专题05 正比例函数和反比例函数（重点，上海期中精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

这是一份专题05 正比例函数和反比例函数（重点，上海期中精选）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用），文件包含专题05正比例函数和反比例函数重点上海期中精选原卷版docx、专题05正比例函数和反比例函数重点上海期中精选解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下面问题中，两个变量成正比例关系的是（ ）
A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高
B．长方形的长确定，它的面积与宽
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．等边三角形的面积和它的长
【答案】B
【分析】先列出函数关系式，然后根据正比例函数的定义回答即可．
【解析】解：A、等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成反比，选项不符合题意；
B、长方形的长确定，它的面积等于长乘宽，是正比例关系，选项符合题意；
C、长方形的长确定，它的周长等于2倍长加2倍宽，不是正比例关系，选项不符合题意；
D、设等边三角形的边长为，则面积，不是正比例关系，选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，根据题意列出函数关系是解题的关键，形如的函数为正比例函数．
2．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）下列各图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的概念：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答．
【解析】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以不能表示y是x的函数，符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以能表示y是x的函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的概念，熟练掌握对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，是解题的关键．
3．（2021秋·上海·八年级期中）已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设正比例函数的解析式为，通过待定系数法求出正比例函数的解析式，然后逐一代入验证即可．
【解析】设正比例函数的解析式为，
∵正比例函数图像经过点，
，
，
∴正比例函数的解析式为，
A中，当时，，∴函数图象过点，故该选项正确；
B中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
C中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
D中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．
4．（2022秋·上海虹口·八年级校考期中）若反比例函数y=的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（ ）
A．0B．1C．2D．以上都不是
【答案】A
【解析】∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限，
∴k﹣1＜0，
即k＜1．
故选A．
5．（2022秋·上海长宁·八年级上海市西延安中学校考期中）反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．随的增大而增大B．图像经过点
C．图像位于第二、四象限D．图像关于直线对称
【答案】A
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对B选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解析】解：由反比例函数的性质，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故A是不正确的，
由点的坐标满足反比例函数，故B是正确的；
由，双曲线位于二、四象限，故C也是正确的；
由反比例函数图象的对称性，可知反比例函数的图象关于对称是正确的，故D也是正确的，
故选：A
【点睛】本题考查反比例函数的性质，当时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，和是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的基础；多方面、多角度考查反比例函数的图象和性质．
6．（2022秋·上海·八年级校考期中）下列说法不成立的是（ ）．
A．在中，与x成正比B．在中，与x成反比
C．若，则x，y成正比D．若，则x，y成反比
【答案】D
【分析】根据成正比和成反比的意义进行判断即可．
【解析】解：A．由得到，则与x成正比，故选项不符合题意；
B．由得到，即与x成反比，故选项不符合题意；
C．由由得到，即x，y成正比，故选项不符合题意；
D．若，则x，y不成反比，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了正比和反比，熟练掌握正比和反比的意义是解题关键．
7．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知函数中，在每个象限内，的值随的值增大而增大，那么它和函数在同一直角坐标平面内的大致图像是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先根据反比例函数图象的性质判断出k的范围，再确定其所在象限，进而确定正比例函数图象所在象限，即可得到答案．
【解析】解：∵函数中，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴k＜0，
∴双曲线在第二、四象限，
∴函数y=-kx的图象经过第一、三象限，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了反比例函数图象的性质与正比例函数图象的性质，图象所在象限受k的影响．
8．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在函数（m为常数）的图象上有三点，则函数值的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出的大小关系即可．
【解析】解：∵，
∴反比例函数（m为常数）的图象在二、四象限，并且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴点在第二象限，
∴，
∵，
∴点在第四象限，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
9．（2022春·上海·八年级校考期中）如图反映了一辆汽车从甲地开往乙地的过程中，汽车离开甲地的距离s(千米)与所用时间t(分)之间的函数关系．已知汽车在途中停车加油一次，根据图象，下列描述中，不正确的是（ ）
A．汽车在途中加油用了10分钟B．汽车在加油前后，速度没有变化
C．汽车加油后的速度为每小时90千米D．甲乙两地相距60千米
【答案】B
【分析】根据函数的图象可知，横坐标表示时间，纵坐标表示距离，由于函数图象不是平滑曲线，故应分段考虑．
【解析】解：A、图中加油时间为25至35分钟，共10分钟，故本选项正确；
B、汽车加油前的速度为千米/分；
汽车加油后的速度为千米/分；
汽车在加油前后，速度发生了变化，故本选项错误；
C、由B可知，汽车加油后的速度为×60=90千米/时；故本选项正确；
D、由图可知，甲、乙两地相距60千米；故本选项正确．
故选：B．
【点睛】此题考查了函数图象，根据函数图象的变化分段考虑是解题的关键，同时要明确公式：路程=速度÷时间．
10．（2021秋·上海·八年级期中）如图，直线与函数的图像交于A、B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S=2B．2＜S＜4C．S=4D．S随m的变化而变化
【答案】C
【分析】根据反比例函数图象的对称性求出四边形ODCE的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出△AOD和△OBE的面积，从而得解．
【解析】解：如图
∵直线y=mx与函数的图象交于A、B两点，
∴点A、B关于点O对称，
∴四边形ODCE的面积=2，
△AOD的面积=×2=1，
△OBE的面积=×2=1，
∴△ABC的面积S=2+1+1=4是定值．
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，以及反比例函数的中心对称性，熟记过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
二、填空题
11．（2021秋·上海·八年级统考期中）函数的定义域为 ．
【答案】/
【分析】根据二次根式和分式的性质得出不等式组，解之即可．
【解析】解：在中，
，
解得：，
∴定义域为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的定义域，解题的关键是根据函数表达式得出相应不等式．
12．（2021秋·上海·八年级统考期中）已知函数，如果，那么 ．
【答案】
【分析】把代入求解．
【解析】解：把代入得，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质．
13．（2019春·上海黄浦·八年级统考期中）已知等腰三角形的周长为80，腰长为，底边长为．请写出关于的函数解析式 ，并求出定义域 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的周长=两腰之和+底边的长建立等式就可以求出其解析式，根据三角形的三边关系建立不等式就可以求出自变量的取值范围．
【解析】解：底边长y关于腰长x的函数解析式为y=-2x+80，
由，
得，
解得20＜x＜40．
∴自变量取值范围为20＜x＜40．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的周长的运用，三角形三条边的关系，自变量取值范围确定的方法，熟练掌握等腰三角形的定义是解答本题的关键．
14．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）如果点A（﹣1，3）、B（5，n）在同一个正比例函数的图像上，那么n＝ ．
【答案】
【分析】设过的正比例函数为： 求解的值及函数解析式，再把代入函数解析式即可.
【解析】解：设过的正比例函数为：
解得：
所以正比例函数为：
当时，
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，正比例函数的性质，熟练的利用待定系数法列方程是解本题的关键.
15．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）反比例函数图像经过、，且，那么的取值范围是 ．
【答案】
【分析】直接利用反比例函数的增减性得出，进而求出答案．
【解析】解：∵反比例函数图像经过、，且，
∴每个象限内，随的增大而减小，
∴，
解得：，
∴的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数的增减性．反比例函数的增减性：当时，函数的图像在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；当时，函数的图像在第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小．正确得出关于的不等式是解题关键．
16．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是 ．（用“＜”连接）
【答案】
【分析】先画出反比例函数y＝（k＞0）的图象，在函数图象上描出点（a，m）、（b，n）和（c，t），再利用函数图象可得答案.
【解析】解：如图，反比例函数y＝（k＞0）的图像在第一，三象限，
而点（a，m）、（b，n）和（c，t）在反比例函数y＝（k＞0）的图像上，a＜0＜b＜c，
即
故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，掌握“利用数形结合比较反比例函数值的大小”是解本题的关键.
17．（2022秋·上海奉贤·八年级校考期中）已知P是反比例函数图象上的点，若轴，且的面积是3，那么反比例函数的解析式是 ．
【答案】或
【分析】根据反比例函数系数的几何意义可知，的面积，再根据图象所在象限 求出的值既可．
【解析】解：依据比例系数的几何意义可得，的面积，
即，
解得，，
函数解析式为或
故答案为：或
【点睛】考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
18．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）反比例函数的图象上有一点，将点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点．若点也在该函数图象上，则 ．
【答案】2
【分析】根据平移的性质写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数的图象上，即可得出，，解得即可．
【解析】解：∵点向右平移一个单位，再向下平移一个单位得到点
∴点，
∵点P和点都在该函数图象上，
∴，，
解得：，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及点的平移，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
三、解答题
19．（2021秋·上海·八年级期中）已知y与x成正比例，且当x=时，y=，
求（1）y关于x的函数解析式？
（2）当y=-2时，x的值？
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y＝（k≠0），再把x=时，y=代入即可算出k的值，进而得到解析式；
（2）把y=-2代入函数解析式即可．
【解析】（1）设，
把x=，y=代入得＝，
∴，
故y关于x的函数解析式是．
（2）把y=-2代入解析式中，得，
解得．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数解析式的形式．
20．（2022秋·上海·八年级校考期中）已知，．
(1)求；
(2)求的值；
(3)当时，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）首先两同时乘以，再把含的项移到左边，不含的项移到右边，进行变形即可；
（2）把代入进行计算即可；
（3），即，求解即可．
【解析】（1）解：
，
，
．
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
即，
，
，
.
【点睛】此题主要考查了函数关系式，解题的关键是求出函数解析式，题目比较基础．
21．（2021秋·上海·八年级期中）已知，与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设，则有，然后把当时，；当时，代入求解即可；
（2）由（1）可直接把x=3代入求解．
【解析】解：（1）设，由可得：，
∴把，和，代入得：
，解得：，
∴y与x的函数解析式为：；
（2）由（1）可把x=3代入得：
．
【点睛】本题主要考查反比例函数的定义及函数解析式，熟练掌握反比例函数的定义及求函数解析式的方法是解题的关键．
22．（2021秋·上海金山·八年级校考期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上．
（1）求正比例函数的解析式．
（2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案．
【解析】解：（1）设正比例函数的解析式为，
将点代入得：，解得，
则正比例函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴于点，
，
，
设点的坐标为，则，
的面积是，
，即，
解得或，
故点的坐标为或．
【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键．
23．（2021秋·上海·八年级期中）已知：如图，点在反比例函数的图像上，且点的横坐标为2，作垂直于轴，垂足为点，．
（1）求的长；
（2）求的值；
（3）若、在该函数图像上，当时，比较与的大小关系．
【答案】（1）AH=3；（2）k=6；（3）＞
【分析】（1）根据点A的横坐标即可求出OH，然后根据三角形的面积公式即可求出结论；
（2）将点A的坐标代入反比例函数解析式中即可求出结论；
（3）利用反比例函数的增减性即可得出结论．
【解析】解：（1）∵点的横坐标为2，
∴OH=2
∵
∴OH·AH=3
解得：AH=3
（2）∵OH=2，AH=3
∴点A的坐标为（2，3）
将点A的坐标代入中，得
解得：k=6
（3）∵k=6＞0
∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小
∵、在该函数图像上，且
∴＞．
【点睛】此题考查的是反比例函数与几何图形的综合题，掌握利用待定系数法求反比例函数解析式、三角形的面积公式和反比例函数的图象的性质是解题关键．
24．（2022春·上海·八年级期中）甲、乙两车分别从A地将一批物资运往B地，两车离A地的距离s（千米）与其相关的时间t（小时）变化的图象如图所示．读图后填空：
(1)A地与B地之间的距离是 千米；
(2)甲车由A地前往B地时所对应的s与t的函数解析式是 ；
(3)甲车出发 小时后被乙车追上；
(4)甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了 小时．
【答案】(1)60
(2)s＝20t
(3)1.5
(4)2
【分析】（1）由图象直接得出A地与B地之间的距离是60千米；
（2）设s与t的函数解析式是，代入，得出答案即可；
（3）由甲车的函数解析式建立方程求得答案即可；
（4）由图象得两车由A地前往B地所用时间，再进一步得出答案即可．
【解析】（1）解：A地与B地之间的距离是60千米，
故答案为：；
（2）设s与t的函数解析式是，把代入，得，所以，
故答案为：；
（3）当时，甲被追上，可得：，
解得，
所以甲车出发1.5小时后被乙车追上，
故答案为：；
（4）甲车由A地前往B地比乙车由A地前往B地多用了小时，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数的实际运用．解决此类识图题，注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．
25．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）如图，A为反比例函数的图象上一点，轴，垂足为P．
(1)联结，当时，求反比例函数的解析式；
(2)联结，若，y轴上是否存在点M，使得，若存在，求出M的坐标：若不存在，说明理由，
(3)点B在直线上，且，过点B作直线轴，交反比例函数的图象于点C，若的面积为4，求k的值．
【答案】(1)y=−4x
(2)存在，M0，4
(3)k的值为−6或−12
【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义即可求解；
（2）求得S△APM=S△APO=1，即可求得PM=2从而求得点M0，4；
（3）当B点在P点右侧，如图，设At,kt，则可表示出B−3t,kt，C−3t,−k3t，利用三角形面积公式得到12×−t×kt+k3t=4；当B点在P点左侧，设At,kt，则可表示出B3t,kt，C3t,k3t，利用三角形面积公式得到12×−t×kt−k3t=4，然后分别解关于k的方程即可．
【解析】（1）解：∵S△APO=2，AP⊥y轴，
∴S△APO=12k=2，
∴k=−4，
∴反比例函数的解析式为y=−4x ；
（2）解：存在，理由如下：
∵A−1,2，
∴AP=1，OP=2，
∴S△APO=12×1×2=1，
∴S△APM=S△APO=1，
∴12PM⋅AP=1，
∴PM=2，
∴M0，4；
（3）解：当B点在P点右侧，如图，
设At,kt，
∵PB=3PA，
∴B−3t,kt，
∵BC∥y轴，
∴C−3t,−k3t，
∵△PAC的面积为4，
∴12×−t×kt+k3t=4，解得k=−6；
当B点在P点左侧，如图
设At,kt，
∵PB=3PA，
∴B3t,kt，
∵BC//y轴，
∴C3t,k3t，
∵△PAC的面积为4，
∴12×−t×kt−k3t=4，解得k=−12；
综上所述，k的值为−6或−12．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．