24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：解析几何

这是一份24届十一月高三优质模拟试题分类汇编：解析几何，共15页。试卷主要包含了已知双曲线，已知抛物线Γ等内容，欢迎下载使用。
A．B． C．D．
【详解】根据题意可得，平方化简可得，
进而得，故选:A
2．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）若圆与直线相切，且与圆相切于点，则圆的半径为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【详解】圆的圆心为，半径为1，圆与圆相切于点，则圆心在轴，设圆心为，则由题意，解得或，
时，半径为，时，半径为，故选：BD．
3．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）斜率为1的直线与双曲线（）交于两点，点是曲线上的一点，满足，和的重心分别为，的外心为，记直线，，的斜率为，，，若，则双曲线的离心率为__________
【详解】若直线与双曲线有两个交点，设的中点为，
联立方程组，整理得，
可得，则，
又由在直线上，可得，
所以，所以，即直线与双曲线相交线的中点与原点的连线的斜率与直线的斜率之积为定值，如图所示，取的中点，因为的重心在中线上，的重心在中线上，所以，，可得，即，又由，可得，可得，因为，且的外心为点，则为线段的中点，
可得，因为，所以，所以，所以，
所以.故答案为：.
4．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知直线：与圆：有两个不同的公共点，，则（ ）
A．直线过定点B．当时，线段长的最小值为
C．半径的取值范围是D．当时，有最小值为
【详解】由直线，可化为，
由方程组，解得，即直线过定点，所以A正确；
当时，圆的方程为，可得圆心，
则，可得线段长的最小值为，所以B正确；
因为直线与圆有总有两个公共点，可得点在圆内部，
所以，解得，所以C不正确；
当时，圆的方程为，则，
当直线过圆心，此时，可得的最小值，所以有最小值为，所以D正确.故选：ABD.
5．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是________
【详解】做出图像，如图所示，则，在中，由得，，设，则，
所以，解得，即，
在中，由得，，
设，则，所以，解得，即，因为，所以，
则，即，所以，解得，所以，
由可得，，则，所以，整理得，解得，故答案为：．
6．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（ ）
A．B．0C．D．
【详解】如下图所示：
不妨设，根据椭圆定义可得，；
由余弦定理可知；又因为，所以，又，即可得，解得；
又，即；所以可得；故选：C
7．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（ ）
A．B．
C．的面积为D．
【详解】由圆的方程，则，所以圆心，半径，易知，故A错误；
将代入直线方程，则，解得，故B正确；
将代入直线方程，整理可得直线方程，
原点到直线的距离，且此为底上的高，
所以，故C正确；由与，则直线的斜率，由直线方程，则直线斜率，
由，则与不垂直，故D错误.故选：BC.
8．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是_________
【详解】如图所示：
联立，解得或，得抛物线Γ与直线的两个交点分别为，由题意四边形是矩形，故，且注意到
所以不妨设，又，所以，
所以由图可知，联立，
因此，
而，由两平行线间的距离公式可知，从而，所以当且仅当时，长度取最大值是.故答案为：4.
9．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）已知抛物线：为抛物线的焦点，为抛物线上的动点（不含原点），的半径为，若与外切，则（ ）
A．与直线相切B．与直线相切
C．与直线相切D．与直线相切
【详解】设动点，，如图所示，与外切于点，则，
由抛物线焦半径公式得，，的半径为，即，
所以，即的半径为，
所以点到轴的距离为，则与直线相切，
故选：A．
10．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）己知为椭圆上一点，分别为其左右焦点，为其右顶点，为坐标原点，点到直线的距离为，点到轴的距离为，若，且成等比数列，则椭圆的离心率为 ．
【详解】设，，， 过点作轴于点，过作于点，如图所示，则，所以，即，又因为，所以，即，由椭圆定义得，，则，又因为成等比数列，
所以，则，
所以，即，
所以，故答案为：．
11．（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为___________
【详解】由题意可知，，设，可得直线的斜率分别为，，因为点在双曲线上，则，整理得，所以，设点，可得直线，的斜率，，
因为点在椭圆上，则，整理得，
所以，即，
则，所以直线与关于轴对称，又因为椭圆也关于轴对称，且，过焦点，则轴，又，则，
所以，
整理得，即，解得，或（舍去），
所以椭圆的离心率为．故答案为：．

12．（浙江省温州市普通高中2024届高三上学期第一次适应性考试）已知抛物线的焦点为，抛物线上的点处的切线为.
(1)求的方程（用，表示）；
(2)若直线与轴交于点，直线与抛物线交于点，若为钝角，求的取值范围.
【详解】（1）解法1：抛物线：即，则，则在处切线的斜率为，所以，：，即.
解法2：（1）设切线方程为，与抛物线：联立得，
，（*）
因为直线与抛物线相切，故方程（*）的判别式
即，解得，
所以，：，即.
（2）易知，.设直线：，.
代入抛物线方程得，故，，
因为为钝角，所以，即，即，（*）
因为，不等式（*）即，
解得，所以.
13．（浙江省衢州、丽水、湖州三地市2023-2024学年高三上学期11月教学质量检测）已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
【详解】（1）设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为.
（2）如图，
设经过，两点的直线方程为：（），与抛物线方程联立可得，即，∴，.
∵，则，∴，∴过点作的切线方程为，令，得，即.同理，过点作的切线方程为，令，得，即.∴.
联立两直线方程，解得，即，
则到直线的距离.又∵过点作直线垂直于，
直线的方程为，令，得，即.
同理，直线的方程为，令，得，即.
∴.联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，则到直线的距离.
由上可得，，
，，
∴，得，
∴直线的方程为即.
14．（浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期高考模拟考试）已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q两点，M为线段PQ上与端点不重合的任意一点，过点M且与平行的直线分别交另一条渐近线和C于点
(1)求C的方程；
(2)求的取值范围.
【详解】（1）由的焦距为6，知，即；又渐近线方程为，则，
故，即，从而，因此，双曲线的方程为.
（2）设.直线的方程为，则.
将直线的方程代入得有两正根，
则,且，
又，解上述不等式组，得.
因为的方程为，则与的交点横坐标为
将的方程代入得即为点的横坐标，
故，
所以，，
即的取值范围为.
15．（浙江省金华十校2024届高三上学期11月模拟考试）已知双曲线，直线过双曲线的右焦点且交右支于两点，点为线段的中点，点在轴上，．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若，求直线的方程．
【详解】（1）由题知，，所以双曲线的渐近线方程为．
（2）双曲线的右焦点坐标为，
由题知，直线AB的斜率不为0，设直线方程为，代入双曲线中，
化简可得：，设,则．
则∴线段中点的坐标为，
直线方程为．
（i）当时，点恰好为焦点，此时存在点或，使得．此时直线方程为．
（ii）当时，令可得，可得点的坐标为，
由于所以，由，即，也即：．化简可得，解出，
由于直线要交双曲线右支于两点，所以，即，故舍去．
可得直线的方程为． 综上：直线方程为或或．

（湖北省腾云联盟2023-2024学年高三上学期10月联考数学试题）设抛物线的焦点为上点满足.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知正方形有三个顶点在抛物线上，求该正方形面积的最小值.
【详解】（1）因为点在上，所以①，因为，所以由焦半径公式得②，由①②解得，故抛物线的方程为.
（2）如图所示：
依题意，不妨令正方形的顶点在抛物线上，且，设抛物线上的三点为，显然直线的斜率均存在且不为0，又由抛物线的对称性不妨设直线的斜率大于0，且点都不在轴下方，结合图形知，设直线的斜率为，则直线的斜率
同理由得，，即②由得：，
即，化简得③
由①②③得
则正方形的面积为
,令，
则，当且仅当时等号成立，所以，，
函数在上单调递增，所以当，即时，该正方形的面积的最小值为.