专题01 二次根式（重点）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

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A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的概念进行分析判断．
【解析】解：A、被开方数﹣2＜0，
∴原式没有意义，故此选项不符合题意；
B、∵x2+y2恒大于等于0，
∴原式一定是二次根式，故此选项符合题意；
C、原式是三次根式，故此选项不符合题意；
D、﹣x2﹣1恒＜0，
∴原式没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查二次根式的判断及其有意义的条件，理解二次根式的定义是解题关键．
2．（2022秋·八年级单元测试）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是二次根式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可．
【解析】解：①是二次根式；
②被开方数是负数，不是二次根式；
③开立方也不是二次根式；
④被开方数是负数，不是二次根式；
⑤是二次根式；
⑥是二次根式；
共有3个，
故选：B．
【点睛】本题考法二次根式的定义，二次根式必须满足：①有二次根号；②被开方数为非负数．
3．（2022·上海青浦·统考二模）下列二次根式的被开方数中，各因式指数为1的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质及因式分解可进行求解．
【解析】解：A、的被开方数的因式指数为1，故符合题意；
B、的被开方数的因式分别为5，，其中x的指数为2，故不符合题意；
C、的被开方数的因式有3，，其中4是2的平方，故不符合题意；
D、的被开方数的因式为，指数是2，故不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的概念及因式分解，熟练掌握二次根式的概念及因式分解是解题的关键．
4．（2022秋·八年级单元测试）要使式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠6B．x≠－6C．x＜6D．x≤6
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【解析】解：∵6-x≥0，
∴x≤6．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（2019秋·全国·八年级统考期末）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】使函数有意义，则且， 然后解不等组即可．
【解析】解：根据题意得：且，
解得x > 2．
故选B．
【点睛】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1) 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
6．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）当 时，式子有意义．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得：，
解得： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，分式有意义的条件是分母能不为0．
7．（2022春·上海长宁·九年级上海市复旦初级中学校考期中）如果m是任意实数，那么下列根式有意义的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，进行分析即可．
【解析】A选项，当m＜0时，二次根式没有意义，故该选项不符合题意；
B选项，当m＜﹣1时，二次根式没有意义，故该选项不符合题意；
C选项，当﹣1＜m＜1时，二次根式没有意义，故该选项不符合题意；
D选项，
∵m2≥0，
∴m2+1＞0，
∴不论m取何值，二次根式都有意义，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．
8．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可．
【解析】A、，被开方数中含有分母，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意；
C、是最简二次根式，该选项符合题意；
D、，被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查最简二次根式的识别，牢记最简二次根式的定义（被开方数中不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式）是解题的关键．
9．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）下列二次根式中，最简二次根式的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．
【解析】∵，
∴是最简二次根式，不是最简二次根式，
故选：C．
【点睛】本题考查的是最简二次根式，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
10．（2022秋·八年级单元测试）下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】B
【分析】先化简各选项，然后根据同类二次根式的定义判断即可．
【解析】解：A. 和 的被开方数不同，故不符合题意；
B. ， ，被开方数相同，故符合题意；
C. ，，被开方数不同，故不符合题意；
D. ，=，被开方数不同，故不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
11．（2023·上海·八年级假期作业）若二次根式与是同类二次根式，则a的值有可能是（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】C
【分析】把各选项的值依次代入计算即可得出答案．
【解析】解：A、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
B、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意；
C、当时，，与是同类二次根式，所以本选项符合题意；
D、当时，，与不是同类二次根式，所以本选项不符合题意．
故选C
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，难度不大，属于基础题型，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
12．（2021·上海·统考模拟预测）下列二次根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．
【解析】解：A、，能与合并，故A不符合题意；
B、，能与合并，故B不符合题意；
C、，不能与合并，故C符合题意；
D、，能与合并，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式， 关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．
13．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）若最简二次根式和是同类二次根式，则 ．
【答案】
【分析】根据最简二次根式性质得，解出即可．
【解析】解：最简二次根式和是同类二次根式；
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是最同类二次根式，熟知被开方数相同是解决本题的关键．
14．（2023·上海·八年级假期作业）最简二次根式与可以合并，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】两个最简二次根式可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数一样，由此可得方程求解出a的值．
【解析】最简二次根式与可以合并，
与是同类二次根式，
，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查二次根式的加法，同类二次根式的定义．解题的关键是正确理解两个最简二次根式可以合并是指它们是同类二次根式，即被开方数相同．
15．（2022秋·八年级单元测试）如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 ， ．
【答案】
【分析】由于给出的两个根式既是最简根式又是同类根式．那么他们就是同类二次根式，被开方数就应该相等，由此可得出关于a、b的方程，进而可求出a、b的值．
【解析】解：由最简二次根式 和 是同类二次根式，得
，
解得，
故答案为：1，1
【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
16．（2023·上海·八年级假期作业）下列各式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质判断即可．
【解析】解：A．，故本选项错误；
B．，故本项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质：．
17．（2023春·上海闵行·七年级统考期中）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的性质，二次根式的运算法则即可求解．
【解析】解：选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项错误，不符合题意；
选项，，故选项正确，符合题意；
选项，不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的性质，二次根式的运算法则是解题的关键．
18．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）化简：
【答案】/
【分析】利用二次根式的性质：即可求解．
【解析】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质．掌握相关化简法则是解题关键．
19．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）如果，则的值是
【答案】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，得出，进而求出，再代入求值即可．
【解析】解：∵且，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式的化简，正确理解题意是解题的关键．
20．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）化简： ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件，结合，得到，化简即可．
【解析】∵是二次根式，且，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
21．（2023春·上海普陀·七年级统考期末）比较大小： ．（填“”，“”或“”）
【答案】
【分析】先把化为，再比较大小．
【解析】解：，
，
，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较，关键是熟练掌握比较大小的方法．
22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）化简： ．
【答案】/
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
23．（2023·上海·八年级假期作业）化简二次根式：= ．
【答案】
【分析】先判断b的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，熟知二次根式的性质是解题的关键．
24．（2023·上海·八年级假期作业）若 ，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意可得，，再根据二次根式的性质，即可化简．
【解析】解：∵，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，，．
25．（2023·上海·八年级假期作业）当时，的化简结果（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分式基本性质进行化简即可．
【解析】解：∵有意义，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，．
26．（2023·上海·八年级假期作业）下列结论正确的是（ ）
A．是最简二次根式B．的有理化因式可以是
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质、最简二次根式的概念逐项判断即可．
【解析】解：A． 是最简二次根式，故本选项正确；
B． 的有理化因式是，故本选项错误；
C． ，故本选项错误；
D． ，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是关键．
27．（2023·上海·八年级假期作业）若m，n为任意实数，则下列各式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质把各个选项进行化简，判断即可．
【解析】解：A、，故不成立，不合题意；
B、，故成立，符合题意；
C、，故不成立，不合题意；
D、，故不成立，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键．
28．（2022秋·八年级单元测试）能使成立的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可得答案．
【解析】∵有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数为非负数，分母不等于0列出不等式组．
29．（2022秋·八年级单元测试）实数在数轴上的位置如图所示，化简的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据数轴上点的位置得到，据此化简二次根式即可得到答案．
【解析】解：由题意得，，
∴，
∴
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，正确得到是解题的关键．
30．（2022秋·八年级单元测试）若 成立，则 应满足（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分两种情况：当或时，分别求出x的值即可．
【解析】解：当时，
∵，
∴，
即，
解得：；
当时，
∵，
∴，
即，
解得：（不符合题意舍去）；
综上分析可知，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，．
31．（2023·上海·八年级假期作业）若，则实数x的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知式子可得且，再求出x的范围即可．
【解析】解：，
且，
，
故选A．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握．
32．（2023春·上海松江·七年级统考期末）下列运算中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的加减运算，乘方运算计算即可．
【解析】A. 与不是同类二次根式，无法计算，不符合题意；
B. ，正确，符合题意；
C. ，不正确，不符合题意；
D. ，不正确，不符合题意；
故选Ｂ．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，乘方运算计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
33．（2023·上海·八年级假期作业）已知 ，则的值为（ ）
A．B．4C．D．
【答案】B
【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案．
【解析】解：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键．
34．（2022秋·上海徐汇·八年级上海市徐汇中学校考期中）下列各式中是有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解析】观察各选项，只有B选项中有一项与所给式子中一项的符号相同，另一项符号相反，
=
故选：B
【点睛】本题主要考查运用平方差公式对式子有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式．
35．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）下列计算中正确的是（ ）
A．；B．；
C．；D．．
【答案】D
【分析】根据二次根式的性质分别进行判断即可；
【解析】不能合并，故A不正确；
，故B不正确；
，故C不正确；
，故D正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
36．（2023·上海·八年级假期作业）估计的值应在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【分析】先根据二次根式的混合运算进行计算，再估算出的范围，即可得出结果．
【解析】解：
=
=；
∵，
即，
∴．
∴的值应在4和5之间．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及估算无理数的范围，正确估算出的范围是解决问题的关键．
37．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】将原式变形，判断与0的大小的关系，然后根据不等式的性质即可求出x的解集．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的运算法则以及不等式的基本性质，解题的关键是判断与0的大小关系，本题属于基础题型．
38．（2023春·上海黄浦·七年级校考阶段练习）在数轴上，A、B两点的距离为，点A所对应的数为，则点B所对应的数为 ．
【答案】或/或
【分析】分两种情况讨论：当点B在A的右边时，当点B在A的左边时，再列式计算即可．
【解析】解：当点B在A的右边时，点B所对应的数为；
当点B在A的左边时，点B所对应的数为；
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，二次根式的加减运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
39．（2023春·上海·七年级统考期中）计算： ．
【答案】
【分析】根据实数的运算及幂的运算公式即可求解．
【解析】解：原式
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知幂的运算公式．
40．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．
【答案】
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题考查二次根式的加减运算，二次根式的性质．掌握二次根式的性质和二次根加减运算法则是解题的关键．
41．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．
【解析】解：原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．
42．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）计算：．
【答案】
【分析】直接根据二次根式乘除混合运算的法则进行计算即可．
【解析】解：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除混合运算的法则是解题的关键．
43．（2022秋·上海静安·八年级校考期中）化简求值，其中
【答案】，
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、分式的运算性质、二次根式的运算性质计算即可求得答案．
【解析】原式
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式、分式的运算、二次根式的运算，牢记分式乘除及加减的运算法则是解题的关键．
44．（2023·上海·八年级假期作业）计算．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【解析】（1）解：
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式乘除混合运算，熟练掌握二次根式乘除法法则是解题的关键．注意法则的准确运用以及符号的判定．
45．（2022秋·上海静安·八年级新中初级中学校考期中）（1）式子与的值与有否关系? 请说明理由；当取不同的值时，代数式的值会发生什么变化?
（2）设，易知，如果还有，问之间应满足什么关系? 指出结论，再说明理由
【答案】（1）与无关系，与有关系；当时，，当时，，当时，；（2）
【分析】（1）根据二次根式的性质进行化简，最后去绝对值计算即可；
（2）由可得，再变形处理即可．
【解析】（1）与有关系，与无关系．理由如下：
，与无关系；
，与有关系；
，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
当时，，
当时，，
（2），理由如下：
∵，，
∴，
∴，
两边平方，再整理得：，
继续平方，得：，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了考查了二次根式的化简求值：．也考查了绝对值的含义以及代数式的变形能力．
46．（2022秋·上海·八年级专题练习）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
若设（其中a、b、m、n均为整数），则有．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法，请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；
(2)若，且a、m、n均为正整数，求a的值；
(3)化简：．
【答案】(1)
(2)28或12
(3)
【分析】（1）根据完全平方公式展开，即可用m、n表示出a、b；
（2）利用完全平方公式展开可得到，6＝2mn，利用a、m、n均为正整数得到m＝1，n＝3或m＝3，n＝1，然后由分别计算即可；
（3）令，两边平方并整理得，然后利用（1）中的结论化简得到，从而可求出t的值，即为原式化简的结果．
【解析】（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：，；
（2）∵，
∴，6=2mn，
∴mn=3．
∵a、m、n均为正整数，
∴m=1，n=3或m=3，n=1．
当m=1，n=3时，；
当m=3，n=1时，．
∴a的值为28或12；
（3）令，
则
∴．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式的计算，正确理解被开方数的变化方式及完全平方公式的计算法则是解题的关键．