【专项练习】全套专题数学八年级上册 期中测试卷01-八年级数学上册期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）（习题及答案）

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1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义直接进行排除选项即可．
【解析】A、由可得：当a=0，b≠0时，该方程是一元一次方程，当a≠0时，该方程是一元二次方程，故不符合题意；
B、由可知不是一元二次方程，因为不满足等式两边是整式这个条件，故不符合题意；
C、由可得：，是一元一次方程，故不符合题意；
D、由可知是一元二次方程，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．根式中，最简二次根式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解析】解：这些当中不是最简二次根式
是三次根式，故本题是最简二次根式的是
因此本题有2个，
故选：B
【点睛】本题考查最简二次根式的定义，理解好定义解题的关键．
3．下列关于一元二次方程中，一定没有实数根的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式直接进行排除选项即可．
【解析】A、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
B、由可得：当m为非正数时，方程有解，当m为正数时，方程无解，故不符合题意；
C、由可得：，所以方程无实数根，故符合题意；
D、由可得：，所以方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式加法法则计算并判定A；根据二次根式乘法法则计算并判定B；根据二次根式性质化简并判定C；根据二次根式混合运算法则计算并判定D．
【解析】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
5．函数y=2x，y=-3x，y=的共同特点是（ ）
A．图象位于同样的象限B．y随x的增大而减小
C．y随x的增大而增大D．图象都过原点
【答案】D
【分析】根据正比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解．
【解析】解：∵2＞0，-3＜0，，
∴函数y=2x的图象位于第一、三象限，y=-3x，y=的图象位于第二、四象限，
故A选项错误，不符合题意；
且函数y=2x中y随x的增大而增大，y=-3x，y=中y随x的增大而减小，
故B、C选项错误，不符合题意；
函数y=2x，y=-3x，y=都是正比例函数，图象都过原点，
故D选项正确，符合题意；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的图象和性质是解题的关键．
6．如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1，2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（ ）
A．4B．3C．2D．
【答案】B
【分析】首先根据A,B两点的横坐标，求出A,B两点的坐标，进而根据AC//BD// y 轴,及反比例函数图像上的点的坐标特点得出C,D两点的坐标，从而得出AC,BD的长，根据三角形的面积公式表示出S△OAC,S△ABD的面积，再根据△OAC与△ABD的面积之和为，列出方程，求解得出答案.
【解析】把x=1代入得：y=1,
∴A(1,1),把x=2代入得：y=,
∴B(2, ),
∵AC//BD// y轴,
∴C(1,k),D(2,)
∴AC=k-1,BD=-，
∴S△OAC=（k-1）×1,
S△ABD= (-)×1,
又∵△OAC与△ABD的面积之和为，
∴（k-1）×1＋ (-)×1=，解得：k=3;
故答案为B.
【点睛】:此题考查了反比例函数系数k的几何意义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键.
二、填空题
7．已知函数，那么_______．
【答案】
【分析】由函数，代入，求解即可．
【解析】函数，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数值的求法，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．化简：______．
【答案】
【分析】分子分母同乘以进行分母有理化即可得．
【解析】原式，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
9．方程的解为___________________．
【答案】
【分析】由方程，移项得，对方程左边因式分解得，可得
或，分别解出即可．
【解析】解：移项得：，
即，
∴或，
∴或.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，用合理的方法解一元二次方程是解此题的关键．
10．化简：______．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质进行化简根式即可．
【解析】解：，
∵，
∴；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
11．不等式的解集是________．
【答案】
【分析】根据一元一次不等式的解法，利用不等式的性质即可求解．
【解析】∵，<0，
∴，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
12．方程有两个相等的实数根，则k的值是_______．
【答案】
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得△=0，即，解方程即可得k的值．
【解析】根据方程有两个相等的实数根可得△=0，即，
解方程得，
故答案.
【点睛】本题考查根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是掌握根的判别式和解一元二次方程.
13．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，且经过点（k，k+2），则k=________．
【答案】2
【分析】先根据正比例函数的图象可得，再将点代入函数的解析式可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得．
【解析】解：正比例函数的图象经过第一、三象限，
，
由题意，将点代入函数得：，
解得或（舍去），
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象、一元二次方程的应用，熟练掌握正比例函数的图象特点是解题关键．
14．已知等腰三角形的边长是方程的两个根，则这个等腰三角形的周长是______．
【答案】22
【分析】先利用因式分解法求出方程的两个根，从而可得等腰三角形的两边长，再根据等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理可得这个等腰三角形的三边长，然后利用三角形的周长公式即可得．
【解析】，
因式分解，得，
解得，
等腰三角形的边长是方程的两个根，
这个等腰三角形的两边长为，
（1）当边长为4的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，不满足三角形的三边关系定理，舍去；
（2）当边长为9的边为腰时，这个等腰三角形的三边长为，
此时，满足三角形的三边关系定理，
则这个等腰三角形的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为22，
故答案为：22．
【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系定理等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
15．一件商品原价300元，连续两次降价后，现售价是243元，若每次降价的百分率相同，那么这个百分率为______．
【答案】10%
【分析】设这个百分率为x%，然后根据题意列出一元二次方程，最后求解即可．
【解析】解：设这个百分率为x%，
由题意得：300（1-x%）2=243，解得x=10或x=190（舍）．
故答案为10%．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—百分率问题，弄清题意、设出未知数、列出一元二次方程成为解答本题的关键．
16．如图，点、是双曲线上的点，分别经过、两点向轴、轴作垂线段，若则_______．
【答案】4
【解析】解：∵点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=3，
∴S1+S2=3+3-1×2=4．
故答案为：4
17．如图，正方形，边在轴的正半轴上，顶点，在直线上，如果正方形边长是1，那么点的坐标是______．
【答案】
【分析】令y＝1可得x＝2，即点A（2,1）根据正方形的性质可得点E的横坐标，待入解析式即可求得点E的纵坐标，继而根据正方形的性质可得点F的坐标．
【解析】∵正方形，边在轴的正半轴上，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝1，CE＝CG＝EF＝GF，AB、CD、CE、FG⊥x轴，
∵顶点，在直线
令y＝1，则x＝2
∴点A（2,1）
∴点E的横坐标为3
将x＝3代入直线，得
∴点E、F的纵坐标是
即
∴点F的横坐标为
即点F（，）
故答案为：（，）
【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及到正方形的性质、点的坐标，解题的关键是熟练掌握正方形的性质求得点A、E的坐标．
18．如图，直线AC与函数y＝（×＜0）的图像相交于点A（﹣1，6），与x轴交于点C，且∠ACO＝45°，点D是线段AC上一点．
（1）k的值为___；
（2）若△DOC与△OAC的面积比为2：3，则点D的坐标为___；
（3）若将OD绕点O逆时针旋转90°得到OD′，点D′恰好落在函数y＝（x＜0）的图像上，则点D的坐标为___．
【答案】 k=-6 （1，4） （3，2）或（2，3）
【分析】（1）将点A(−1，6)代入反比例函数解析式中即可求出k的值；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，根据三角形的面积比可得，再根据点A的坐标即可求出DM，然后证出△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，即可求出OM，从而求出结论；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G，设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a，然后用a表示出OM，利用AAS证出△GD′O≌△MOD，即可用a表示出点D′的坐标，将D′的坐标反比例函数解析式中即可求出a的值，从而求出点D的坐标．
【解析】解：（1）将点A(−1，6)代入y=kx中，得
6=，
解得k=-6；
（2）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，
∵△DOC与△OAC的面积比为2∶3，
∴，
∴ ，
∵A(−1，6)
∴AN=6，ON=1，
∴DM=4，
∵∠ACO=45°，
∴△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，
∴CN=AN=6，CM=DM=4，
∴OM=CN－CM－ON=1，
∴点D的坐标为（1，4）；
（3）过点D作DM⊥x轴于M，过点A作AN⊥x轴于N，过点D′作D′G⊥x轴于G，
设点D的纵坐标为a（a＞0），即DM=a
∵△ACN和△DCM都是等腰直角三角形，
∴CN=AN=6，CM=DM=a，
∴OM=CN－CM－ON=5－a，
∴点D的坐标为（5－a，a）
∵∠D′GO=∠OMD=∠D′OD=90°
∴∠GD′O＋∠D′OG=90°，∠MOD＋∠D′OG=90°，
∴∠GD′O=∠MOD
由旋转的性质可得D′O=OD
∴△GD′O≌△MOD
∴GD′=OM=5－a，OG=DM=a
∴D′的坐标为（-a，5－a）
由（1）知，反比例函数解析式为y= (x<0)
将D′的坐标代入，得
5−a= ，
解得：a1=2，a2=3
∴点D的坐标为（3，2）或（2，3）．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解题关键．
三、解答题
19．化简：
【答案】
【分析】分别将每项计算出来，再化简．
【解析】解：原式
．
【点睛】此题考查学生的计算能力，此题属于低档试题，计算要小心．
20．
【答案】
【分析】根据二次根式的乘法公式、除法公式和合并同类二次根式法则计算即可．
【解析】解：
=
=
=
=
【点睛】此题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的乘法公式、除法公式和合并同类二次根式法则是解题关键．
21．解方程：
【答案】
【分析】先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解析】解：
整理，得
∴x－1=0或x－3=0
解得：
【点睛】本题考查了运用因式分解法解一元二次方程：先把方程化为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后一元二次方程就可以化为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可．
22．用配方法解方程：．
【答案】
【分析】先将二次项系数化为1，再方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解题．
【解析】
故答案为：．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．某中学读书社对全校600名学生图书阅读量（单位：本）进行了调查，第一季度全校学生人均阅读量是6本，读书社人均阅读量是15本．读书社人均阅读量在第二季度、第三季度保持一个相同的增长率，全校学生人均阅读量第三季度和第一季度相比，增长率也是，已知第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%，求增长率的值．
【答案】增长率的值为50%
【分析】根据“第三季度读书社全部40名成员的阅读总量将达到第三季度全校学生阅读总量的25%”列出方程即可求出结论．
【解析】解：由题意可得40×15（1＋）2=600×6（1＋）×25%
整理，得（＋1）（－）=0
解得：=50%，（不符合实际，舍去）
答：增长率的值为50%．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键．
24．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与2x+3成正比例，当x＝1时，y＝5；当x＝3时，y＝，求y与x的函数关系式．
【答案】y=+
【分析】根据反比例函数与正比例函数定义可设y1=，y2=，则y=+，再把两组对应值分别代入得到a和b的方程组，解方程组求出a和b即可得到y与x的函数关系式；
【解析】解：设y1=，y2=，则y=+，
把x=1，y=5；x=3，y=分别代入得 ，
解得 ，
所以y与x的函数关系式为y=+=+=+
∴y=+；
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y= （k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．
25．在直角坐标系内的位置如图所示，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点与交于点．
（1）求该反比例函数的解析式及图像为直线的正比例函数解析式；
（2）求的长．
【答案】（1）反比例函数解析式为；直线OB的解析式为y=x；（2）BC =3
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式中，即可求出k的值，从而求出反比例函数解析式，然后求出点D的坐标，设直线OB的正比例函数解析式为y=ax，将点D的坐标代入即可求出结论；
（2）先利用直线OB的解析式求出点B的坐标，从而求出AB，根据点C的坐标即可求出AC，从而求出结论．
【解析】解：（1）将点代入反比例函数解析式中，得
解得：k=8
∴反比例函数解析式为
将点代入反比例函数解析式中，得
解得：m=2
∴点
设直线OB的正比例函数解析式为y=ax
将点代入，得
2=4a
解得：a=
∴直线OB的解析式为y=x；
（2）∵即轴
∴点B的横坐标等于点C的横坐标8
将x=8代入y=x中，解得y=4
∴点B的坐标为（8,4）
∴AB=4
∵点
∴AC=1
∴BC=AB－AC=3
【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、正比例函数解析式和坐标与线段长的关系是解题关键．
26．已知：如图，点在反比例函数的图像上，且点的横坐标为2，作垂直于轴，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）若、在该函数图像上，当时，比较与的大小关系．
【答案】（1）AH=3；（2）k=6；（3）＞
【分析】（1）根据点A的横坐标即可求出OH，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；
（2）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论；
（3）利用反比例函数的增减性即可得出结论．
【解析】解：（1）∵点的横坐标为2，
∴OH=2
∵
∴OH·AH=3
解得：AH=3
（2）∵OH=2，AH=3
∴点A的坐标为（2，3）
将点A的坐标代入中，得
解得：k=6
（3）∵k=6＞0
∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小
∵、在该函数图像上，且
∴＞．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、三角形的面积公式和反比例函数的图象的性质是解题关键．
27．如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，轴于点，轴于点，是线段的中点，，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，，，求的面积；
(3)是线段上的一个动点，是线段上的一个动点，试探究是否存在点，使得是等腰直角三角形？若存在，求所有符合条件点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)5
(3)存在，或或
【分析】（1）先求出点的坐标，利用待定系数法可求反比例函数的表达式；
（2）分别算出，，的面积，利用即可得到答案；
（3）分三种情况，当，时；当，时；当，时，利用等腰三角形的性质即可得到答案．
（1）
解：由题意可知，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵是线段的中点，∴，
∵，
∴点的坐标为，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）
解：∵，
，
，
∴；
（3）
解：存在
分三种情况，∵，
∴直线的表达式为．
①如图1，当，时，
设点，则
∵
∴平分．
∴，解得
∴
∴；
②如图2，当，时，设点．
∵平分，
∴，
∴
∴
∴
∴；
③如图3，当，时，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
综上所述，存在点使得是等腰直角三角形，其坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是分三种情况求出点的坐标．