初中数学苏科版七年级下册第7章 平面图形的认识（二）7.2 探索平行线的性质学案

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知识精讲
如图，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。
即：a//b∠1=∠5，∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8；
【即学即练1】（填写结果或理由）
如图，已知直线a∥b，∠4=60°，求∠1，∠3 的度数．
解：∵a∥b（已知）
∴∠1=∠2 （ ）
又∵∠2=∠4（ ）
∠4=60°（已知）
∴∠1=∠4= °（等量代换）
又∵∠3+∠4=180°
∴∠3= °．
如图：
性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。
性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。
【微点拨】
【即学即练3】完成下面的证明如图．
已知：AD∥EF，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．
证明：∵AD∥EF （ ），
∴∠2＝ （ ），
∠1＝ （ ）．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠BAD＝∠CAD（ ）．
即AD平分∠BAC．
【即学即练4】完成推理填空．填写推理理由：
如图：，，，把求的过程填写完整．
∵（已知）
∴______，（____________）．
又∵，（____________）．
∴，（等量代换）
∴______，（____________）．
∴_____，（____________）．
又∵，
∴_____．
能力拓展
考法01 根据平行线的性质求角
【典例1】如图，，，垂足分别是，，直线分别交，于点，．
（1）和相等的角有__________；
（2）若，求的度数．
考法02 根据平行线判定与性质证明
【典例2】直线，直线分别交、于点、，平分．
（1） 如图1，若平分，则与的位置关系是 ．
（2） 如图2，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
（3） 如图3，若平分，则与有怎样的位置关系？请说明理由．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图所示，直线l1∥l2，点A、B在直线l2上，点C、D在直线l1上，若△ABC的面积为S1，△ABD的面积为S2，则（ ）
A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不确定
2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝26°，则∠α的度数是（ ）
A．77°B．64°C．26°D．87°
3．如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B＝45°，∠1＝65°，则∠2＝（ ）
A．65°B．70°C．75°D．80°
4．如图，一条“U”型水管中AB//CD，若∠B=75°，则∠C应该等于（ ）
A．B．C．D．
5．如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．和是同旁内角，，那么等于（ ）．
A．B．C．或D．大小不定
7．一副直角三角板如图所示摆放，它们的直角顶点重合于点，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
9．下列说法正确的个数是（ ）
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（2）在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
（3）内错角相等
（4）平行于同一条直线的两直线平行
（5）同位角相等，两直线平行
A．2B．3C．4D．5
10．如图，点E在DC的延长线上，不能由AB∥CD推导出的结论是（ ）
A．∠B=∠BCEB．∠BAC=∠ACD
C．∠DAC=∠ACBD．∠B+∠BCD=180°
题组B 能力提升练
1．下列说法中正确的有（ ）
①一条直线的平行线只有一条．
②过一点与已知直线平行的直线只有一条．
③因为a∥b，c∥d，所以a∥d．
④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在同一平面内，若∠A与∠B的两边分别平行，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20°B．55°C．20°或125°D．20°或55°
4．一副直角三角板叠放如图所示，现将含角的三角板固定不动，把含角的三角板绕直角顶点按每秒的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（ ）
A．5秒或7秒B．5秒或19秒C．5秒或17秒D．7秒或19秒
5．如图，，平分，，，，有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
6．已知：如图AB//EF，BC⊥CD，则∠，∠，∠之间的关系是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图：AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①OF平分∠BOD；②∠POE＝∠BOF；③∠BOE＝70°；④∠POB＝2∠DOF，其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
8．一副直角三角板如图放置，其中∠F＝∠ACB＝90°，∠D＝45°，∠B＝60°，AB//DC，则∠CAE的度数为（ ）
A．25°B．20°C．15°D．10°
9．如图，ADBC，∠B＝∠D，延长BA至点E，连接CE，∠EAD和∠ECD的角平分线交于点P．下列三个结论：
①ABCD；②∠AOC＝∠EAD+∠ECD；③若∠E＝60°，∠APC＝70°，则∠D＝80°．其中结论正确的个数有（ ）
A．0B．1C．2D．3
10．如图，直线，点，分别是，上的动点，点在上，，和的角平分线交于点，若，则的值为（ ）．
A．70B．74C．76D．80
题组C 培优拔尖练
1．如图，，平分，平分，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
2．如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠．设为度，用关于的代数式表示，则表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD＝∠D，∠B＝∠D，EF∥HC，连FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连CG，使∠CKG＝∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC，则下列结论：①AD∥BC；②GK平分∠AGC；③∠E＋∠EAG＋∠HCK＝180°；④∠MGK的角度为定值且定值为16°，其中正确结论的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
4．如图，△OAB为等腰直角三角形（∠A＝∠B＝45°，∠AOB＝90°），△OCD为等边三角形（∠C＝∠D＝∠COD＝60°），满足OC＞OA，△OCD绕点O从射线OC与射线OA重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角度为α（0°＜α＜360°），下列说法正确的是（ ）
A．当α＝15°时，DC∥AB
B．当OC⊥AB时，α＝45°
C．当边OB与边OD在同一直线上时，直线DC与直线AB相交形成的锐角为15°
D．整个旋转过程，共有10个位置使得△OAB与△OCD有一条边平行
5．为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道MN、QP上分别放置A、B两盏激光灯，如图所示．A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2秒，A灯才开始转动，当B灯光束第一次到达BQ之前，两灯的光束互相平行时A灯旋转的时间是（ ）
A．1或6秒B．8.5秒C．1或8.5秒D．2或6秒
6．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．
8．将一副三角板如图1所示摆放，直线，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 ___．
9．如图，已知∠1+∠AFE=180°，∠A=∠2，求证：∠A=∠C+∠AFC
证明：∵ ∠1+∠AFE=180°
∴ CD∥EF（ ， ）
∵∠A=∠2 ∴（ ）
（ ， ）
∴ AB∥CD∥EF（ ， ）
∴ ∠A= ，∠C= ，
（ ， ）
∵ ∠AFE =∠EFC+∠AFC ，∴ = ．
10．已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合下图，试探索这两个角的关系，并证明你的结论．
（1）如图1，AB∥EF，BC∥DE，与的关系是_____．
（2）如图2，AB∥EF，BC∥DE，与的关系是________________．
（3）经过上述证明，我们可以得到一个结论：
（4）若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的倍少，则这两个角分别是多少度？
11．已知：如图，EF∥CD，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，平分，且，求的度数．
12．点E在射线DA上，点F、G为射线BC．上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图，当点G在F右侧时，求证：；
（2）如图，当点G在BF左侧时，求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，，求∠B的度数．
13．已知，AB∥DE，点C在AB上方，连接BC、CD．
（1）如图1，求证：∠BCD＋∠CDE＝∠ABC；
（2）如图2，过点C作CF⊥BC交ED的延长线于点F，探究∠ABC和∠F之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，∠CFD的平分线交CD于点G，连接GB并延长至点H，若BH平分∠ABC，求∠BGD﹣∠CGF的值．
14．已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．
课程标准
课标解读
1.掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。了解平行线性质定理的证明。
探索并证明平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。
1.能够证明平行线的性质定理；
2.能够利用平行线的性质定理证明角相等。