期中测试卷01（测试范围：第16-17章、19.1-19.2）-2023-2024学年八年级数学上学期期末高效复习（沪教版，上海专用）

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一、单选题
1．下列各根式中，最简二次根式是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进行判断即可．
【解析】解：A、原式，不符合题意．
B、是最简二次根式，符合题意．
C、原式，不符合题意．
D、原式，不符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的概念，本题属于基础题型．
2．下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ）．
A．（其中a、b、c是常数）B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．
【解析】解：A、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、整理之后为，是一元一次方程，不符合题意；
D、，分母中含有未知数，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，一般形式为：．
3．下列语句中哪句话是定义（ ）
A．联结A、B两点.B．等角的余角相等吗？
C．内错角相等，两直线平行.D．整数与分数统称为有理数.
【答案】D
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断．
【解析】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意；
B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意；
D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．
4．下列各式中是有理化因式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式，进行计算即可解答．
【解析】观察各选项，只有B选项中有一项与所给式子中一项的符号相同，另一项符号相反，
=
故选：B
【点睛】本题主要考查运用平方差公式对式子有理化，解题的关键是熟练运用平方差公式．
5．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A． B． C．且D．且
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义，以及一元二次方程根的判别式得出不等式组，解不等式组即可求解．
【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，即，
解得且．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
6．已知为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A．或6B．C．5D．6
【答案】D
【分析】先求得的两个根，根据等腰三角形分类计算即可．
【解析】∵，
解得，
∴为等腰三角形三边长为或（不存在，舍去），
∴为等腰三角形周长为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，三角形的存在性，熟练掌握解方程，等腰三角形的分类是解题的关键．
二、填空题
7．当 时，式子有意义．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【解析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件可得：，
解得： ，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，分式有意义的条件是分母能不为0．
8．方程的解是 ．
【答案】，
【分析】将方程变形后，直接开平方求解即可．
【解析】解：
∴
解得：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
9．在命题“两直线平行，同位角互补”中，“两直线平行”叫作“条件”，“同位角互补”叫作 ．
【答案】结论
【分析】根据命题的定义：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项求解即可．
【解析】解：在命题“两直线平行，同位角互补”中，
“两直线平行”叫作“条件”，“同位角互补”叫作结论，
故答案为：结论．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10．关于x的方程有一个根为零，那么 ．
【答案】6
【分析】将代入原方程，得到新的方程，求解即可得到m的值．
【解析】解：关于x的方程有一个根为0，即，
∴，解得：，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，方程的解是能使方程两边左右相等的未知数的值．
11．计算： ．
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断x和y的符号，根据二次根式的除法法则计算即可．
【解析】解：由题意可知，，，
∴，，
原式
故答案为：．
【点睛】此题考查二次根式的除法运算，解题关键在于掌握运算法则．
12．“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明后即可得到该命题为真命题．
【解析】已知：△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠B、∠B′的角平分线,BD=B′D′，
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：∵∠B=∠B′且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，
∴∠ABD=∠A′B′D′=∠B，
∵BD=B′D′,∠A=∠A′，
∴△ABD≌△A′B′D′，
∴AB=A′B′，
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，
故答案为真.
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题证明的基本步骤.
13．已知方程和方程的解完全相同，则 ．
【答案】1
【分析】用因式分解法求的解即可．
【解析】解：
∵方程和方程的解完全相同，
∴，
故答案为1．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，方程和方程的解完全相同，即可化为的形式．
14．一件上衣原价500元/件，第一次降价后，销售甚慢，第二次降价的百分率是第一次的两倍，结果以240元/件的价格迅速售出，则第一次降价的百分率是 ．
【答案】
【分析】先设第次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为，根据两次降价后的价格是240元建立方程，求出其解即可.
【解析】第一次降价的百分率为x，则第二次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得，（舍去）．
则第一次降价的百分率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程解实际问题，读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，求出符合题意的解即可．
15．如图在△ABC中，AB＝AC，BF＝CD，BD＝CE，∠FDE＝70°，那么∠A＝ ．
【答案】40°
【分析】先证明△BDF≌△CED，得到∠BFD=∠CDE，根据三角形的内角和与平角的定义推出∠FDE与∠B相等，再利用三角内角和定理整理即可得出结论．
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDF和△CED中，，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE，
∴∠FDE=180°-∠CDE-∠BDF=180°-∠BFD-∠BDF=∠B，
∵∠FDE=70°，
∴∠B=70°，
∵∠B+∠C+∠A=180°，
∴∠A=40°．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定．解题的关键是通过三角形全等利用角的等量代换得到∠FDE=∠B．
16．已知，求的取值范围
【答案】
【分析】根据二次根式性质先化简，再由去绝对值的代数意义分类讨论求解即可得到答案．
【解析】解：，
，
当时，，原式，不合题意；
当时，，原式，符合题意；
当时，，原式，不合题意；
综上所述，当时，的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式性质及去绝对值运算，熟记二次根式性质及绝对值代数意义是解决问题的关键．
17．已知是两两不相等的实数，且满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，确定出，，代入原式即可解决问题．
【解析】解：，，是两两不相等的实数且满足，
又，
，，，，
原式．
故答案为：
【点睛】本题考查二次根式的性质、解题的关键是根据条件确定出，，记住二次根式的被开方数是非负数这个隐含条件，属于中考常考题型．
18．已知△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处，边DE交边AC于点F（如图），如果△CDF为等腰三角形，则∠A的度数为 ．
【答案】36°或/或
【分析】如图，由题意知，设∠B＝x，∠1＝∠2＝∠B＝x，∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x；△CDF为等腰三角形分三种情况讨论：①当CD＝DF时，∠2＝∠3＝x，进行求解即可；②当CD＝DF时，∠4＝∠3，由∠2+∠3+∠4＝180°，进行求解即可；③当CF＝DF时，∠2＝∠4＝x，由∠2+∠3+∠4＝180°，进行求解即可．
【解析】解：如图，设∠B＝x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝x
∴∠A＝180°﹣2x
∵△ABC绕点C旋转得△CDE，使点B恰好落在边AB上点D处
∴CB＝CD，∠2＝∠B＝x
∴∠1＝∠B＝x
∴∠5＝180°﹣2x，∠3＝∠A+∠5＝360°﹣4x
当CD＝CF时，△CDF为等腰三角形，即∠2＝∠3＝x，则x＝360°﹣4x，解得x＝72°，此时∠A＝180°﹣2x＝36°；
当CD＝DF时，△CDF为等腰三角形，即∠4＝∠3，而∠2+∠3+∠4＝180°，则x+2（360°﹣4x）＝180°，解得x＝，此时∠A＝180°﹣2x＝；
当CF＝DF时，△CDF为等腰三角形，即∠2＝∠4＝x，而∠2+∠3+∠4＝180°，则x+x+360°﹣2x＝180°，无解，故舍去．
综上所述，△CDF为等腰三角形时∠A的度数为36°或．
故答案为36°或．
【点睛】本题考查了旋转，等腰三角形等知识．解题的关键与难点在于对等腰三角形进行分情况讨论，并正确的表示各角的角度．
三、解答题
19．计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化化简，再计算加减即可．
【解析】解：原式
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，掌握分母有理化和二次根式混合运算的法则是解题的关键．
20．计算：
【答案】
【分析】先算括号里面的除法，再算括号外的乘法即可．
【解析】解：
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，关键是熟练掌握二次根式的性质，掌握二次根式的乘除法法则．
21．解方程：
(1)；
(2)用配方法：．
(3)；
【答案】(1)，
(2)，
(3)，
【分析】（1）先展开，再合并，最后用因式分解来求解；
（2）加一个4减一个4，再直接开方，进行求解；
（3）直接利用公式法进行求解．
【解析】（1）解：
，
解得：，；
（2）解：
解：，；
（3）解：
，
，，，
，
，
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、配方法、公式法进行求解．
22．已知，，求的值．
【答案】12
【分析】先将x和y进行分母有理化，再将原式变形，代入x和y的值计算即可．
【解析】解：，
，
【点睛】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算和完全平方公式进行因式分解，掌握二次根式的混合运算法则和分母有理化是解题的关键．
23．关于x的一元二次方程kx2+（k+1）x+＝0．
（1）当k取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若其根的判别式的值为3，求k的值及该方程的根．
【答案】（1）且；（2）
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，得到，列不等式结合，从而可得答案；
（2）利用 列方程求解 再把的值代入原方程，解方程即可得到答案．
【解析】解：（1）该方程的判别式为：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴2k+1＞0，
解得，
又∵该方程为一元二次方程，
∴，
∴k的取值范围为：且．
（2）由题意得2k+1＝3
解得k＝1，
原方程为：


解得：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的解法，掌握一元二次方程根的判别式与公式法解一元二次方程是解题的关键．
24．已知，求的值．
【答案】1
【分析】首先将变形为，根据非负数的性质可得，，求解即可确定的值，然后代入求解即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了代数式求值、完全平方式的应用、非负数的性质、零指数幂、二次根式运算等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
25．如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题．
（1）你构造的是哪几个命题？
（2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)．
【答案】（1）可构造如下几个命题：如果那么，如果那么，如果，那么；（2）证明见解析．
【分析】（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．
【解析】解：（1）有：如果那么；
如果那么；
如果，那么；
（2）如图：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠C=∠CDF，
∴CE∥BF，
∴∠E=∠F，
∴如果那么为真命题；
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDF，
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∴∠B=∠C，
∴如果那么为真命题；
∵∠E=∠F，
∴CE∥BF，
∴∠C=∠CDF，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠CDF，
∴AB∥CD，
∴如果，那么为真命题．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
26．如图，和都是等边三角形，且点A、D、E在同一直线上，证明；
【答案】证明见解析
【分析】根据等边三角形的性质，得出，，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
【解析】证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
27．某商店准备进一种季节性小家电，每台进价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180台；销售定价每增加或降低元，销售量将减少或增加台．因受库存的影响，每批次进货台数不得超过180台；商店若希望获利2000元，则应进货多少台？销售定价多少元？
【答案】100台，60元
【分析】利用销售利润=售价-进价，根据题中条件可以列出利润与x的关系式，求出即可．
【解析】解：设每个商品的定价是x元，
由题意，得（x-40）[180-10（x-52）]=2000，
整理，得x2-110x+3000=0，
解得x1=50，x2=60．
当x=50时，进货180-10×（50-52）=200个，不符合题意，舍去；
当x=60时，进货180-10×（60-52）=100个，符合题意．
答：当该商品每个定价为60元时，进货100个．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
28．相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．
(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．
(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．
(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．
【答案】(1)
(2)15
(3)，
【分析】（1）由题意可知，，解方程即可．
（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数，幻和为：，进而可得，解方程即可．
（3）由数中最大的数，可得， ，，，根据，可得，由， 得，可得②由，得，进而得，则带入②得，求得，进而可求得， ，可得， ．
【解析】（1）由题意可知，，解得，
故答案为：4；
（2）解：由题意得：中心数，幻和为：，
又∵新三阶幻方的幻和为的4倍，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即，
∴ ，
∴
（3）∵数中最大的数，
∴， ，，
∴，
∵，
∴，即：，
又∵，
∴
又∵①
∴②
又∵，
∴即
∴，
∴带入②得
∴，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∴， ．
【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
29．已知（其中点、点，点、点，点、点分别对应），，；
(1)如图1，平分，求证：；
(2)如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于），，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；
(3)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于），若，求的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等边对等角，得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据等量代换，得出，再根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论；
（2）根据全等三角形的性质，得出，再根据等边对等角，得出，进而得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等量代换，得出，再根据等量代换，即可得到结论；
（3）在上取一点，使得，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，进而得出，设，，则，再根据等边对等角，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，得到的关系即可．
【解析】（1）证明： ∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查了等边对等角、平行线的判定、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理、三角形的外角的性质等，灵活运用知识，利用数形结合思想，做出辅助线是解题的关键．