等，得，再证明，得，利用三角形内角和解答即可．
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：连接，如图：
在中，，
在中，，，
，
，
是直角三角形，，
，
每平方米草皮需元，
在该空地上种植草皮共需费用为：元．
【解析】连接，由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理证是直角三角形，，然后求出，即可求解．
本题考查了勾股定理的应用以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明为直角三角形是解题的关键．
23.【答案】证明：，，
，
同角的余角相等，
在与中
≌；
解：由知，≌，
则，．
，
，
即的长度是．
【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法即、、、和和全等三角形的性质即全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
结合条件利用直角三角形的性质可得，利用和证得全等；
由全等三角形的性质可求得，，利用线段的和差可求得的长度．
24.【答案】解：，
理由如下：，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
，
；
连接，设，则，，
，
，
，
解得：，
则．
【解析】连接，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论；
连接，设，则，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线解题的关键．
25.【答案】
解：与相等的相等是，
故答案为：；
证明：如图所示：过点作，交与点，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
．
过点作，交与点，根据平行线的性质和已知条件证明≌，从而得出结论；
过点作，交与点，利用已知条件证明是等边三角形，得到，再根据平行线的性质证明，，由已知条件，从而证明≌，证明结论即可．
本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定与全等三角形的性质和判定．
26.【答案】解：理由如下：
，都是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，过点作于点，
，
，
是等边三角形，是中线，
，，
全等三角形对应边上的高相等，
，
，
；
的长为定值．
解：见答案；
点在线段的延长线或反向延长线上时，和全等，
对应边、上的高线对应相等，
是定值，
的长是定值．
根据等边三角形的性质可得，，再求出，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质可得，，根据全等三角形对应边上的高线相等可得，然后利用勾股定理列式求出的长度，从而得解；
根据的结论，点到的距离等于的长度，是定值，所以，的长是定值不变．
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，根据全等三角形对应边上的高线相等求出点到的距离等于是解题的关键．
27.【答案】解：不能，
理由：如答图，若直线平分的面积，那么，
，
，
，
过点不能画出一条“等分积周线”
如答图，连接、，设，
垂直平分，，，，
，，，，
和中，根据勾股定理可得出：
，即，
解得：，所以，，
，
，
，
，
，
，
直线为四边形的“等分积周线”；
如答图，在上取一点，使得，在上取一点，使得，
作直线，则是的等分积周线，
理由：由作图可得：，在上取一点，使得，则有，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又易得，
，
，
，
是的等分积周线，
若如答图，当，时，直线也是的等分积周线．其实是同一条，
另外本问的说理也可以通过作高，进行相关计算说明．
【解析】若直线平分的面积，那么，得出，进而得出答案；
根据勾股定理可得出：，进而得出，，进而得出周长与面积分别相等得出答案即可；
在上取一点，使得，在上取一点，使得，作直线，则是的等分积周线，结合全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了三角形综合题，需要掌握应用与设计作图和全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，根据题意正确分割图形是解题关键．