24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：概率统计

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：概率统计，共21页。试卷主要包含了重伯努利试验的概念，重伯努利试验具有如下共同特征，二项分布，一般地，可以证明等内容，欢迎下载使用。
一.分类加法计数原理和分步乘法计数原理
二.常见的一些排列问题及其解决方法
三.分组分配问题
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；
③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．
四.二项式定理
（1）一般地，对于任意正整数，都有：
，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（2）两个常用的二项展开式：
①（）
②
（3）二项式系数的性质（杨辉三角形）
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
⑥求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
（4）二项式系数和的计算与赋值
五．二项分布
1．重伯努利试验的概念
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验．
2．重伯努利试验具有如下共同特征
（1）同一个伯努利试验重复做次；
（2）各次试验的结果相互独立．
3．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作
4．一般地，可以证明：如果，那么.
六．超几何分布
超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.
其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．
2．超几何分布的期望
E(X)＝eq \f(nM,N)＝np(p为N件产品的次品率)．
七．二项分布与超几何分布的区别
1.看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要的题眼“将频率视为概率”.
2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.
3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果或，一般考查二项分布.
4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数再确定.
5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.
6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出现“先抽，再抽”的题干信息.
3．二项分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件发生的次数，则的分布列为：，如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作
4．一般地，可以证明：如果，那么.
八. 二项分布的两类最值
（1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题.
.
分析：当时，，随值的增加而增加；当时，
，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值.
注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大.
（2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题，
这可以用导数求函数最值与最值点.
分析：
当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值.
九．复杂概率计算
（1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例如：表示“第局比赛胜利”，则表示“第局比赛失败”.
（2）理解事件中常见词语的含义：
A,B中至少有一个发生的事件为A∪B；A,B都发生的事件为AB；A,B都不发生的事件为eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))；A,B恰有一个发生的事件为Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B；A,B至多一个发生的事件为Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)).
善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用解出所求事件概率.
十．条件概率
1.条件概率定义
一般地，设为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
可以看到，的计算，亦可理解为在样本空间中，计算的概率. 于是就得到计算条件概率的第二种途，即
特别地，当时，即相互独立，则.
2．条件概率的性质
设，全样本空间定义为，则
（1）；
（2）如果与是两个互斥事件，则；
（3）设事件和互为对立事件，则．
十一．全概率公式与贝叶斯公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意的事件，有.
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
2.贝叶斯公式
设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，，且，i＝1，2，…，n，则对任意事件，，
有 ，在贝叶斯公式中，和分别称为先验概率和后验概率．
十二．一维随机游走与马尔科夫链
1.转移概率：对于有限状态集合，定义：为从状态到状态的转移概率.
2.马尔可夫链：若，即未来状态只受当前状态的影响，与之前的无关.
3.一维随机游走模型.
设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得：
另一方面，由于，代入上式可得：
.
进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.
进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得：
有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的应用.
十三．统计
1.线性回归方程与最小二乘法
（1）回归直线方程过样本点的中心，是回归直线方程最常用的一个特征
（2）我们将称为关于的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线．这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做b，a的最小二乘估计（leastsquaresestimate），其中
（3）残差的概念
对于响应变量，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差．残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析．
（4）刻画回归效果的方式
（i）残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好．
（ii）残差平方和法：残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差．
（iii）利用刻画回归效果：决定系数是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客立预报变量的能力．，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差．
二．试题汇编
1．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知离散型随机变量的分布列如下表所示.
则（ ）
A．B．C．D．
【详解】由分布列可得，
，故选：D
2．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．图中所有小长方形的面积之和等于1B．中位数的估计值介于100和105之间
C．该班成绩众数的估计值为97.5D．该班成绩的极差一定等于40
【详解】对于A，由频率分布直方图的性质可知，图中所有小长方形的面积之和等于1，即A正确；
对于B，易知组距为，前两组成绩所占的频率为，
前三组成绩所占的频率为，由中位数定义可得其估计值介于100和105之间，即B正确；
对于C，由图可知频率最高的成绩区间，取中间值为代表可知班成绩众数的估计值为97.5，即C正确；
对于D，由图可知成绩最高区间为，最低区间为，但最高分和最低分不一定分别为，所以其成绩极差不一定为40，即D错误；
故选：ABC
3．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）下列命题中错误的是（ ）
A．已知随机变量，则
B．已知随机变量，若函数为偶函数，则
C．数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是8
D．样本甲中有件样品，其方差为，样本乙中有件样品，其方差为，则由甲乙组成的总体样本的方差为
【详解】对于A，，A正确；
对于B，由函数为偶函数，则，
所以，
所以区间，关于对称，则，B正确；
对于C，，所以数据1，3，4，5，7，8，10的第80百分位数是第六个数据8，C正确；
对于D，由按分层抽样样本方差的计算公式可知选项缺少平均数的相关数据，D错误.
故选：D.
4．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【详解】对于 A， 取 , 则 ，则A正确；
对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中
所以，故B正确；
对C，取，则，则，故C错误；
对D，取，则，将其与作和得，所以，故D正确；故选：ABD.
5．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）有一组样本数据，则（ ）
A．这组样本数据的极差不小于4B．这组样本数据的平均数不小于4
C．这组样本数据的中位数不小于3D．这组样本数据的众数等于3
【详解】样本数据中，
对于A，显然这组样本数据的极差大于等于，故A正确；
对于B，若，则平均数为，故B错误；
对于C，若，则中位数为，故C错误；
对于D，若，则众数为，故D错误.
故选：A
6．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）在二项式的展开式中，的系数为___________
【详解】由二项式展开式的通项为，
令，解得，所以展开式中的系数为.故答案为：.
7．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）一次掷两枚骰子，若两枚骰子点数之和为4或5或6，则称这是一次成功试验．现进行四次试验，则恰出现一次成功试验的概率为________
【详解】一次掷两枚骰子，两枚骰子点数之和为4的情况有3种， 两枚骰子点数之和为5的情况有4种，两枚骰子点数之和为6的情况有5种，在一次试验中，出现成功试验的概率，设出现成功试验的次数为，则，所以重复做这样的试验4次，则恰出现一次成功试验的概率为， 故答案为：．
8．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）展开式中的系数为_________
【详解】设的通项为，当时，.故答案为：
9．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数：去掉的两个数据的方差为，平均数；原样本数据的方差为，平均数，若，则（ ）
A．剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
B．
C．剩下18个数据的分位数大于原样本数据的分位数
D．
【详解】设20个样本数据从小到大排列分别为，则剩下的18个样本数据为，
对于A：原样本数据的中位数为，剩下的18个样本数据的中位数为，A正确；
对于B，依题意，，，，
由，得，即，
于是，因此，即，B正确；
对于C，因为，则剩下18个数据的分位数为，
又，则原样本数据的分位数为，C错误；
对于D，因为，则，，，
于是，，
因此，即，D正确.
故选：ABD
10．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）某高中一年级有3个班级，（1）班、（2）班、（3）班的学生人数之比为.在某次数学考试中，（1）班的及格率为，（2）班的及格率为，（3）班的及格率为，从该校随机抽取一名高一学生.记事件“该学生本次数学为试及格”，事件“该学生在高一（i）班”，则（ ）
A．
B．与均不相互独立
C．
D．若从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率最大
【详解】由题意，，
，
则，故A正确；
由，则，所以与相互独立，故B错误；
因为，所以，所以，故C正确；
由题意这次高一年级数学考试中，（1）班、（2）班、（3）班学生中及格人数之比为，
所以从这次高一年级数学考试及格的学生中随机抽取一人，则该同学来自（1）班的概率为，
该同学来自（2）班的概率为，该同学来自（3）班的概率为，
所以该同学来自（3）班的概率最大，故D错误.
故选：AC
11．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）的展开式中含项的系数为_________
【详解】要得到的展开式中含有的项，分以下两种情形：
情形一：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取3个“”和1个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为；
情形二：先在第一个括号中选取“”，然后在后面四个括号中选取2个“”和2个“”，
由分步乘法计数原理可知此时“”的系数为.
综上所述：由分类加法计数原理可知的展开式中含项的系数为.故答案为：.
12．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试） .
【详解】
可得两式和的结果为82，故答案为：82
13．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）某电子器件由若干个相同的电子模块构成，每个电子模块由4个电子元件按如图所示方式联接，其中每个电子元件导通的概率均为0.9.
(1)求每个电子模块导通的概率（保留两位有效数字）；
(2)已知某电子器件由20个相同的电子模块构成，系统内不同电子模块彼此独立，是否导通互不影响，当且仅当电子器件中不低于50%的电子模块处于导通状态时，电子器件才能正常工作.若在该电子器件中再添加两个相同的电子模块，试判断新电子器件较原电子器件正常工作的概率是增加还是减小？请说明理由.
【详解】（1）该电子模块导通即电子1、4必须导通且电子2、3至少要有一个导通，
所以.
（2）设为原电子器件中导通的子模块的个数，，则新电子器件正常工作即原电子器件中至少有11个电子模块导通；或者原电子器件中恰有10个电子模块导通，且新加入的两个模块至少有一个导通；或者原电子器件中恰有9个模块导通，且新加入的两个模块导通.设事件“原电子器件中至少有10个电子模块导通”，
则，
事件“原电子器件中恰有10个模块导通，且新加入的模块至少有一个模块导通”，
则；
事件“原电子器件恰有9个模块导通，且新加入的模块两个都导通”，
则，则
，
又∵，∴
，
所以再添加个电子模块，新电子器件较原电子器件正常工作的概率增大.
14．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验.
(1)为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善列联表，并说明是否有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关；
附：，.
(2)将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为，来自乙生产的概率为），检测结果显示这袋产品中恰有4件合格品，求该袋产品由甲团队生产的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）.
【详解】（1）完善联表如下：
，
根据临界值表可知，有95%的把握认为“产品质量”与“生产团队”有关.
（2）记事件代表“一袋中有4个合格品”，事件代表“所抽取的这袋来自甲生产”，事件代表“所抽取的这袋来自乙生产”，故，,故求：
由
故.
15．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 .
【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件，
则，，，，
则，则，
故.故答案为：
16．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：
(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？
(2)现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.
（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；
（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为
附：
【详解】（1）依题意，完善列联表如下，
所以.
故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.
（2）（i）由题知，随机变量的所有可能取值为，
，
，
所以的分布列为
所以.
（ii）不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，
令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，所以，
显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有
；所以.
17．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）2023年9月8日，第19届亚运会火炬传递启动仪式在杭州西湖景区涌金公园广场成功举行．火炬传递首日传递从杭州西湖涌金公园广场出发，沿南山路—湖滨路—环城西路—北山街—西泠桥—孤山路传递，在“西湖十景”之一的平湖秋月收火．杭州亚运会火炬首日传递共有106棒火炬手参与．
(1)组委会从全省火炬手中随机抽取了100名火炬手进行信息分析，得到如下表格：
根据小概率值的独立性检验，试判断全省火炬手的性别与年龄满或未满50周岁是否有关联；
(2)在全省的火炬手中，男性占比72%，女性占比28%，且50%的男性火炬手和25%的女性火炬手喜欢观看足球比赛．某电视台随机选取一位喜欢足球比赛的火炬手做访谈，请问这位火炬手是男性的概率为多少？
【详解】（1）解：零假设为：：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），根据列联表中的数据，计算得，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认定为成立，全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）．
（2）解：设表示火炬手为男性，表示火炬手喜欢足球，
则，
所以这位火炬手是男性的概率约为．
18．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）2023年9月23日第19届亚运会在杭州开幕，本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目.为研究不同性别学生对杭州亚运会项目的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，设事件“了解亚运会项目”，“学生为女生”，据统计，
(1)根据已知条件，填写下列列联表，并依据的独立性检验，能否推断该校学生对亚运会项目的了解情况与性别有关？
(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取30名学生，设其中了解亚运会项目的学生的人数为，求使得取得最大值时的值.
附：.
【详解】（1）因为，
所以对杭州亚运会项目的了解的女生为，了解亚运会项目的学生为，结合男生和女生各50名，填写列联表为：
零假设：该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据，，
依据的独立性检验，可以推断成立，
即该校学生对杭州亚运会项目的了解情况与性别无关.
（2）由（1）知，了解亚运会项目的频率，所以随机变量，
，
令，解得，
因为，所以当时，取得最大值.分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种类
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事(每步中的一种方法不能独立完成这件事)
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反，等价转化的方法
甲
乙
总和
合格
不合格
总和
15
15
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
甲
乙
总和
合格
12
6
18
不合格
3
9
12
总和
15
15
30
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
女生
55
合计
110
200
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
性别
速度
合计
快
慢
男生
65
35
100
女生
45
55
100
合计
110
90
200
1
2
3
性别
年龄
总计
满50周岁
未满50周岁
男
15
45
60
女
5
35
40
总计
20
80
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
了解
不了解
合计
男生
女生
合计
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
了解
不了解
合计
男生
15
35
50
女生
30
20
50
合计
45
55
100