数学2.4 圆的方程优秀测试题

这是一份数学2.4 圆的方程优秀测试题，文件包含人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题211圆的方程-重难点题型精讲教师版doc、人教A版高中数学选择性必修一同步培优讲义专题211圆的方程-重难点题型精讲原卷版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共24页， 欢迎下载使用。


1．圆的定义
圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆(定点为圆心,定长为半径).
圆心决定圆的位置,半径决定圆的大小.
2．圆的标准方程
(1)圆的标准方程：方程 SKIPIF 1 < 0 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.
(2)圆的标准方程的优点：根据圆的标准方程很容易确定圆心坐标和半径.
(3)圆的标准方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的标准方程中含有三个字母(待定)，因此
在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的标准方程.
3．圆的一般方程
(1)方程 SKIPIF 1 < 0 叫做圆的一般方程.
(2)圆的一般方程的适用条件：从方程的形式可以知道，一个圆的一般方程中含有三个字母(待定)，因
此在一般条件下，只要已知三个独立的条件，就可以求解圆的一般方程.
下列情况比较适用圆的一般方程：
①已知圆上三点，将三点坐标代入圆的一般方程，求待定系数D，E，F；
②已知圆上两点，圆心所在的直线，将两个点代入圆的方程，将圆心 SKIPIF 1 < 0 代入圆心所在的直线
方程，求待定系数D，E，F.
4．二元二次方程与圆的方程
(1)二元二次方程与圆的方程的关系：
二元二次方程 SKIPIF 1 < 0 ，对比圆的一般方程 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，我们可以看出圆的一般方程是一个二元二次方程，但一个二元二次方程不一定是圆的方程.
(2)二元二次方程表示圆的条件：
二元二次方程 SKIPIF 1 < 0 表示圆的条件是 SKIPIF 1 < 0
5．点与圆的位置关系
(1)如图所示，点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
(2)圆A的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ；圆A的一般方程为
SKIPIF 1 < 0 .平面内一点 SKIPIF 1 < 0 .
6．与圆有关的对称问题
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称.
(2)圆关于点对称
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(3)圆关于直线对称
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
7．与圆有关的最值问题
(1)与圆的代数结构有关的最值问题
①形如t= SKIPIF 1 < 0 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如t= SKIPIF 1 < 0 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.
(2)与圆的几何性质有关的最值问题
①记C为圆心，r为圆的半径，则圆外一点A到圆上距离的最小值为|AC|-r，最大值为|AC|+r；
②过圆内一点的最长弦为圆的直径，最短弦是以该点为中点的弦；
③记圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d+r，最
小距离为d-r；
④过两定点的所有圆中，面积最小的圆是以这两个定点为直径端点的圆.
【题型1 圆的方程的求法】
【方法点拨】
(1)圆的标准方程的求法
①直接代入法：已知圆心坐标和半径大小，直接代入求圆的标准方程.​​​​​​​
②待定系数法：圆的标准方程中含有三个参变量，必须具备三个独立的条件才能确定出圆的方程.当已知曲
线为圆时，一般用待定系数法，即列出关于a,b,r的方程组，求出a,b,r.
(2)圆的一般方程的求法
待定系数法：①设：根据题意设出圆的一般方程 SKIPIF 1 < 0 ；
②列：根据已知条件，建立关于D,E,F的方程组；③解：解方程组，求出D,E,F的值.
【例1】（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-1】（2022·江苏省高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 二元二次方程表示圆的条件】
【方法点拨】
判断一个二元二次方程 SKIPIF 1 < 0 是否表示圆，可以从以下几个方面入手：①看
系数： SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的系数应相等；②看形式：表达式中不应含有xy项；③在比较： SKIPIF 1 < 0 要大于0.
【例2】（2022·江苏·高二课时练习）设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【变式2-1】（2022·江苏·高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-2】（2022·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-3】（2022·内蒙古·高一期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型3 点与圆的位置关系】
【方法点拨】
点M与圆A有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外.
根据具体条件，可以通过几何法或代数法进行判断.
【例3】（2022·四川省高二阶段练习（理））点P(m，3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为（ ）
A．点在圆外B．点在圆内C．点在圆上D．与m的值有关
【变式3-1】（2021·全国·高二课前预习）两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
【变式3-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式3-3】（2022·江苏·高二课时练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【题型4 圆有关的轨迹问题】
【方法点拨】
求曲线的轨迹方程，常用以下几种方法：直接法、代入法、定义法等.
①“轨迹”与“轨迹方程”有区别，“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方
程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
②求动点的轨迹往往先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时需要先由
条件判断轨迹图形，再由图形求方程.
【例4】（2022·全国·高二课时练习）已知点，，则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-1】（2021·全国·高二课时练习）已知A（3，3），点B是圆x2+y2＝1上的动点，点M是线段AB上靠近A的三等分点，则点M的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
【变式4-3】（2022·江苏·高二课时练习）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【题型5 与圆有关的对称问题】
【方法点拨】
(1)圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点.
(2)圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置.
②若两圆关于某直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
【例5】（2021·全国·高二课时练习）圆关于原点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-1】（2022·江苏·高二课时练习）若圆与圆C关于直线对称，则圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2021·全国·高二课时练习）圆关于点对称的圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式5-3】（2021·广东·高二阶段练习）若圆和圆关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【题型6 与圆有关的最值问题】
【方法点拨】
与圆有关的最值问题主要有两类：①与圆的代数结构有关的最值问题；②与圆的几何性质有关的最值问题；
解题时，根据具体题目分析是哪类最值问题，再进行求解即可.
【例6】（2022·山西·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，已知，为圆上两动点，点，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2022·河南·高二阶段练习）若x，y满足，则的最小值是（ ）
A．5B．C．D．无法确定
【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点在过点且与直线垂直的直线上，则圆：上的点到点的轨迹的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．5D．
【变式6-3】（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．