24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：函数与导数

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：函数与导数，共15页。试卷主要包含了构造相同函数，比较不同函数值，构造不同函数，比较相同函数值，构造不同函数，比较不同函数值，先同构，再构造，再比较等内容，欢迎下载使用。
1.构造相同函数，比较不同函数值
2.构造不同函数，比较相同函数值
这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.
1．（重庆市2024届高三上学期9月联考）若，，，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，，
所以．故选：D
2．（湖北省武汉市部分学校2023-2024学年高三上学期九月调研考试）已知实数满足，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由题意可得，则由，得.
对于A：设，，则在区间上，，为增函数，所以由题意可得，所以，故A正确；
对于B：由，得,故B错误；
对于C：由A可知在区间上为增函数，
且，则，即,则,由,得,
令,则,所以在上单调递增,
所以,所以,故C错误；
对于D：又,令,则,
所以在上单调递增,所以，所以,
又，且,令，
根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且，所以，综上可得，故D正确；故选:AD.
3．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知函数，若，其中，则（ ）
A．B．C．D．
解析：因为，，所以，所以当时，，当时，或，所以当时，单调递减，
当或时，单调递增，且当时，，
当时，，且时，或，
，，
整理得：，所以的对称中心为，
如图所示：
令，则由图可知： ，，，所以A错误；
B选项中，，
又因为，所以，且，所以，
所以，因为在上单调递减，故，所以，B正确；
C选项中，根据三次方程的韦达定理知，，所以，所以C正确；
D选项中，因为，，，所以，由，知，，由B知，，所以，
故，又，所以，所以D正确.故选：BCD
二．其他函数与导数综合
4．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知函数的零点分别为，则（ ）
A． B． C． D．
解析：令，可得，所以，即；
令，可得，即，所以，
即；令，可得，由此可得，所以，
即，作的图象，如图，
由图象可知，，所以.故选：D
5．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
解析：由题意若不等式在上恒成立，则必须满足，即，由，两式相加得，再由，两式相加得，结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得，经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.故选：B.
6．（浙江省金华十校2024届高三11月模拟考试）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递减
B．函数在区间上的最大值为1
C．函数在点处的切线方程为
D．若关于的方程在区间上有两解，则
解析：因为，，所以，
令，即；令，即，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，故A正确；
因为，，所以函数在区间上的最大值为4，故B错误；
因为，，所以函数在点处的切线方程为，
即，故C正确；因为，函数大致图象如图，
要使方程在区间上有两解，则，故D错误.故选：AC.
三．函数性质与抽象函数问题
性质1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.
代数表示: (1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.
性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.
性质3.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1). (2).
(3). (4).
3.函数的对称性与周期性
性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.
性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.
性质6. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质7. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.
性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
7．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）定义在上的函数的导函数为，对于任意实数，都有，且满足，则（ ）
A．函数为奇函数
B．不等式的解集为
C．若方程有两个根，，则
D．在处的切线方程为
解析：对于A，，由可得
，所以，且定义域为，故为奇函数，A正确，
由于，所以
为常数，则，又在中，令，则，故，故，所以，对于B, 可得，又，故，则，故B错误，
对于C，为单调递增函数，而为开口向上，且对称轴为的二次函数，且是的两个交点，的两个交点设为，则，且，又为单调递增函数，所以，所以， C正确，
由得，所以在处的切线方程为，D错误，故选：AC
8．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则__________.
解析：因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，所以，，，
所以，，则，所以，函数是周期为的周期函数，当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.故答案为：.
9．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（ ）
A． B．
C．是奇函数 D．是周期函数
解析：由，令，则，
即，因为，所以，故A正确；
令，，则，即，即，
所以，即，所以函数是奇函数，故C正确；
令，则，
由AC选项，不妨设，则，，满足，
而BD选项不满足，故BD错误.故选：AC.
10．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）已知函数和其导函数的定义域都是，若与均为偶函数，则（ ）
A．
B．关于点对称
C．
D．
解析：假设，则，都为偶函数，则所设函数符合题意，此时，所以A错误；
因为为偶函数，所以，即，
令，则，所以关于点对称，故B正确；
因为均为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称，即，
因为，所以，所以，
所以，，又，，
所以，所以无法确定的值，所以C错误；
又，，所以，又，所以，由知函数周期为4，则的周期也为4，则

，所以 D正确.故选：BD
11．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知函数的定义域为，且，若为奇函数，，则____
解析：由为奇函数，得，即，
由，得，又，
于是，即，从而，
即，因此，函数的周期为8的周期函数，
显然，又，
所以.故答案为：
12．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数定义域为，且的图象关于点对称，函数关于直线对称，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．
C． D．
解析：由函数关于直线对称，可得，
即，则函数关于直线对称，故选项C正确；
由的图象关于点对称，可得，
即，以代换，则，
所以函数关于点对称，可得，即，
结合可得，
所以，故选项B正确.
所以是周期函数，且周期为4，其图象不仅关于直线对称还关于点对称，
所以不关于点和对称，所以不是奇函数，，故选项A、D错误；故选：BC
四．解答题
13．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知函数
（1）求导函数的最值；
（2）试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由.
解析：（1）∵，记
∴，解得：，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值等于.
（2）由，即，即.
令，，∴，由解得：
∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且
所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解.
14．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知函数.
（1）若，证明：当时，；
（2）求所有的实数，使得函数在上单调.
解析：（1）设（），则，
设（），则，显然
所以在上单调递增，故，所以.
则在上单调递增，所以，因此
（2）因为，所以为奇函数.要使函数在上单调，只要函数在上单调.又.因为，所以函数在只能单调递减，由，解得.下证当时，在上单调.由于是奇函数，只要在单调，因为，所以在单调递减.
15．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知函数（e为自然对数的底数，）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，
解析：（1），当时，，在上单调递减；当时，由可得，故时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）知，，
只需证，即证，
设，则，故时，，时，，所以在上递减，在上递增，
所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.
16．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）已知．
（1）若当时函数取到极值，求的值；
（2）讨论函数在区间上的零点个数．
解析：（1）解：函数，可得
因为时函数取到极值，可得，解得，当时，可得，令，
可得，令，可得，所以单调递增，又因为，所以在区间上，即单调递增，所以是的变号零点，所以当时函数取到极值．
（2）当时，因为，所以，
令，则，所以在单调递增，则，所以，当时，在区间上没有零点．
当时，可得，令，
可得，令，则，所以在单调递增，，则，
所以在单调递增． 因为，
当时，，所以存在使得．则在单调递减，在单调递增，又因为，所以当时，，故在没有零点，因为在单调递增，且，而，
所以，则，所以存在唯一，使得，
故在存在唯一零点，因此当时，在存在唯一零点，
综上所述，当时，在区间上没有零点；当时，在存在唯一零点．
17．（四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试）已知函数．
（1）当时，求的单调性；
（2）若，求实数的取值范围．
解析：（1）当时，，，
令得：；令得：或，所以的单调递减区间为：，；单调递增区间为：．
（2）因为在上恒成立，所以（*）在上恒成立，令，则，则在上递减，在上递增．所以的最小值为，即，则（*）式化为：，
当时，显然成立．当时，恒成立，令，则，
，当时，在上递增．所以即，可得，所以即，可得，当时，,
当时，,所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以实数的取值范围为：．
18．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）已知函数，其中.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）函数定义域为，求导得
令，得.
①当时，，当或时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
②当时，，所以在上单调递增；
③当时，，当或时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）在区间上恒成立，在区间上的最大值小于等于1，
①当时，在上单调递增，所以，
又，所以，即，所以此时解得；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，分以下两种情形讨论：
情形一：当，即时，在区间上单调递减，所以，解得满足题意；
情形二：当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在区间上的最大值为或，此时，则，且，
由（2）①可知，，所以此时解得.结合以上两种情形可知，当时，不等式在区间上恒成立.结合①②，综上可得，即实数的取值范围为.