2023-2024学年上海市静安区田家炳中学八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市静安区田家炳中学八年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各函数中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=x3B. y=2x2C. y=x−1D. y=1x
2.下列三角形中，非直角三角形的是( )
A. 三边分别为11， 60， 61B. 有一边的中线等于这边的一半
C. 三个内角之比为1：2：3D. 三边之比为1: 2: 2
3.已知正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象在同一坐标系内没有公共点，则a与b的关系一定是( )
A. 同号B. 异号C. 互为相反数D. 互为倒数
4.如图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，面积分别是S1，S2，S3，则它们之间的关系是( )
A. S1−S2=S3B. S1+S2=S3C. S2+S35.如图，反比例函数y=kx(k<0)，点M是它在第二象限内的图象上一点，MP垂直x轴于点P，如果△OMP的面积为1，那么k的值是( )
A. 1
B. −1
C. 2
D. −2
6.如果一次函数y=kx+(k−1)的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是( )
A. k>0B. k<0C. 01
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.已知函数y=(1−m)xm2是正比例函数，则m=______.
8.若直线y=kx+b与直线y=−3x−5平行，在y轴上的截距为5，则一次函数的解析式为______.
9.函数y=f(−4)=−2x+b=−5，则f(0)=______.
10.如果直线y=2x+a不经过第二象限，那么实数a的取值范围是______.
11.函数y=ax+b的图象，如图所示与x轴的交点坐标为(2,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)，若0≤x≤2时，则y的取值范围是______.
12.如图，∠A=52∘，O是AB、AC的垂直平分线的交点，那么∠OCB=______.
13.经过点D，且半径等于3cm的圆的圆心的轨迹是______.
14.等腰三角形的顶角为150度，腰长为8cm，则腰上的高为______cm.
15.如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行______米．
16.已知三角形的三边长为1、2、 3，则它的最小角为______度.
17.一架长2.5m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距墙底端0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将滑动了______m.
18.如图，在等边△ABC的三边上各取一点M、N、P，且有MN⊥AC，NP⊥AB，PM⊥BC，AB=18cm，则△MNP的周长为______cm.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
直线y=kx+b过点A(−1,5)且平行于y=−x.
(1)求这条直线的解析式.
(2)若点B(m,−5)在这条直线上，O为坐标原点，求m的值.
20.(本小题8分)
一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于A，B两点，AC⊥x轴，垂足为C，已知点A的坐标为(−1,2)，求：
(1)这个正、反比例函数的解析式.
(2)△ABC的面积.
21.(本小题8分)
如图所示，已知△ABC中，∠C=90∘，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，若AC=6，MB=2MC.求AB的长.
22.(本小题8分)
已知：如图△ABC是等边三角形，M，N分别在AC，BC上，且AM=CN，BM，AN交于点E，BD⊥AN于D.求证：
(1)△ANC≌△BMA；
(2)BE=2DE.
23.(本小题8分)
如图，点P是一个反比例函数与正比例函数y=−2x的图象的交点，PQ垂直于x轴，垂足Q的坐标为(2,0).
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)如果点M在这个反比例函数的图象上，且△MPQ的面积为8，求点M的坐标．
24.(本小题8分)
某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了以下每月每户用水的收费标准：
(1)用水量不超过80立方米时，每立方米收费1元，并加收每立方米1元的污水处理费；
(2)用水量超过80立方米时，在(1)的基础上，超过80立方米的部分，每立方米收费1.5元，并加收每立方米1.5元的污水处理费.
设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费y元.
(1)请分别对(1)、(2)两种情况，写出y关于x的函数关系式；指出函数的定义域.
(2)若小李家4月共支付水费220元，求小李家4月用水量.
25.(本小题9分)
如图所示，点A(4,3)在函数y=kx(k≠0)图象的第一象限内的分支上.
(1)求函数y=kx的解析式；
(2)在x轴上是否存在点P，使△OAP为直角三角形？若存在，求P点的坐标.
26.(本小题9分)
如图，Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=AC=2，点D是BC边的中点，点E是AB边上的一个动点(不与A、B重合)，DF⊥DE交AC于F.设BE=x，FC=y.
(1)求证：DE=DF.
(2)写出y关于x的函数关系式，并写出x的定义域．
(3)写出x为何值时，EF//BC？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、y=x3，是正比例函数，故A符合题意；
B、y=2x2，是二次函数，故B不符合题意；
C、y=x−1，是一次函数但不是正比例函数，故C不符合题意；
D、y=1x，是反比例函数，故D不符合题意；
故选：A.
根据正比例函数的定义：形如y=kx(k为常数且k≠0)的函数是正比例函数，逐一判断即可解答．
本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵112=( 60)2+( 61)2，
∴该三角形是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、三角形一边上的中线等于这边的一半，则三角形是直角三角形，故选项B不符合题意；
C、∵三个内角之比为1：2：3，
∴设一个内角为x，则另两个内角为2x、3x，
∴x+2x+3x=180∘，
解得：x=30∘，
∴3x=90∘，
∴该三角形是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、∵三边之比为1： 2： 2，
∴设三边分别为x、 2x、 2x，
∵x2+( 2x)2=3x2≠( 2x)2，
∴该三角形不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D.
由勾股定理的逆定理和直角三角形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理、直角三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的判定方法是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象在同一坐标系内没有公共点，
∴y=axy=bx无解，
∴ax=bx，
∴x2=ba，
当ba<0时，x2=ba无实数解，
∴当a、b异号时，正比例函数y=ax与反比例函数y=bx的图象在同一坐标系内没有公共点．
故选：B.
根据题意方程组y=axy=bx无解，消去y可得到x2=ba，由于x2=ba无实数解，所以a与b异号．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：把求反比例函数与一次函数的交点坐标问题转化为解两个函数关系式成成的方程组是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c.
则S1= 34b2，S2= 34a2，S3= 34c2.
又a2+b2=c2，
则S1+S2=S3.
故选：B.
根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的 34倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．
本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．
5.【答案】D
【解析】解：由题意，∵点M是反比例函数y=kx(k<0)的图象上一点，MP垂直x轴于点P，△OMP的面积为1，
∴|k|=2×1=2.
∵k<0，
∴k=−2.
故选：D.
依据题意，先根据△OMP的面积为1可求出|k|的值，再根据k<0即可得出k的值，故可得出反比例函数解析式．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
6.【答案】C
【解析】解：如果一次函数y=kx+(k−1)的图象经过第一、三、四象限，
则k>0k−1<0，
解得0故选：C.
根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
一次函数y=kx+b的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b的关系如下：
①k>0时，y随x的增大而增大．这时，若b>0，则直线经过一、二、三象限；若b<0，则直线经过一、三、四象限；若b=0，直线经过一、三象限和原点(此为正比例函数的图象)；
②k<0时，y随x的增大而减小．这时，若b>0，则直线经过一、二、四象限；若b<0，则直线经过二、三、四象限；若b=0，直线经过二、四象限和原点(此为正比例函数的图象).
7.【答案】−1
【解析】解：根据题意可得：m2=11−m≠0，
解得：m=−1.
故答案为：−1.
根据正比例函数比例系数和指数的知识列出方程与不等式，即可求出m的值．
本题主要考查了正比例函数的定义，难度不大，根据正比例函数系数不为零，自变量指数为1列出方程组是解答的关键．
8.【答案】y=−3x+5
【解析】解：∵直线y=kx+b与直线y=−3x−5平行，
∴k=−3，
∵直线y=kx+b在y轴上的截距为5，
∴b=5，
∴直线的函数关系式为：y=−3x+5.
故答案为：y=−3x+5.
由一次函数关系式中，k的值相同(b的值不同)时，函数图象为互相平行的直线，可知k=−3，由在y轴上的截距为5，得b=5，即可求解．
本题考查了一次函数中两直线平行的问题，了解一次函数图象的位置与系数的关系是解题关键．
9.【答案】−13
【解析】解：将x=−4代入−2x+b=−5，
得8+b=−5，解得b=−13，
∴y=−2x−13.
∴当x=0时，f(0)=−13.
故答案为：−13.
将x=−4代入−2x+b=−5，求出b的值，从而求出函数的表达式；将x=0代入这个函数，求出函数值即可．
本题考查函数值，理解函数的这种表示方法是解题的关键．
10.【答案】a≤0
【解析】解：已知直线y=2x+a不经过第二象限，
即函数在y轴上的截距为非正数，即a≤0.
故答案为：a≤0.
由已知条件知，该函数为一次递增函数，且函数不过第二象限，故该函数在y轴上的截距为非正数，即a≤0.
此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，结合坐标系以及函数的图象理解函数的性质是解答本题的关键．
11.【答案】0≤y≤3
【解析】解：∵函数y=ax+b的图象，与x轴的交点坐标为(2,0)，与y轴的交点坐标为(0,3)，
∴0≤x≤2时，则y的取值范围是0≤y≤3.
故答案为：0≤y≤3.
根据一次函数与不等式的关系即可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数与不等式的关系是关键．
12.【答案】38∘
【解析】解：∵O是AB、AC的垂直平分线的交点，
∴点O是△ABC的外心．
如图，连接OB.
则∠BOC=2∠A=104∘.
又∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=(180∘−∠BOC)÷2=38∘，
故答案为：38∘.
根据题意确定点O是△ABC的外心，所以连接OB.利用圆周角定理可知∠BOC=2∠A，然后等腰△BOC的性质和三角形内角和定理来求∠OCB的度数即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质．解答该题的技巧性在于利用线段垂直平分线的性质找到三角形外接圆的圆心，利用圆周角定理、三角形内角和定理将所求的角与已知角的数量关系联系起来．
13.【答案】以点D为圆心，3cm长为半径的圆
【解析】解：所求圆心的轨迹，就是到D点的距离等于3厘米的点的集合，因此应该是一个以点D为圆心，3cm为半径的圆，
故答案为：以点D为圆心，3cm为半径的圆．
求圆心的轨迹实际上是求距D点3厘米能画一个什么图形．
此题考查了轨迹，就是到顶点的距离等于定长的点的集合，因此应该是一个圆．
14.【答案】4
【解析】解：如图，∵顶角为150∘，
∴∠CAD=180∘−150∘=30∘，
∴腰上的高CD=12AC=12×8=4(cm).
故答案为：4.
作出图形，根据邻补角的定义求出∠CAD=30∘，再根据直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形30∘角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观．
15.【答案】10
【解析】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD.
在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8−2=6米．
根据勾股定理得BD=10米．
从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．
注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．
16.【答案】30
【解析】解：∵12+( 3)2=22，
∴此三角形是直角三角形，2是斜边，
∵直角三角形的斜边等于一个直角边的一半，
∴它的最小角为30∘.
故答案为：30.
先根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再由直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
17.【答案】0.8
【解析】解：如图AC=EF=2.5米，BC=0.7米，AE=0.4，求CF的长．
在Rt△ABC中，
∵AC=2.5，BC=0.7，
∴AB=2.4，
∵AE=0.4，
∴BE=2，
∵EF=2.5，
∴BF=1.5，
∵BC=0.7，
∴CF=0.8.
即梯子底端将滑动了0.8米．
根据题意画出图形，将问题转化为直角三角形问题利用勾股定理解答．
此题主要考查学生利用勾股定理角实际问题的能力，注意做题时要先弄清题意．
18.【答案】18 3
【解析】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=18cm，∠B=∠C=∠A=60∘，
∵MN⊥AC，PM⊥BC，
∴∠BMP=∠MNC=90∘，
∴∠CMN=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴∠PMN=180∘−∠BMP−∠CMN=60∘，CN=12CM，
同理∠PNM=60∘，
∴△MNP是等边三角形，
∴PM=MN=PN，
在△BPM和△CMN中，
∠B=∠C∠BMP=∠CNMPM=MN，
∴△BPM≌△CMN(AAS)，
∴BM=CN，
∴BM=12CM，
∵BC=BM+CM=18cm，
∴BM=CN=6cm，CM=12cm，
∴MN= CM2−CN2=6 3cm，
∴△MNP的周长=6 3×3=18 3(cm)，
故答案为：18 3.
根据等边三角形的性质推出△MNP是等边三角形，根据直角三角形的性质求出CN=12CM，利用AAS证明△BPM≌△CMN，根据全等三角形的性质及勾股定理求出MN=6 3cm，据此求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)由题意得：y=−x+b，
∵直线y=kx+b过点A(−1,5)，
∴5=1+b，
∴b=4，
∴y=−x+4；
(2)∵B(m,−5)在直线y=−x+4上，
∴−5=−m+4，
∴m=9.
【解析】(1)由于平行于直线y=−x，所以所求直线的k=−1，又直线经过A(−1,5)，代入y=kx+b即可求出直线的解析式；
(2)由于点B(m,−5)在这条直线上，直接把坐标代入(1)中解析式即可求出m的值．
本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式的方法．
20.【答案】解：(1)设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数解析式为y=kx，
把A(−1,2)分别代入得2=−a，k=−1×2=−2，
解得a=−2，
∴正比例函数的解析式为y=−2x，反比例函数解析式为y=−2x；
(2)∵一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象相交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B(1,−2)，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴C(−1,0)，
∴△ABC的面积=S△OAC+S△OBC=12×1×2+12×1×2=2.
【解析】(1)设正比例函数的解析式为y=ax，反比例函数解析式为y=kx，然后把点A的坐标分别代入求出a和k即可；
(2)利用正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，则B(1,−2)，然后根据三角形面积公式，利用△ABC的面积=S△OAC+S△OBC进行计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
21.【答案】解：连接AM，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵MB=2MC，
设CM=x，则AM=2x，
在Rt△ABC中，∠C=90∘，AM2=CM2+AC2，
∴(2x)2=x2+62，
解得：x=2 3，
∴CM=2 3，AM=BM=4 3，
∴BC=CM+BM=6 3，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2=12.
【解析】首先连接AM，由MN是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AM=BM，又由MB=2MC，可设CM=x，则AM=2x，然后由△ABC中，∠C=90∘，AC=8，由勾股定理即可求得方程，解此方程即可求得CM的长，继而求得AB的长．
此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用是关键．
22.【答案】证明：(1)∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAM=∠C=60∘，AB=AC，
在△ANC和△BMA中，
AC=AB ∠C=∠BAM CN=AM ，
∴△ANC≌△BMA(SAS)；
(2)∵△ANC≌△BMA，
∴∠CAN=∠ABM，
∴∠BED=∠ABM+∠BAN=∠CAN+∠BAN=∠BAC=60∘，
∵BD⊥AN，
∴∠BED+∠DBE=90∘，
∴∠DBE=30∘，
∴BE=2DE.
【解析】(1)根据等边三角形的性质得出∠BAM=∠C=60∘，AB=AC，利用SAS即可证明△ANC≌△BMA；
(2)根据全等三角形的性质及三角形外角性质求出∠BED=60∘，根据直角三角形的性质求出∠DBE=30∘，再根据含30∘角的直角三角形的性质求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)把x=2代入y=−2x得y=−4
∴P(2,−4)，
设反比例函数解析式y=kx(k≠0)，
∵P在此图象上，
∴k=2×(−4)=−8，
∴反比例函数解析式为y=−8x.
(2)∵P(2,−4)，Q(2,0)，
∴PQ=4，过M作MN⊥PQ于N.
则12⋅PQ⋅MN=8，
∴MN=4，
设M(x,−8x)，
则x=2+4=6或x=2−4=−2，
当x=6时，y=−86=−43，
当x=−2时，y=−8−2=4，
∴M(6,−43)或(−2,4).
【解析】(1)由Q(2,0)，推出P(2,−4)，利用待定系数法即可解决问题；
(2)根据三角形的面积公式求出MN的长，分两种情形求出点M的坐标即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，所以中考常考题型．
24.【答案】解：(1)情况(1)：y=x+x，即y=2x(0情况(2)：y=80×2+(x−80)×(1.5+1.5)，
即所求的函数解析式为y=3x−80(x>80)；
(2)小李家4月共支付水费220元，说明小李家4月用水量已超过80立方米，
则3x−80=220，
解得x=100.
答：小李家4月用水量为100立方米．
【解析】(1)由题意列出y关于x的函数解析式，根据限制条件写出函数定义域．
(2)由交费可知说明该户用水量已超过8立方米，把数值代入函数关系式．
本题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，根据x>80得出水费应有两部分组成是解题关键．
25.【答案】解：(1)将点A的坐标代入函数表达式得：k=3×4=12，
则函数的表达式为：y=12x；
(2)设点P(x,0)，
由点A、O、P的坐标得，AO2=25，OP2=x2，AP2=(x−4)2+9，
当OA是斜边时，
则25=x2+(x−4)2+9，
解得：x=0(舍去)或4，
即点P(4,0)；
当OP是斜边或AP斜边时，
同理可得：x2+(x−4)2+9=25或25+x2=(x−4)2+9，
解得：x=0(舍去)或254，
即点P的坐标为：(254,0)；
综上，点P的坐标为：(4,0)或(254,0).
【解析】(1)将点A的坐标代入函数表达式，即可求解；
(2)当OA是斜边时，列出等式，即可求解；当OP是斜边或AP斜边时，同理可解．
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、函数表达式的求法，分类求解是解题的关键．
26.【答案】解：(1)过D作DH⊥AB交AB于H，DN⊥AC交AC于N.
∵∠A=90∘，点D是BC边的中点，
∴DN//AB，DN=12AB，DH//AC，DH=12AC，
∵AB=AC=2，
∴DH=DN=1，
∴∠NDH=90∘，
∵∠NDF+∠NDE=90∘，∠NDE+EDH=90∘，
∴∠EDH=∠FDN，
在△EDH与△FDN中，
∠EDH=∠FDNDH=DN∠EHD=∠FND，
∴△EDH≌△FDN(ASA)，
∴DE=DF；
(2)∵△EDH≌△FDN，
∴HE=NF，
∴x−12AB=12AC−y，即y=2−x，
∵E是AB边上的一个动点(不与A、B重合)，
∴0(3)连接HN，当E与H重合时，EF//BC，
∵此时x=BH=1，AF=AC−CF=2−(2−1)=1，
∴EF为△ABC的中位线，则EF//BC，
故当x=1时，EF//BC.
【解析】(1)过D作DH⊥AB交AB于H，DN⊥AC交AC于N.根据三角形中位线的性质可得DH=DN，根据余角的性质可得∠EDH=∠FDN，根据ASA可证△EDH≌△FDN，根据全等三角形的性质即可证明DE=DF；
(2)根据全等三角形的性质可得HE=NF，从而得到y关于x的函数关系式，以及x的定义域；
(3)连接HN，根据三角形中位线的性质可得x为1时，EF//BC.
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明△EDH≌△FDN是关键．