华师大版八年级上册1 直角三角形三边的关系第1课时学案设计

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1.直角三角形三边的关系
第1课时 探索直角三角形三边的关系
学习目标：
1.掌握勾股定理，会用勾股定理进行简单的计算；
2.会用勾股定理解决简单的问题.
自主学习
一、知识链接
如果一个正方形的边长是a，那么它的面积是 .
2.如果一个直角三角形的两直角边分别为a，b，那么它的面积是 .
二、新知预习
1.如图是用正方形瓷砖铺成的地面.
（1）正方形P的面积为 （用AC表示）；
（2）正方形Q的面积为 （用BC表示）；
（3）正方形R的面积为 （用AB表示）；
（4）正方形P、Q、R的面积关系，写出AC、BC、AB之间的关系为 .
思考：在上述图中随便找一个直角三角形，画出上图，它的三边都存在（4）中的关系吗？
合作探究
一、探究过程
探究点1：勾股定理的初步认识
操作 作图：（1）画∠A=90°；（2）在两边上以A为一个端点，分别截取长为3 cm、
4 cm的线段a、b，连接两线段的另一端点，使其组成三角形，连线的长度为c.
问题1 量一量c的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？
问题2 改变a、b的长度，分别计算a2、b2、c2的值，你发现了什么？
【要点归纳】对任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么一定有 ，这种关系我们称为 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 .
例1如图，已知在Rt△ABC中，∠C=，
（1）若 ；
（2）若 ；
（3）若 ；
（4）若， ， ．
【方法总结】由勾股定理的基本关系式a2+b2=c2，还可以得到一些变形式．如：
等.
【针对训练】若直角三角形的两直角边边长分别为8、15，则第三边长为 ．
【变式题】已知直角边→未知直角边
若直角三角形的两边长分别为8、15，则第三边长的平方为 ．
探究点2：利用勾股定理求面积
例2 求下列图中正方形的边长x、y的值：
【针对训练】
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作三个等腰直角三角形，试探索这三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
【方法总结】由等腰直角三角形的性质可得：S△ABE＝AB2，S△BCF＝BC2，S△ACH＝AC2，由AC2+BC2＝AB2，即可得出结论．同样的以三边长为直径的三个半圆的面积，也存在一定关系．
二、课堂小结

当堂检测
1.下列说法中,正确的是 （ ）
A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B.在直角三角形中，两边和的平方等于第三边的平方
C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2
D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2
如图，图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为_________cm2.

第2题图 第3题图
3.如图，直线同侧有三个正方形、、，若、的面积分别为5和12，则的面积为 .
4.如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10．
（1）求高AD的长；
（2）求△ABC的面积．
拓展提升
5.在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高AD＝12，求BC的长.（注意三角形的高可以在三角形内部和外部，应分类讨论）
参考答案
自主学习
一、知识链接 1.a² 2.ab
新知预习
1.（1）AC² （2）BC² （3）AB² （4）AB²=AC²+BC²
合作探究
一、探究过程
探究点1
操作
【要点归纳】 a²+b²=c² 勾股定理 平方
例1 （1）13 （2）6 （3）7 （4）1.5 2.5
【针对训练】17 【变式题】289或161
探究点2
例2 由图知x2=144+81，所以x=15；由图知y2=169-144，所以y=5．
【针对训练】
解：∵S△ABE，S△BCF和S△ACH分别表示以Rt△ABC的斜边AB及直角边BC和AC为斜边向外作的等腰直角三角形的面积，∴S△ABE=AB2，S△BCF=BC2，S△ACH=
AC2.∵AC2+BC2=AB2，∴S△ABE=S△BCF+S△ACH．
当堂检测
1.C 2.36 3.17
4.解：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=10，∴BD=5．在Rt△ABD中，根据勾股定理可得AD＝12．
（2）△ABC的面积=BC•AD＝×10×12＝60．
5. 解：（1）如图1，△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中，AB=15，AD=12，由勾股定理得BD=9.在Rt△ADC中，AC=20，AD=12，由勾股定理得DC=16，∴BC=
BD+DC=9+16=25．如图2，同理可得BD=9，DC=16，∴BC=CD - BD=7．综上所述，BC的长为25或7．
内 容
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.公式变形：
注 意
1.运用勾股定理的前提：必须是直角三角形；
2.看清哪个角是直角；
3.已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论.