人教版八年级数学上册重难考点专题04等边三角形(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学上册重难考点专题04等边三角形(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)，共61页。

知识串讲
（一）等边三角形（特殊的等腰三角形）
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:
（4）含30°角的直角三角形性质
（三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系
考点训练
考点1：等边三角形的性质——求角度
典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【变式1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（ ）

A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（ ）

A．20°B．25°C．30°D．35°
【变式3】（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（ ）

A．65°B．45°C．40°D．35°
考点2：等边三角形的性质——求线段
典例2：（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=7，则AB的长为（ ）

A．7B．8C．9D．10
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2】（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则AE=（ ）
A．6B．5C．8D．7
【变式3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大
考点3：等边三角形的性质与判定综合
典例3：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于点M，则EM的长为（ ）

A．12B．32C．1D．2
【变式1】（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：
①AP=CE； ②∠PME=60°； ③MB平分∠AME； ④AM+MC=BM，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，点D、点E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且AD=CE，连接CD、BE交于点O，在OB上截取OF，使得OF=OD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BE=CDB．∠BOC=120°C．∠BDF=∠ACDD．DO=OC
【变式3】（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与CD交于点H，AE与BD交于点G，BE与CD交于点F，连接GF、BH．过B点作CD、AE的垂线段BM、BN，垂足分别为M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6个结论中，正确的个数有（ ）个．
A．6B．5C．4D．3
考点4：含30°角的直角三角形
典例4：（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边△AOB向右平移适当长度得到对应△CDE，且AB，CD交于点P，若OD=2BP=4，则点C的坐标为（ ）

A．6,0B．132,0C．7,33D．8,23
【变式1】（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FG:AF等于（ ）
A．1B．2C．13D．12
【变式2】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上（点M在点N的左侧），OP=8，MN=2，若PM=PN，则OM的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式3】（2023春·山东青岛·八年级即墨市第二十八中学校考期中）已知如图AC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．则AD的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
考点5：等边三角形的动点问题
典例5：（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是__________．
【变式1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用ts表示移动的时间，当t=_______________s时，△POQ是等腰三角形．
【变式2】（2023秋·山东德州·八年级统考期末）已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO=45°时，则∠MEO的度数为______．
【变式3】（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP=5，则△PMN的周长的最小值为___________．
同步过关
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=10cm，则边AC的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
3．（2023秋·八年级单元测试）如图，直线l//m//n，等边三角形ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的锐角β为25°，则∠α的度数为（ ）
A．25°B．45°C．35°D．30°
4．（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则点M到OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=30∘，斜边AC的长为5cm，则AB的长为 （ ）
A．2.5cmB．2cmC．3cmD．4cm
7．（2023·浙江·九年级自主招生）如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE,AD，分别交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，则CN=（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A'B'C'，连接A'C．若BB'=2，则线段A'C的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
9．（2023秋·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（ ）
A．8B．4C．6D．7.5
10．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN = BM；②EF∥AB；③CE = BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
二、填空题
11．（2022春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝______．
12．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，则BC=___________．
13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是__________．
14．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤6），连接DE，当ΔBDE是直角三角形时，t的值为_____________．
15．（2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）下列命题中，是真命题的是______（只填序号）．
①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形；④3是9的平方根．
16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC、AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点，则∠AQN的度数为___________．
三、解答题
17．（2023秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的长．

18．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图：在等边三角形ABC中，点D,E分别是AB,BC延长线上的点，且BD=CE．求证：∠BCD=∠CAE．
19．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
求证：（1）AE=DE；
（2）若AE=6，求CE的长．
20．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长．
21．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN，CM=CN．
(1)求证：PC垂直平分MN；
(2)若CN=PN=60cm，当∠CPN=60°时，求AP的值．
22．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．

23．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
24．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，点M、N分别在正△ABC（在正三角形中每一条边都相等，每一角都相等）的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
(1)判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由．
(2)判断∠BQM是否会等于60°，并说明理由．
(3)若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？请说明理由．
25．（2023·江苏·八年级假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有 ___________≌___________．
(2)如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE并连接BE，CD，则∠BOD= ___________°．
(3)如图，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90∘，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
专题04 等边三角形
考点类型
知识串讲
（一）等边三角形（特殊的等腰三角形）
（1）等边三角形性质
①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º
②在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
（2）等边三角形判定
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。
（二）解题方法
（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。
（2）三角形三个边的中垂线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
（3）常用辅助线： = 1 \* GB3 ①三线合一； = 2 \* GB3 ②过中点做平行线[来源:
（4）含30°角的直角三角形性质
（三）等腰三角形与等边三角形的区别与联系
考点训练
考点1：等边三角形的性质——求角度
典例1：（2023春·四川成都·八年级统考期末）如图，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，其中折痕分别交边AB,AC于点E，F，连接DE,DF．若DF⊥BC，则∠AEF的度数是（ ）

A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】C
【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出∠FDB=90°,∠FDE=60°，结合图形及三角形外角的性质得出∠AED=90°，利用折叠得出∠AEF=∠FED即可求解．
【详解】解：∵DF⊥BC，将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，
∴∠FDB=90°,∠FDE=60°，
∴∠EDB=30°，
∵等边三角形ABC，
∴∠B=60°，
∴∠AED=90°，
∵将等边三角形ABC纸片折叠，使得点A的对应点D落在BC边上，
∴∠AEF=∠FED=45°，
故选：C．
【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键．
【变式1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）用一块等边三角形的硬纸片（如图1）做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子（边缝忽略不计，如图2），在△ABC的每个顶点处各剪掉一个四边形，其中四边形AMDN中，∠MDN的度数为（ ）

A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】C
【分析】由题意可知∠A=60°，∠AMD=∠AND=90°，对角又互补，则∠MDN的度数为120°．
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
因为要做一个底面为等边三角形且高相等的无盖的盒子，
所以∠AMD=∠AND=90°，
又∵四边形ANDM角的度数之和为360°，
∴ ∠MDN=360°−60°−90°−90°=120°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．
【变式2】（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，则∠DEC=（ ）

A．20°B．25°C．30°D．35°
【答案】C
【分析】由等边三角形的性质求解∠DBC=12∠ABC=30°，再利用等腰三角形的性质可得∠DBE=∠DEB=30°，从而可得答案．
【详解】解：∵BD是等边△ABC的边AC上的高，
∴∠DBC=12∠ABC=30°，
∵DB=DE，
∴∠DBE=∠DEB=30°，
故选C
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．
【变式3】（2023·河南周口·河南省淮阳中学校考三模）如图，l∥m，等边三角形ABC的顶点B在直线m上，∠1=25°，则∠2的度数为（ ）

A．65°B．45°C．40°D．35°
【答案】D
【分析】延长AC交直线m于点D，根据三角形外角的定义可以求出∠3的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可得到∠2的度数．
【详解】解：如图，延长AC交直线m于点D，
，
∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠3=60°−∠1=60°−25°=35°，
∵l∥m，
∴∠2=∠3=35°，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握平行线的性质、等边三角形的性质、三角形外角的定义，是解题的关键．
考点2：等边三角形的性质——求线段
典例2：（2023春·广东清远·八年级校联考期中）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE=6，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=7，则AB的长为（ ）

A．7B．8C．9D．10
【答案】D
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=7，BE=6，可得14=2CE+6，解得CE=4，可求BC=10，即可求解．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，

∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=7，BE=6，
∴E'B=14，
∵CE=CE'，
∴14=2CE+BE=2CE+6，
∴CE=4，
∴BC=10=AB，
故选：D．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2023春·全国·八年级阶段练习）如图，等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，过点D作DE⊥AC于点E，则AE的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出CE=12CD=14BC=1，根据AE=AC−CE，即可求解．
【详解】解：∵等边△ABC的边长为4，AD是△ABC的边BC上的高，
∴BC=AC=4,∠C=60°,BD=CD=12BC，
∵DE⊥AC，
∴∠CDE=30°，
∴CE=12CD=14BC=1
∴AE=AC−CE=4−1=3，
故选：C．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式2】（2023秋·山东威海·七年级统考期末）如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，BE=2，CE=4，则AE=（ ）
A．6B．5C．8D．7
【答案】A
【分析】根据“SAS”，得出△ABD≌△CBE，再根据全等三角形的性质，得出AD=CE，再根据等量代换，即可得出结论．
【详解】证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形，
∴∠ABC=∠DBE=60°，AB=CB，BD=BE=DE，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，AB=BC∠ABD=∠CBEBD=BE，
∴△ABD≌△CBESAS，
∴AD=CE，
∴AE=DE+AD=BE+CE=2+4=6．
故选：A．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
【变式3】（2023春·辽宁沈阳·八年级统考阶段练习）如图，△ABC是等边三角形，D是线段BC上一点（不与点B，C重合），连接AD，点E，F分别在线段AB,AC的延长线上，且DE=DF=AD，点D从B运动到C的过程中，△CDF周长的变化规律是（ ）
A．不变B．一直变小C．先变大后变小D．先变小后变大
【答案】D
【分析】先根据等边三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，从而可得∠EBD=∠DCF=120°，再根据等腰三角形的性质、角的和差可得∠BAD=∠E=∠CDF，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得BE=CD，从而可得△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，最后根据点到直线的距离即可得出答案．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，
∴∠EBD=∠DCF=120°，
∵DF=AD，
∴∠CAD=∠F，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°∠CDF+∠F=∠ACB=60°，
∴∠BAD=∠CDF，
∵DE=AD，
∴∠BAD=∠E，
∴∠E=∠CDF，
在△BDE和△CFD中，∠EBD=∠DCF∠E=∠CDFDE=FD，
∴△BDE≅△CFDAAS，
∴BE=CD，
则△CFD周长为CD+CF+DF=CD+BD+AD=BC+AD，
∵在点D从B运动到C的过程中，BC长不变，AD长先变小后变大，其中当点D运动到BC的中点位置时，AD最小，
∴在点D从B运动到C的过程中，△CFD周长的变化规律是先变小后变大，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．
考点3：等边三角形的性质与判定综合
典例3：（2023秋·八年级课时练习）如图，已知等边三角形ABC的边长为3，过AB边上一点P作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，取PA=CQ，连接PQ，交AC于点M，则EM的长为（ ）

A．12B．32C．1D．2
【答案】B
【分析】过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFM≌△QCM，推出FM=CM，推出ME=12AC即可．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，如图所示：
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFM=∠QCM，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ，
在△PFM和△QCM中，
∠PFM=∠QCM∠PMF=∠QMCPF=CQ，
∴△PFM≌△QCM AAS，
∴FM=CM，
∵AE=EF，
∴EF+FM=AE+CM，
∴AE+CM=ME=12AC，
∵AC=3，
∴ME=32，
故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；添加恰当辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
【变式1】（2022秋·安徽黄山·八年级统考期末）如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于点M，连接BM，有下列结论：
①AP=CE； ②∠PME=60°； ③MB平分∠AME； ④AM+MC=BM，其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】证明△APB≌△CEB得到AP=CE，即可判断①；由△APB≌△CEB，得到∠APB=∠CEB，再由∠MCP=∠BCE，推出∠PME=∠PBE=60°，即可判断②；过点B作BN⊥AM于N， BF⊥ME于F，证明△BNP≌△BFE得到BN=BF，得到BM平分∠AME，即可判定③；在BM上截取 BK=CM，连接 AK，先证明∠ACM=∠ABK，即可证明△ACM≌△ABK得到AK=AM，推出△AMK为等边三角形，则 AM=MK， AM+MC=BM，即可判断④．
【详解】证明：①∵等边△ABC和等边△BPE，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBE=60°，BP=BE，
在△APB和△CEB中，
AB=CB∠ABP=∠CBEBP=BE
∴△APB≌△CEBSAS，
∴AP=CE，故①符合题意；
②∵△APB≌△CEB，
∴∠APB=∠BEC，
∵∠MCP=∠BCE，
则∠PME=∠PBE=60°，故②符合题意；
③过点B作BN⊥AM于N， BF⊥ME于F，
∵△APB≌△CEB，
∴∠BPN=∠FEB，
在△BNP 和△BFE中，
∠BNP=∠BFE∠NPB=∠FEBPB=EB，
∴△BNP≌△BFEAAS，
∴BN=BF，
∴BM平分∠AME，故③符合题意；
④在BM上截取BK=CM，连接 AK，
由②知∠PME=60°，
∴∠AMC=120°，
由③知：BM平分∠AME，
∴∠BMC=∠AMK=60°，
∴∠AMK=∠ACB=60°，
又∵∠AHM=∠BHC，
∴∠CAM=∠CBH，
∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，
∴∠CBH+∠ACM=60°，
∴∠ABK+∠PBM=60°=∠PBM+∠ACM，
∴∠ACM=∠ABK，
在△ABK和△ACM 中
AB=AC∠ABK=∠ACMBK=CM
∴△ACM≌△ABKSAS，
∴AM=AK，
∴△AMK为等边三角形，则AM=MK， 故 AM+MC=MK+BK=BM，
故④符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质与判定，角平分线的判定等知识，解题关键是作出合适的辅助线，熟练掌握全等三角形的性质与判定方法．
【变式2】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，点D、点E分别是等边△ABC的边AB、AC上的点，且AD=CE，连接CD、BE交于点O，在OB上截取OF，使得OF=OD，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．BE=CDB．∠BOC=120°C．∠BDF=∠ACDD．DO=OC
【答案】D
【分析】先证明△ADC≅△CEB，再逐个推理即可．
【详解】∵等边△ABC
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，AC=BC=AB
∵AD=CE
∴△ADC≅△CEBSAS
∴BE=CD，∠CBE=∠ACD
故A选项正确；
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°
∴∠CBE+∠BCD=60°
∴∠BOC=180°−∠CBE+∠BCD=120°
故B选项正确；
∵∠BOC=120°，
∴∠BOD=60°,
∵OF=OD
∴△DOF是等边三角形
∴∠DFO=60°=∠BDF+∠ABE
∴∠BDF=∠CBE=60°−∠ABE
∵∠CBE=∠ACD
∴∠BDF=∠ACD
故C选项正确；
DO=OC没有条件能证明，故D选项错误；
故选：D．
【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，熟记等边三角形的性质是解题的关键．
【变式3】（2023秋·四川宜宾·八年级统考期末）如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD，AE与CD交于点H，AE与BD交于点G，BE与CD交于点F，连接GF、BH．过B点作CD、AE的垂线段BM、BN，垂足分别为M、N．①AE=DC②∠AHD=60°③△EGB≌△CFB④∠AHB=∠CHB⑤GF∥AC⑥BM=BN．以上6个结论中，正确的个数有（ ）个．
A．6B．5C．4D．3
【答案】A
【分析】①根据SAS证明△ABE≌△DBC，得出AE=DC，即可判断①正确；
②根据△ABE≌△DBC，得出∠CAB=∠BAE，根据∠DGH=∠AGB，得出∠AHD=∠ABD=60°，即可判断②正确；
③根据△ABE≌△DBC，得出∠GEB=∠FCB，证明∠GBE=∠FBC，根据ASA证明△GBE≌△FBC，即可判③正确；
⑥根据△GBE≌△FBC，得出S△GBE=S△FBC，GE=FC，即可得出BM=BN，判断⑥正确；
④根据角平分线的判定即可判定④正确；
⑤根据角平分线的判定即可判定⑤正确．
【详解】解：①∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABD+∠DBE=∠DBE+∠CBE，
即∠ABE=∠CBD，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=DC，故①正确；
②∵△ABE≌△DBC，
∴∠CAB=∠BAE，
∵∠DGH=∠AGB，
∴∠AHD=∠ABD=60°，故②正确；
③∵△ABE≌△DBC，
∴∠GEB=∠FCB，
∵∠ABD=∠CBE=60°,
∴∠DBE=180°−60°−60°=60°，
∴∠GBE=∠FBC，
∵BE=BC，
∴△GBE≌△FBC，故③正确；
⑥∵△GBE≌△FBC，
∴S△GBE=S△FBC，GE=FC，
∵BN⊥GE，BM⊥CF，
∴12GE⋅BN=12CF⋅BM，
∴BN=BM，故⑥正确；
④∵BN⊥GE，BM⊥CF，BN=BM，
∴BH平分∠GHF，
∴∠AHB=∠CHB，故④正确；
⑤∵△GBE≌△FBC，
∴BG=BF，
∵∠GBF=60°，
∴△GBF为等边三角形，
∴∠GFB=60°，
∴∠GFB=∠FBC，
∴GF∥AC，故⑤正确；
综上分析可知，正确的有6个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，角平分线的判定，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明△ABE≌△DBC，△GBE≌△FBC．
考点4：含30°角的直角三角形
典例4：（2023·河南濮阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，现将等边△AOB向右平移适当长度得到对应△CDE，且AB，CD交于点P，若OD=2BP=4，则点C的坐标为（ ）

A．6,0B．132,0C．7,33D．8,23
【答案】C
【分析】过点C作CF⊥x轴于点F，由题意易得OB=DE=6，然后可得DF=3,CF=33，进而问题可求解．
【详解】解：过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：

由平移可知OB=DE,OA∥CD,AB∥CE，
∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=CD=DE,∠AOB=∠ABO=60°，
∴∠CDE=∠ABO=60°，
∴△PDB是等边三角形，
∴PB=DB，
∵OD=2BP=4，
∴PB=DB=2，
∴OB=DE=6，
∵CF⊥x轴，
∴DF=12DE=3，CF=3DF=33，
∴OF=7，
∴C7,33；
故选C．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及判定、坐标与图形及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
【变式1】（2023秋·广西崇左·八年级统考期末）如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两个动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则FG:AF等于（ ）
A．1B．2C．13D．12
【答案】D
【分析】根据等边三角形性质得出AC=AB，∠BAC=∠B=60°，证△ABE≌△CAD，推出∠BAE=∠ACD，求出∠AFD=∠BAC=60°，求出∠FAG=30°，即可求出答案．
【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠BAC=∠B=60°，
在△ABE和△CAD中
AB=AC∠B=∠DACBE=AD ，
∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE=∠ACD，
∴∠AFD=∠CAE+∠ACD=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∵AG⊥CD，
∴∠AGF=90°，
∴∠FAG=30°，
∴AF=2FG，
即FG:AF=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质的应用，证明全等三角形是关键．
【变式2】（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上（点M在点N的左侧），OP=8，MN=2，若PM=PN，则OM的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在Rt△OPD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，据此求解即可．
【详解】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，∠OPD=90°−60°=30°，OP=8，
∴OD=12OP=4，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND=12MN=1，
∴OM=OD−MD=4−1=3．
故选：A．
【点睛】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
【变式3】（2023春·山东青岛·八年级即墨市第二十八中学校考期中）已知如图AC=BC=12，∠B=15°，AD⊥BC于D．则AD的长是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】根据等腰三角形性质求出∠BAC=∠B=15°，根据三角形外角性质得出∠ACD=∠B+∠BAC=30°，最后根据含30°角的直角三角形的性质求出结果即可．
【详解】解：∵AC=BC=12，∠B=15°，
∴∠BAC=∠B=15°，
∴∠ACD=∠B+∠BAC=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴AD=12AC=6，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是求出∠ACD=30°，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半．
考点5：等边三角形的动点问题
典例5：（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是__________．
【答案】6
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A' B，得出∠A=60°，则PA= A' P，且△A A' B为等边三角形，AP+DP= A' P+PD，其最小值为A'到AB的距离=BC=6，即可．
【详解】解：作A关于BC的对称点A'，连接A' B，A'P，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵PA= A' P，
∴△A A' B为等边三角形，
∴AP+DP= A' P+PD为A'，
∴ AP+DP的最小值为A'到AB的距离=BC=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，构造轴对称图形是解答此题的关键．
【变式1】（2022秋·湖北十堰·八年级统考期中）如图，∠AOB=60°，C是BO延长线上一点，OC=12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用ts表示移动的时间，当t=_______________s时，△POQ是等腰三角形．
【答案】4或12/12或4
【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：①当点P在线段OC上时，且OP=OQ，②当点P在CO的延长线上时，且OQ=PO，分别列式计算即可．
【详解】解：由题意可分以下情况讨论：
①当点P在线段OC上时，则有OP=OC−CP=OQ，
∵OC=12cm，CP=2tcm，
∴OP=12−2tcm，
∵OQ=tcm，
∴12−2t=t，解得：t=4；
②当点P在CO的延长线上时，
∵∠AOB=60°，△POQ是等腰三角形
∴△POQ是等边三角形
则OQ=OP时，
∵此时OP=2t−12，
∴2t−12=t，解得：t=12，
综上所述：当t为4ss或12s时，△POQ是等腰三角形；
故答案为：4或12．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，等边三角形的判定，以及一元一次方程的应用，解决问题的关键是把几何问题转化为方程求解，注意分类讨论思想．
【变式2】（2023秋·山东德州·八年级统考期末）已知点A在x轴的负半轴上，以OA为边在第二象限作等边△AOB，点M、N分别为OA、OB边上的动点，以MN为边在x轴上方作等边△MNE，连结OE，当∠EMO=45°时，则∠MEO的度数为______．
【答案】75°/75度
【分析】过M作MF∥AB，可证△OMF为等边三角形，∠FMO=60°，MF=MO，由△MNE是等边三角形，可得∠NME=∠MFO=60°，MN=ME，可证∠FMN=∠OME，再证△MFN≌△MOE，∠MFN=∠MOE=60°即可．
【详解】过M作MF∥AB，
∴∠MFO=∠BAO，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠BAO=∠BOA=60°=∠MFO，
∴△OMF为等边三角形，
∴∠FMO=60°，MF=MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME=∠FMO=60°，MN=ME，
∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°，
∴∠FMN=∠OME，
在△MFN和△MOE中，
MF=MO∠FMN=∠OMEMN=ME，
∴△MFN≌△MOE，
∴∠MFN=∠MOE=60°，
∵∠EMO=45°，
∴∠MEO=180°−∠OME−∠MOE=180°−45°−60°=75°．
【点睛】本题考查图形与坐标，等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质掌握图形与坐标，作辅助线构造全等三角形是解题关键．
【变式3】（2023秋·河南安阳·八年级校考期末）如图，∠AOB=30°，点M，N分别是射线OA，OB上的动点，点P为∠AOB内一点，且OP=5，则△PMN的周长的最小值为___________．
【答案】5
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，根据当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，
∴CM=PM，OP=OC，∠COA=∠POA．
∵点P关于OB的对称点为D，
∴DN=PN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=5，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2(∠POA+∠POB)=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=5．
∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．
同步过关
一、单选题
1．（2023秋·黑龙江牡丹江·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=10cm，则边AC的长为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【答案】C
【分析】连接AE，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而可求得∠BAE=∠B=15°，然后又三角形外角的性质，求得∠AEC的度数，继而根据含30°的直角三角形的性质求得AC的长．
【详解】解：连接AE，
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE=10cm，
∴∠BAE=∠B=15°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=30°，
∵∠C=90°，AE=BE=10cm，
∴AC=12AE=5cm．
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=12AC=12×4=2cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．（2023秋·八年级单元测试）如图，直线l//m//n，等边三角形ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹的锐角β为25°，则∠α的度数为（ ）
A．25°B．45°C．35°D．30°
【答案】C
【分析】根据l//m//n，可以得到∠β=∠1=25∘，∠α=∠2，再根据△ABC等边三角形可以计算出∠α的度数．
【详解】解：如图所示：根据l//m//n
∴∠β=∠1=25∘，∠α=∠2
又∵△ABC是等边三角形
∴∠ACB=60∘
∴∠2=35∘
∴∠α=35∘
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，即两直线平行内错角相等以及两直线平行同位角相等；明确平行线的性质是解题的关键．
4．（2022秋·青海西宁·八年级统考期末）如图，∠AOB＝60°，以点O为圆心，以适当长为半径作弧交OA于点C，交OB于点D；分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点P；画射线OP，在射线OP上截取线段OM＝6，则点M到OB的距离为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【答案】D
【分析】过点M作ME⊥OB于点E，根据作法可得∠BOP=∠AOP=12∠AOB，从而得到∠BOP=30°，进而得到ME=12OM，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作ME⊥OB于点E，
根据题意得：∠BOP=∠AOP=12∠AOB，
∵∠AOB＝60°，
∴∠BOP=30°，
∴ME=12OM，
∵OM＝6，
∴ME=3，
即点M到OB的距离为3．
故选：D
【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，直角三角形的性质，熟练掌握作已知角的平分线的作法，直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）下列说法中：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形；④有一个角是60°的三角形是等边三角形．正确的说法有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线性质逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：①与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故原说法正确；
②等腰三角形的底边高、中线、顶角的角平分线互相重合，故原说法错误；
③如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，
已知：如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，且AD=12BC ，
求证：△ABC为直角三角形，
证明：∵AD为BC边的中线，
∴BD=CD，
∵AD=12BC ，
∴AD=BD=CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠1+∠2=∠BAC，
∴∠BAC=90°，
∴△ABC为直角三角形，故原说法正确；
④有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故原说法错误；
所以正确的说法有：①③，共2个．
故选：C
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形的判定，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
6．（2022春·湖南岳阳·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠C=30∘，斜边AC的长为5cm，则AB的长为 （ ）
A．2.5cmB．2cmC．3cmD．4cm
【答案】A
【分析】根据30°角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=30°，∠B=90°，斜边AC的长5cm，
∴AB=12AC=2.5cm．
故选：A．
【点睛】本题考查了30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握30°角对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
7．（2023·浙江·九年级自主招生）如图，C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边长在BD同侧作等边三角形BCA和等边三角形CDE，连接BE,AD，分别交AC于M，交CE于N．若AC=3,CM=2，则CN=（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】证明△BCE≌△ACD得出∠CEM=∠CDN，然后证明△CME≌△CND得出CN=CM，即可求解．
【详解】解：∵等边三角形BCA和等边三角形CDE
∴∠ACB=∠ECD=60°，∠ACE=180°−60°−60°=60°，BC=AC,EC=DC，
∴∠BCE=∠ACD=120°，
∴△BCE≌△ACD SAS,
∴∠CEM=∠CDN，
∵∠MCE=∠NCD=60°，EC=DC，
∴△CME≌△CND ASA，
∴CN=CM=2，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．
8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿BC所在直线向右平移得到△A'B'C'，连接A'C．若BB'=2，则线段A'C的长为（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据平移的性质可得A'B'=4，B'C=6−2=4，再根据∠A'B'C=∠B=60°可得△A'B'C是等边三角形，即可求出A'C的长.
【详解】解：由平移的性质可得A'B'=AB=4，∠A'B'C=∠B=60°，
∵BC=6，BB'=2，
∴B'C=6−2=4，
∴A'B=B'C，
∴△A'B'C是等边三角形，
∴A'C=A'B'=4.
故选：B
【点睛】本题主要考查了平移的性质和等边三角形的判定，平移前后对应边相等，对应角相等,“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，熟练掌握以上知识是解题的关键.
9．（2023秋·河南漯河·八年级漯河市实验中学校考期中）如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE=2，则AB的长为（ ）
A．8B．4C．6D．7.5
【答案】A
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵DE⊥BC，
∴∠CDE=30°，
∵EC=2，
∴CD=2EC=4，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴AD=CD=4，
∴BC=AC=AD+CD=8．
故选A．
10．（2022秋·广东珠海·八年级珠海市紫荆中学校考期中）如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN = BM；②EF∥AB；③CE = BF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
【答案】B
【分析】由“SAS”可证△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确；由“ASA”可证△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，故③正确；可证△CEF是等边三角形，可得∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ACM，可证EF∥AB，故②正确；由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④错误；由全等三角形的性质可得SΔACN=SΔMCB，由面积公式可证CG＝CH，由“HL”可证Rt△CDG≌Rt△CDH，可得∠CDG＝∠CDH，故⑤正确，即可求解．
【详解】解：①∵△ACM、△BCN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确，
③∵∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠MCN＝60°＝∠ACM，
又∵AC＝CM，∠CMB＝∠CAN，
∴△ACE≌△MCF（ASA），
∴CE＝CF，故③正确，
②∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴∠FEC＝∠ACM＝60°，
∴EF∥AB，故②正确；
④∵△ACE≌△MCF，
∴∠AEC＝∠MFC，
∵∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠CED+∠MFC＝180°，
∴∠CED不一定等于∠CFM，
∴∠DEF不一定等于∠DFE，
∴DE不一定等于DF，
又∵CE＝CF，
∴CD不一定垂直平分EF，故④错误；
⑤如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，
∵△ACN≌△MCB，
∴SΔACN=SΔMCB，
∴12AN×CG＝12BM×CH，
∴CH＝CG，
又∵CD＝CD，
∴Rt△CDG≌Rt△CDH（HL），
∴∠CDG＝∠CDH，
∴CD平分∠ADB，故⑤正确；
故选：B．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题
11．（2022春·黑龙江绥化·七年级绥化市第八中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝60°，AD＝2，则BD＝______．
【答案】6
【分析】根据∠A＝60°，可得∠ACD=30°，从而得到AC=2AD=4，再由∠ACB＝90°，可得∠B=30°，从而得到AB=2AC=8，即可求解．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠A＝60°，AD＝2，
∴∠ACD=30°，
∴AC=2AD=4，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=8，
∴BD=AB-AD=6．
故答案为：6
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
12．（2022秋·福建厦门·八年级统考期中）在ΔABC中，AB=AC=10cm，∠A=60°，则BC=___________．
【答案】10cm/10厘米
【分析】根据已知AB=AC，∠A=60°，直接判定ΔABC为等边三角形，得AB=AC=BC，即得答案．
【详解】解： ∵ AB=AC=10cm，∠A=60°，
∴ΔABC是等边三角形，
∴BC=AB=AC=10cm；
故答案为：10cm．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形是解答此题的关键．
13．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D为AB的中点，P为BC上一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是__________．
【答案】6
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A' B，得出∠A=60°，则PA= A' P，且△A A' B为等边三角形，AP+DP= A' P+PD，其最小值为A'到AB的距离=BC=6，即可．
【详解】解：作A关于BC的对称点A'，连接A' B，A'P，
∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵PA= A' P，
∴△A A' B为等边三角形，
∴AP+DP= A' P+PD为A'，
∴ AP+DP的最小值为A'到AB的距离=BC=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，构造轴对称图形是解答此题的关键．
14．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1 cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t≤6），连接DE，当ΔBDE是直角三角形时，t的值为_____________．
【答案】2或3.5或4.5或6
【分析】先求出AB的长，再分①∠BDE＝90°时，DE是△ABC的中位线，然后求出AE的长度，再分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可；②∠BED＝90°时，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出BE，然后分点E在AB上和在BA上两种情况列出方程求解即可．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm,
∴∠A=30°，AB＝2BC＝4（cm），
①∠BDE＝90°时，
∵∠B=60°，
∴∠DEB=30°，
∴EB=2DB=BC=2
∴AE＝AB−BE=2（cm），
点E在AB上时，t＝2÷1＝2（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4×2−2＝6（cm），
∴t＝6÷1＝6（秒）；
②∠BED＝90°时，BE＝12BD=14BC＝0.5（cm），
点E在AB上时，t＝（4−0.5）÷1＝3.5（秒），
点E在BA上时，点E运动的路程为4＋0.5＝4.5（cm），
t＝4.5÷1＝4.5（秒），
∵0≤t≤6
综上所述，t的值为2或3.5或4.5或6，
故答案为：2或3.5或4.5或6．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是分情况讨论．
15．（2023秋·河南鹤壁·八年级鹤壁市外国语中学校考阶段练习）下列命题中，是真命题的是______（只填序号）．
①全等三角形的对应边相等，对应角相等；②有两边和一角相等的两个三角形全等；③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形；④3是9的平方根．
【答案】①③④
【分析】根据全等三角形的性质和判定方法，等腰三角形的性质，平方根的定义判断即可．
【详解】解：①是全等的性质，描述正确，是真命题；②有两边和夹角才能判定两个三角形全等，描述错误假命题；③顶角为60°时，两底角各是60°是等边三角形；底角为60°时，也是等边三角形，描述正确，是真命题；④32=9，3是9的平方根，是真命题．
故答案为：①③④
【点睛】本题考查真假命题的判断，能从条件推出结果才是真命题；掌握全等三角形的判定方法是判断②的关键．
16．（2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中）如图，△ABC为等边三角形，点M，N分别在BC、AC上，且BM=CN，AM与BN交于Q点，则∠AQN的度数为___________．
【答案】60°/60度
【分析】利用SAS证明△ABM≅△BCN，得到∠MAB=∠NBC，结合∠AQN=∠MAB+∠ABN，利用等量代换得到∠AQN=∠MAB+∠ABN=∠NBC+∠ABN=∠ABC，结合△ABC为等边三角形，求解即可．
【详解】因为△ABC为等边三角形，
所以AB=BC,∠ABC=∠BCN=60°，
所以AB=BC∠ABC=∠BCN=60°BM=CN，
所以△ABM≅△BCN，
所以∠MAB=∠NBC，
因为∠AQN=∠MAB+∠ABN，
所以∠AQN=∠MAB+∠ABN=∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
三、解答题
17．（2023秋·广东广州·八年级广州市第八十九中学校考期中）如图，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若BD=6，求AC的长．

【答案】9
【分析】根据角平分线的定义求得∠2=∠3=30°，可得Rt△BCD的直角边CD是斜边BD长度的一半；然后由三角形的外角定理知∠4=∠1+∠2，可得∠1=∠2=30°，根据等角对等边可知AD=BD，根据BD=6可得结论．
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠2=∠3=30°，∠1=90°−∠ABC=90°−60°=30°，
在Rt△BCD中，BD=6，
∴CD=12BD=12×6=3，∠4=90°−∠3=90°−30°=60°，
∵∠1=∠4−∠2=60°−30°=30°=∠2，
∴DA=DB=6，
∴AC=AD+CD=6+3=9，
∴AC的长为9．

【点睛】本题考查角平分线的定义，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
18．（2023秋·广东广州·八年级校考期末）如图：在等边三角形ABC中，点D,E分别是AB,BC延长线上的点，且BD=CE．求证：∠BCD=∠CAE．
【答案】见解析
【分析】由等边三角形的性质，利用SAS可证ΔDBC≌ΔECA，由全等的性质可得结论.
【详解】证明：∵等边三角形ABC
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB,
∴∠DBC=∠ACE
在ΔABC和ΔABD中，
BC=AC∠DBC=∠ACEBD=CE
∴ΔDBC≌ΔECA
∴∠BCD=∠CAE．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质及判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.
19．（2022秋·八年级单元测试）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E．
求证：（1）AE=DE；
（2）若AE=6，求CE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）12．
【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；
（2）根据直角三角形中， 30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．
【详解】（1）证明：连接BE，
∵∠A=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°．
∵DE垂直平分BC，
∴EB=EC，
∴∠EBC=∠C=30°=∠ABE，
∴AE=DE；
（2）在△CDE中，
∵∠CDE=90°，∠C=30°，
∴DE=12CE，
∴CE=2DE=2AE=12
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，直角三角形性质；直角三角形中30°所对边为斜边的一半是本题解题关键.
20．（2023春·山东青岛·八年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长．
【答案】6
【分析】根据三角形的内角和得到∠C=30°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，求出AD=BD=2，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】∵AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，
∴∠C=30°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAD=∠ADC-∠B=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=2，
∴CD=2AD=4，
∴BC=BD+CD=6．
【点睛】考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质．解题关键是利用了在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
21．（2022秋·江西宜春·八年级校考期中）图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM=PN，CM=CN．
(1)求证：PC垂直平分MN；
(2)若CN=PN=60cm，当∠CPN=60°时，求AP的值．
【答案】(1)见解析
(2)60cm
【分析】（1）首先根据题意证明△CMP≌△CNPSSS，然后根据全等三角形的性质求解；
（2）首先根据题意得到当伞收紧时，AC=CN+PN=120cm，然后证明出△CPN是等边三角形，求出PC=PN=60cm，进而求解即可．
【详解】（1）在△CMP和△CNP中
CM=CNPM=PNCP=CP
∴△CMP≌△CNPSSS
∴∠MPB=∠NPB
∵PM=PN
∴△PMN是等腰三角形
∴PB⊥MN，BM=BN
∴PC垂直平分MN；
（2）∵CN=PN=60cm，
∴当伞收紧时，点P与点A重合，
∴AC=CN+PN=120cm
当∠CPN=60°时，
∵CN=PN
∴△CPN是等边三角形
∴PC=PN=60cm
∴AP=AC−PC=60cm．
【点睛】题目主要考查线段间的数量关系，等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题关键．
22．（2022春·七年级单元测试）已知，如图，∠B=∠C，AB∥DE，EC=ED，求证：△DEC为等边三角形．

【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质和∠B=∠C可得∠DEC=∠C，得到DE=CD，再由EC=ED可得DE=CD=EC，即可证明．
【详解】证明：∵AB ∥DE，
∴∠DEC=∠B，
∵∠B=∠C，
∴∠DEC=∠C，
∴DE=CD，
∵EC=ED，
∴DE=CD=EC，
∴ △DEC为等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定方法．
23．（2022秋·广西百色·八年级统考期中）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．
(1)若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状；
(2)若a＝4，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长．
【答案】(1)等边三角形
(2)9或10或11
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a=b=c，进而得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出c的取值范围，进而可得出结论．
(1)
解：∵（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形；
(2)
解：∵a＝4，b＝2，且c为整数，
∴4﹣2＜c＜4+2，即2＜c＜6，
∴c＝3，4，5，
∴△ABC周长为9或10或11．
【点睛】本题考查的是非负数的性质和三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键．
24．（2023秋·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，点M、N分别在正△ABC（在正三角形中每一条边都相等，每一角都相等）的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
(1)判断△ABM与△BCN是否全等，并说明理由．
(2)判断∠BQM是否会等于60°，并说明理由．
(3)若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？请说明理由．
【答案】(1)全等，理由见详解
(2)∠BQM=60°，理由见详解
(3)能得到∠BQM=60°，理由见详解
【分析】（1）利用“SAS”即可证明；
（2）利用（1）的结论即可作答；
（3）证明△ABM≌△BCN即可作答．
【详解】（1）全等，理由如下：
∵△ABC是正三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC=AC，
∵BM=CN，
∴△ABM≌△BCNSAS；
（2）∠BQM=60°，理由如下：
∵△ABM≌△BCNSAS，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠ABC=60°=∠ABQ+∠CBN，∠BQM=∠ABQ+∠BAM，
∴∠BQM=∠ABQ+∠BAM=∠ABQ+∠CBN=60°；
（3）能得到∠BQM=60°，理由如下：
∵∠ACB=∠ABC=60°，AB=BC，BM=CN，
∴△ABM≌△BCNSAS，
∴∠M=∠N，
∵∠MAC=∠NAQ，
∴∠BQM=∠N+∠NAQ=∠M+∠MAC，
∵∠M+∠MAC=∠ACB=60°，
∴∠BQM=60°．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的定义以及正三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
25．（2023·江苏·八年级假期作业）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．
(1)如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE，则有 ___________≌___________．
(2)如图，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE并连接BE，CD，则∠BOD= ___________°．
(3)如图，在两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90∘，连接BD，CE，交于点P，请判断BD和CE的关系，并说明理由．
【答案】(1)△BAD，△CAE
(2)60
(3)BD=CE，BD⊥CE，理由见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定SAS证明即可；
（2）先根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60∘，再证明△BAD≌△CAE得到∠ACD=∠AEB，再利用的外角性质求得∠BOC=120∘即可求解；
（3）证明△ABD≌△ACE得到BD=CE，∠ABD=∠ACE，进而利用三角形的内角和定理证明BD⊥CE即可．
【详解】（1）解：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△BAD≌△CAESAS，
故答案为：△BAD，△CAE；
（2）解：∵等边△ABD和等边△ACE，
∴ AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60∘，
∴ ∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AD=AB∠DAC=∠BAEAC=AE
∴ △DAC≌△BAESAS，
∴ ∠ACD=∠AEB
∴ ∠BOC=∠OCE+∠OEC
=∠ACE+∠ACD+∠OEC
=∠ACE+∠AEB+∠OEC
=∠ACE+∠AEC
=120∘，
∴ ∠BOD=180∘−∠BOC=60∘，
故答案为：60；
（3）证明：BD=CE，BD⊥CE，理由：
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠CAE=∠BAD，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE
∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE，
∴∠BPC=∠BAC=90∘，
∴BD⊥CE．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握“手拉手全等模型”，能找到全等三角形是解答的关键