24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：数列

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：数列，共15页。试卷主要包含了等差数列及其前n项和，1）等差数列的前项和公式1，证明为等差数列的方法，等比数列的判定与证明方法，已知与关系，求，特征方程法等内容，欢迎下载使用。
（一）等差数列及其应用
1.等差数列及其前n项和
（1）等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，即对于数列，若(与无关的数或字母)，，，则此数列是等差数列，为公差.
（2）等差数列的通项公式：或.
有几种方法可以计算公差：①；②；③.
（3）等差中项：数列、、成等差数列的充要条件是，其中叫做、的等差中项.即有、、成等差数列恒成立.
（4）等差数列前项和
（4.1）等差数列的前项和公式1：.
（4.2）等差数列的前项和公式2：.
3.证明为等差数列的方法：
（3.1）定义法：(为常数，)为等差数列；
用定义证明等差数列时，常采用的两个式子和，但它们的意义不同，后者必须加上“”，否则时，无定义.
（3.2）中项法：为等差数列；
（3.3）通项法：为的一次函数为等差数列；
（3.4）前项和法：或.
4.等差数列的性质
（4.1）在等差数列中，若，则().
注意：但通常由推不出，因为有常数列的存在.
（4.2）在等差数列中，、、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.3）若为等差数列，则、、、…仍为等差数列，公差为.
（4.4）等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前项和有最小值.
时为递减数列，且当时前项和有最大值.
（4.5）等差数列的首项是，公差为.若其前项之和可以写成，则，，当时它表示二次函数，数列的前项和是成等差数列的充要条件.
（4.6）公差为的等差数列的前项和为，则数列必是首项为，公差为的等差数列.
（4.7）若两个等差数列、相加组成一个新数列，则必为等差数列，公差为数列、的公差之和.
（4.8）若两个等差数列、的前项和分别为和，则.
5.对等差数列前项和的最值问题有三种方法：
（5.1）利用：①当，，前项和有最大值，可由且，求得的值；②当，，前项和有最小值，可由且，求得的值.
注意：求的最值时，当时取两个值.
（5.2）利用：由利用二次函数配方法求得最值时的值.
（二）等比数列及其应用
1、等比数列及其前n项和：
（1.1）一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示()，即：(，，).
注：从第二项起与前一项之比为常数：成等比数列(，).
（1.2）等比数列的通项公式：()或()；
（1.3）等比数列与指数函数的关系：等比数列的通项公式()，它的图像是分布在曲线()上的一些孤立的点.
当，时，等比数列是递增数列； 当，时，等比数列是递增数列；
当，时，等比数列是递减数列； 当，时，等比数列是递减数列；
当时，等比数列是摆动数列； 当时，等比数列是常数列.
（1.4）当时，①或②；当时，.
证明：设等比数列、、、…，它的前项和是，
由得，
∴；∴当时，，当时，；
2.等比数列的判定与证明方法
（2.1）定义法：若(，)或(，，)，则是等比数列.
（2.2）等比中项法：若数列中，且()，则是等比数列.
（2.3）通项公式法：若数列通项公式可写成(，，)，则是等比数列.
（2.4）前n项和法
3.等比数列的性质
（3.1）等比中项：如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，那么称这个数为与的等比中项.即(、同号).
如果在与中间插入一个数，使、、成等比数列，则；
反之，若，则，即、、成等比数列，
∴、、成等比数列b().
等比中项的性质：①()；()；
（3.2）若，则.
注意：但通常由推不出，因为有非零常数列的存在.
（3.3）数列首项是，公比为，数列首项为，公比为，则数列是首项为，公比为的等比数列，同理数列是首项为，公比为的等比数列.
（3.4）在公比为的等比数列中，数列、、、…仍是等比数列.
（3.5）公比为；数列、、、…仍是等比数列(此时).
3.数列求通项
类型1.等差数列：相邻两项递推形式：为常数，）或者相邻三项递推形式：.这种递推形式下，直接用等差数列的通项公式：即可解决！
类型2.等比数列：相邻两项递推：或.
或者相邻三项递推：.
注2：在等比数列应用中，有一类比较特殊的递推类型，即，我们可以对其赋值得到一个等比数列.
类型3.累加型
类型4.()累乘型.
类型5.型（待定系数法）
一般形式：为常数，，可以构造一个等比数列，只要在每一项同加上一个常数即可，且常数，，令，则为等比数列，求出，再还原到，.
类型6.型
类型7.型.
方法1.数学归纳法.
方法2.，令，则，用累加法即可解决！
类型8.型
类型9.已知与关系，求.
解题步骤：
第1步：当代入求出；
第2步：当，由写出；
第3步：（）；
第4步：将代入中进行验证，如果通过通项求出的跟实际的相等，则为整个数列的通项，若不相等，则数列写成分段形式，
类型9：已知前项积求.
类型10.特征方程法（强基层次）：型.
求解方程：，根据方程根的情况，可分为：
（1）若特征方程有两个相等的根，则
（2）若特征方程有两个不等的根，则
4.数列求和
类型1．倒序相加法
类型2．公式法求和：用等差（等比）数列求和公式.
类型3．裂项相消求和
1.分母是等差数列相邻两项乘积，则：，则：
.
2.有理化后求和：.
3.指对式裂相求和：，一般地，
指数型：
对数型：
类型4：错位相减法
型如的数列求和，其基本解题步骤如下：
Step1：由题可得：
Step2：故 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
Step3：由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①－ = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②得：
Step4：化简： .
类型5. 分组求和
适用对象：主要适用于通项是由两部分不同的形式构成的数列，其次还适用于一些几项放在一起可以化简的数列.
例如：型，可分别单独求出的前项和再求和.
类型6. 并项求和
在处理一些非等差，等比数列时，我们可以通过项的关系（相邻两项等），将其看成一个小组来计算，例如型，分奇偶后相邻两项之差就是一个公差，即常数列求和.
5.数列放缩
类型1.利用单调性放缩
类型2. 先求和再放缩
类型3.先放缩通项再求和
这一类是数列放缩问题的常考类型，相较于类型2而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.
1．常见的裂项公式：
例如：或者等
2.一个重要的指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
3.糖水不等式：设，则.
类型4. 基于递推结构的放缩
1.型：取倒数加配方法.
2.二次递推型：.
，然后裂项即可完成放缩.
第二部分：试题汇编
1．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知为等比数列，则“”是“，是任意正整数”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【详解】因为为等比数列，若，则，则，所以，是的充分条件；
又根据已知可知，
约去可得，因为为等比数列，所以，所以，所以当为等比数列时，是的充分条件；故选：C
2．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知是等比数列的前项和，且，，则（ ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【详解】因为是等比数列，是等比数列的前项和，所以成等比数列，且，所以，又因为，，
所以，即，解得或，因为，
所以，故选：C．
3．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．的最小值为50B．的最大值为50
C．的最小值为10D．的最大值为10
【详解】由题意，在等比数列中，，设公比为，则，
∴，当且仅当即时等号成立，∴的最小值为10，故选：C.
4．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（ ）
A．等差数列是“线性数列”
B．等比数列是“线性数列”
C．若是等差数列，则是“线性数列”
D．若是等比数列，则是“线性数列”
【详解】对A，数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，A正确；
对B，数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，B正确；
对C，是等差数列，设，则，若是“线性数列”，则，则应有，故不是“线性数列”，C错误；
对D，是等比数列，设首项为，公比为，若时，，则，满足“线性数列”的定义；若时，由，得，
，累加的，
则，经验证当时，满足，则，若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，
则，，
，则，则，则是“线性数列”，D正确.故选：ABD
5．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知等比数列的前项和为，且，则（ ）
A．3 B．5 C．30 D．45
【详解】若公比，则，，右边，等式不成立，故，
则，显然，所以，解得，
又因为，代入得，所以，
故选：D.
6．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）在正项等比数列中，，则的最小值是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
【详解】在正项等比数列中，，所以，
当且仅当即时，等号成立，即的最小值是24.
故选：C.
7．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）在等比数列中，，则__________
【详解】记等比数列的公比为，则，解得，所以，
记，因为，所以是1为首项，为公比的等比数列，所以.故答案为：
8．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）等差数列的前项和为，，.
（1）求；
（2）记为数列的前项和，若，且是以2为公差的等差数列，求数列的通项公式.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
由可得，即，解得，，故.
（2）由题意知，则，移项平方得，则
可得是首项为3，公差为2的等差数列，则，可得，则，当时，，故
，故.
9．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知等差数列满足.
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，且是等差数列，记是数列的前项和.对任意，不等式恒成立，求整数的最小值.
【详解】（1）设数列的公差为，则，得，故或.
（2）由为等差数列，可设，记的公差为，故.
所以，显然，，平方得，该式对任意成立，故，解得.
故.因此，一方面，，
，故，另一方面，
.
故整数的最小值为3.
法二：记的公差为，则，，，
上式平方后消去可得，因为是等差数列，所以，故，将其代入中，得，
解得或，当时，，解得，
故，，故，当时，，此时无意义，舍去，因此，一方面，，
，
故，另一方面，
.
故整数的最小值为3.
10．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知数列满足，且对任意正整数m，n都有
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【详解】（1）由对任意整数均有，取，得，
当时，，
当时，，符合上式，所以.
（2）当为偶数时，
，当为奇数时，若，则，若，则，
且当时，满足.综上所述：.
11．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）设正项数列的前项和为，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围．
【详解】（1）当时，，所以；
当时，且，两式相减并整理可得．
因为为正项数列，所以，所以．
（2）有（1）可知，，
，故，可化为，
因为恒成立，所以
12．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知等差数列的公差为2，且成等比数列．
（1）求数列的前项和；
（2）若数列的首项，求数列的通项公式．
【详解】（1）因为成等比数列，所以，又等差数列的公差为，
所以可解得，所以数列的前项和；
（2）①，当时，，可得，
可得②，由②式减①式，得，
所以
，
且符合上式，所以.
13．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）数列的满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求数列的前50项和．
【详解】（1）因为，所以，又因为，
所以，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即．
（2）由得，，因为，所以中要去掉数列的项有5项，所以
．