24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：三角函数

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：三角函数，共12页。试卷主要包含了正弦函数的性质，值域，正弦型函数的性质，一些复杂的性质等内容，欢迎下载使用。
一.基本原理
1.正弦函数的性质.(1).定义域: .
(2).值域: .
(3).周期性: 周期函数，周期是,最小正周期为.
(4).奇偶性: 奇函数，其图象关于原点对称.
(5).单调性:增区间：
减区间：
(6).对称性: 对称轴：， 对称中心：
2.正弦型函数的性质.
(1).定义域: .
(2).值域:
(3).周期性: 周期函数，周期是.
(4).奇偶性: 当时为奇函数；当时为偶函数.
(5).单调性: 当时：令，求解增区间.
令，求解减区间.
当时：注意单调区间的转化.
(6).对称性: 对称轴：令，求解对称轴方程，对称轴处取最值.
对称中心：令，求解对称中心坐标.
余弦型类似推导，此处不再赘述，请读者自行填补.可以看到，处理复合型函数性质的妙招就在于换元，令，换成标准的正弦（余弦函数来处理）.
3.一些复杂的性质
①.零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍；
②.对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍；
③.若在区间上单调,则必要条件是：区间长度不超过半个周期,即,
充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即
综上可得,
④.对称轴公式：(1).(2).
⑤.中心对称公式：(1).，(2).
⑥.最值表示：
⑦.特殊值枚举
第二部分：试题汇编
1．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）若函数
，的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
解析：根据题意可知若，则可得；显然当时，可得
，由的值域为，利用三角函数图像性质可得
，解得，即的取值范围是.故选：D
2．已知，且，则（ ）
A． B．C． D．
解析：由，得，
而，则，，因此，
即有，所以.故选：C
3．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：，令，得，
因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令
，则在上恰有5条对称轴，如图：
所以，解得．故选：B．
4．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）关于函数由以下四个命题，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象关于y轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于对称
D．的最小值为2
解析：由函数，其定义域为，
且，故函数为偶函数，故A正确，B错误；由，则函数关于对称，故C正确；当时，，则，故D错误.故选：AC.
5．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（ ）
A．将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称
B．函数在上单调递减
C．若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是
解析：由题意且，可得，，
故当时，，.对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；
对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；
对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；
对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即
，故D错误.故选：AB
6．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则__________
解析：由题意结合三角函数定义可知，从而由诱导公式有.故答案为：.
7．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知为第三象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由已知可得，所以.又，所以
，解得.又为第三象限角，所以，，
.
所以，.
故选：A.
8．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知函数
在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ）
A． B．
C． D．
解析：当时，因为此时的最小值为，
所以，即.若，此时能取到最小值，即，
代入可得，满足要求；若取不到最小值，则需满足，即，
所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间，故选：C
9．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）将函数的图象向右平移个单位后，得到一个关于轴对称的图象，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
解析：将函数的图象向右平移个单位后，可得
，因为的图象关于轴对称，所以，即，解得，即，当时，可得
，所以B项符合.故选：B.
10．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知函数，若关于的方程恰有2个不等实根，则整数的最小值是_______
解析：令，由已知可知关于直线对称，且在处取得最小值9.关于的方程恰有2个不等实根，等价于恰有2个不等实根.
又因为，所以.
显然应有，即.又为整数，若，则，
显然满足题意.故答案为：9.
三．真题汇编
1.（2021新高考1卷）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
解析：因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，取，可得函数的一个单调递增区间为，则，，A选项满足条件，B不满足条件；取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.故选：A.
2.（2020全国1卷.）设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
解析：由图可得：函数图象过点，又它是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：，故的最小正周期为，故选：C.
点评：再利用图象求参数时，要注意“升降零点”的概念，此题中就是余弦函数上升中的零点，这样做的好处就是可以在一个周期内考虑问题，从而有效地缩小参数范围.
再看同款下例.
3.（2021甲卷） 已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．
解析：由图可知，即，所以；由降零点可得
，即；所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2.
题型3.对称轴（中心），周期公式的综合应用
4（2022新高考1卷）记函数的最小正周期为．若
，且的函数图象关于点中心对称，则
A．B．C．D．
解析：，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．
5.（2022全国乙卷）记函数的最小正周期为，若，为的零点，则的最小值为_________.
解析：由于，故，且，故，
，故的最小值为3.
6．（2022新高考2卷）已知函数的图象以中心对
称，则
A．在单调递减 B．在有2个极值点；
C．直线是一条对称轴 D．直线是一条切线．
解析：由题意得：，所以即：，
又，所以时，，故．
选项A：时，由图象知是单调递减的；
选项B：时，由图象知只有1个极值点，由可解得极值点；
选项C：时，，直线不是对称轴；
选项D：由得：，
解得或，
从而得：或，，所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即．
最后看到函数图象的平移问题，这也是三角函数图象中的经典考题.
7.（2021全国乙卷）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则
A. B.
C. D.
解析：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,所以,所以.
注：异名三角函数的平移：跟同名三角函数的平移基本上相同，区别在于需要根据诱导公式将其变为同名三角函数的平移问题，再按同名三角函数平移平移思路进行平移.
知求的问题中，我认为最好的处理方法就是换元，通过换元将对图象的影响转化为对的某个动区间的影响，这样做的好处就是图象定下来了，是我们最熟悉的正弦函数，处理起来更加直观.下面我们来看一些例子.
8．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：
①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增 ④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④B．②③C．①②③D．①③④
解析：当时，，∵在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，由，知时，令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，当时，，若在单调递增，则 ，即 ，∵，故③正确．故选D