华师大版八年级上册1 直角三角形三边的关系第1课时教学设计

这是一份华师大版八年级上册1 直角三角形三边的关系第1课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1. 直角三角形三边的关系
第1课时 探索直角三角形三边的关系
教学目标
1．经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；
2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的数学问题.
教学重难点
重点：经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想.
难点：掌握勾股定理，并运用它解决简单的数学问题.
教学过程
一、情境导入
如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？
二、合作探究
探究点一：勾股定理的初步认识
【类型一】 直接运用勾股定理
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S△ABC；
(3)CD的长．
解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.
解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝eq \r(AB2－BC2)＝12cm.
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)CB·AC＝eq \f(1,2)×5×12＝30(cm2).
(3)∵S△ABC＝eq \f(1,2)AC·BC＝eq \f(1,2)CD·AB，∴CD＝eq \f(AC·BC,AB)＝eq \f(60,13)cm.
方法总结：解答此类问题，一般是先利用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积，然后根据面积相等得出一个方程，再解这个方程即可．
【类型二】 勾股定理与数轴
如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )
eq \r(5)＋1 B．－eq \r(5)＋1 C.eq \r(5)－1 D.eq \r(5)
解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为eq \r(12＋22)＝eq \r(5)，∴－1到A的距离是eq \r(,5).那么点A所表示的数为eq \r(5)－1.故选C.
方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
【类型三】 分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，∴BD＝16；在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
探究点二：利用勾股定理求面积
如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为 ，阴影部分的面积为 ．
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解析：因为△ABE为等腰直角三角形，所以S△ABE＝eq \f(1,2)AE·BE＝eq \f(1,2)AE2.又因为AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝eq \f(1,4)AB2＝eq \f(1,4)×32＝eq \f(9,4)；同理可得S△AHC＋S△BCF＝eq \f(1,4)AC2＋eq \f(1,4)BC2.又因为AC2＋BC2＝AB2，所以阴影部分的面积为eq \f(1,4)AB2＋eq \f(1,4)AB2＝eq \f(1,2)AB2＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2).故填eq \f(9,4)、eq \f(9,2).
方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．
三、板书设计
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2＋b2＝c2.
教学反思
让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国的悠久文化历史，激励学生发奋学习．