专题2.15 等边三角形的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

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【知识点一】等边三角形的定义
等边三角形定义：
三边都相等的三角形叫等边三角形.
特别提醒：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包
括等边三角形．
【知识点二】等边三角形的性质
等边三角形的性质：
等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°.
【知识点三】等边三角形的判定
等边三角形的判定：
（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
【知识点三】含30°的直角三角形
含30°的直角三角形的性质定理：
在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
特别提醒：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系.
【考点一】等边三角形➼➻等边三角形的性质➼➻求值✭★证明
【例1】如图，在等边中，与交于点F．给出下列二个条件：
①，②．
请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．

【答案】选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析
【分析】当选择②为条件，①为结论时，由等边三角形的性质可得、，由条件得到，然后再证，最后根据全等三角形的性质即可证明结论．当选择①为条件，②为结论时，也可证明，进而得到结论.
解：当选择②为条件，①为结论，证明如下：
证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
当选择②为条件，①为结论，证明如下：
证明：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
∴．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，证得是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图：等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45°B．55°C．60°D．75°
【答案】C
【分析】先根据等边三角形的性质可得，，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据三角形全等的性质可得，最后根据三角形的外角性质即可得．
解：∵是等边三角形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
【变式2】如图，∠ABC＝60°，点E在射线BC上，且BE＝5，点D在射线AB上移动，在∠ABC内部找一点F，使FD＝FE＝ED，则EF取最小值的时候，BD＝ ．

【答案】2.5
【分析】由FD＝EF＝ED得到EF最小时，ED取得最小值，然后过点E作E⊥AB于点，即可得到EF最小，然后利用含30°角的直角三角形的三边关系求得BD的长度．
解：∵FD＝FE＝ED，
∴EF取最小值时，DE取得最小值，
如图，过点E作E⊥AB于点，则∠BD'E＝90°，

∵∠ABC＝60°，
∴∠BE＝30°，
∵BE＝5，
∴BD'＝BE＝×5＝2.5，
∴EF取得最小值时，BD的长为2.5，
故答案为：2.5．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是熟知“垂线段最短”得到EF最小值时点D的位置．
【考点二】等边三角形的判定➼➻求值✭★证明
【例2】 如图，在中，，点D、E在边上（点D在点E的左侧），，，说明是等边三角形的理由．

解：因为（已知），所以（______）．
在和中，
．
所以______（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）．
因为（______），
又因为（已知），
所以．即．
因为（已知），所以______．
所以是等边三角形（______）．
【答案】同一个三角形中，等角对等边，，三角形内角和定理，60，有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形
【分析】根据等角对等边的性质可得，根据全等三角形的判定和性质可得，，根据三角形的内角和可得，推得，结合题意可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形．
解：∵（已知），
∴（同一个三角形中，等角对等边）．
在和中，
∴．
∴（全等三角形的对应边相等），（全等三角形的对应角相等）．
∵（三角形内角和定理），
又∵（已知），
∴．
即．
∵（已知），
∴．
所以是等边三角形（有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形）．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，等边三角形的判定，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，，，平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，点与点O恰好重合，有如下五个结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤．则上列说法中正确的个数是（ ）

A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】利用三线合一可判断①；由折叠的性质可判断④；根据垂直平分线的性质得到OA=OB，从而计算出∠ACB=∠EOF=63°，可判断③；证明△OAB≌△OAC，得到OA=OB=OC，从而推出∠OEF=54°，可判断⑤；而题中条件无法得出OD=OE，可判断②
解：如图，连接OB，OC，

∵AB=AC，OA平分∠BAC，∠BAC=54°，
∴AO⊥BC（三线合一），故①正确；
∠BAO=∠CAO=∠BAC=×54°=27°，
∠ABC=∠ACB=×（180°-∠BAC）=×126°=63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA=OB，即∠OAB=∠OBA=27°，
则∠OBC=∠ABC-∠OBA=63°-27°=36°≠∠OBA，
由折叠可知：△OEF≌△CEF，故④正确；
即∠ACB=∠EOF=63°≠60°，OE=CE，∠OEF=∠CEF，
∴△OEF不是等边三角形，故③错误；
在△OAB和△OAC中，
，
∴△OAB≌△OAC（SAS），
∴OB=OC，
又OB=OA，
∴OA=OB=OC，
∠OCB=∠OBC=36°，
又OE=CE，
∴∠OCB=∠EOC=36°，
∴∠OEC=180°-（∠OCB+∠EOC）=180°-72°=108°，
又∠OEC=∠OEF+∠CEF
∠OEF=108°÷2=54°，故⑤正确；
而题中条件无法得出OD=OE，故②错误；
∴正确的结论为①④⑤共3个，
故选B．
【点拨】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及全等三角形的判定和性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．
【变式2】已知、两点分别在轴、轴上，为坐标原点，，若点在轴上，则使得是等腰三角形点的个数是 ．
【答案】2
【分析】根据等腰三角形性质分别讨论AB＝BC，AB＝AC，BC＝AC，可得答案．
解：当AB＝BC时，
∵，
∴
∴为等边三角形，
即点一种情况如图所示；

当AB＝AC，有、两种情况，但此时点与点重合，
∴一种情况如图所示；
当BC＝AC，有一种情况，此时与重合，
综上所述点的个数为2．
故答案为：2
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定，分别讨论是解题关键．
【考点三】等边三角形的判定和性质➼➻求值✭★证明
【例3】如图，以等边的边为边作，使，连接，过点A作，交于点D，交的延长线于点F，设．

（1）______（用含的式子表示），______；
（2）当，求的长．
【答案】(1)，； (2)7
【分析】（1）由等边三角形的性质得到，，则，再证明，由三线合一定理可得，则，由等边对等角和三角形内角和定理求出，则由三角形外角的性质可得；
（2）如图所示，在上截取，连接，则是等边三角形，得到，证明，得到，再证明是的垂直平分线，得到，则．
（1）解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图所示，在上截取，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．

【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（ ）

A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根据同圆半径相等可得为等腰三角形，又因为，可得为等边三角形，即可求得BE的长．
解：连接OE，如图所示：

∵，点为线段的中点，
∴，
∵以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，
∴，
∴,
∴为等边三角形，
即，
故选：A．
【点拨】本题考查了同圆半径相等，一个角为的等腰三角形，解题的关键是判断出为等边三角形．
【变式2】如图，数学兴趣小组的同学在利用等边三角形画出美丽的“三角玫瑰”图案，已知等边△ABC的边长是24，D，E，F分别在三边上，且DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，则BE的长是 ．

【答案】8
【分析】根据等边三角形的性质和判定，△DEF是等边三角形，从而证明△BED≌△CFE≌△ADF，AD=BE=CF，结合直角三角形的性质，BD=2BE=2AD，得到BD+AD=AB即3BE=24计算即可．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵ DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，
∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，
∴∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=FD，
∴△BED≌△CFE≌△ADF，
∴AD=BE=CF，
∴BD=2BE=2AD，
∴BD+AD=AB，
∴3BE=24，
解得BE=8，
故答案为：8．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【考点四】等边三角形性质与判定➼➻含30°的直角三角形
【例4】如图，在等边中，与的平分线相交于点O，且，．

（1）求证：是等边三角形；
（2）线段、、三者存在什么数量关系？写出你的判断过程；
（3）数学学习不仅要能解决问题，还要善于提出问题，结合本题，在现有图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不要解答）
（1）证明：________；
（2）我的判断是：________，证明如下：________；
（3）我提出的问题是：①________，②________．
【答案】（1）见解析； (2)，理由见解析
(3)①连接，并延长交于点，求证是直角三角形；②若等边的边长为1，求边上的高长是多少（答案不唯一）
【分析】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到是等边三角形；
（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到，根据等角对等边可得到，同理可证明，因为，所以；
（3）根据直角三角形及等边三角形的性质解答即可．
解：（1）证明：是等边三角形，
，
，，
，，
是等边三角形；
解：，其理由如下：
平分，且，
，
，
，
，
，
同理，，
，
；
（3）解：①连接，并延长交于点，求证是直角三角形；
②若等边的边长为1，求边上的高长是多少．
【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形的三条边相等，三个内角都是是解答此题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：（1）△ACE≌△CBD；（2）∠AFG＝60°；（3）AF＝2FG；（4）AC＝2CE．其中正确的结论有（ ）个

A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】（1）由△ABC是等边三角形，可得AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，又由BD＝CE，即可证得△ACE≌△CBD；（2）由△ACE≌△CBD，可得∠CAE＝∠BCD，然后由三角形外角的性质，求得∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；（3）由∠AFG＝60°，AG⊥CD，可得∠FAG＝30°，即可证得AF＝2FG；（4）由AC＝BC，且BC不一定等于2CE，可得AC不一定等于2CE．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，∠ACE＝∠B＝60°，
在△ACE和△CBD中，
∵，
∴△ACE≌△CBD（SAS），故正确；
（2）∵△ACE≌△CBD，
∴∠CAE＝∠BCD，
∴∠AFG＝∠ACF＋∠CAE＝∠ACF＋∠BCD＝∠ACE＝60°；故正确；
（3）∵∠AFG＝60°，AG⊥CD，
∴∠FAG＝30°，
∴AF＝2FG；故正确；
（4）∵AC＝BC，且BC不一定等于2CE，
∴AC不一定等于2CE；故错误．
故选：B．
【点拨】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
【变式2】如图，BD⊥OA于点D，交射线OC于点P，PD=1，∠B=30°，若点P到OB的距离为1，则OP的长为 ．
【答案】2
【分析】过点P作PE⊥OB于点E，可得出PD=PE=1，则得出∠POD=∠POE，由直角三角形的性质得出答案．
解：如图,过点P作PE⊥OB于点E，
∵点P到OB的距离为1,
∴PE=1，
∵PD=1,
∴PD=PE，
又∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上,
即∠POD=∠POE，
∵∠B=30°，BD⊥OA,
∴∠BOD=60°,
∴∠POE=∠BOD=30°,
∴OP=2PE=2．
故答案为：2.
【点拨】本题考查了角平分线的判定，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．熟练掌握几何图形的性质是解题的关键．