专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.4 线段的轴对称性（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共13页。

线段的垂直平分线
定义：
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质：
性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
特别提醒：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
【考点一】线段垂直平分线的性质
【例1】如图，四边形ABCD中，ADBC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F，
求证：△BCE≌△FDE；
连结AE，当AE⊥BF，BC=2，AD=1时，求AB的长．
【答案】(1)见分析；(2)AB的长为3
【分析】（1）根据ADBC得到∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，根据点E为CD的中点得到ED＝EC，即可根据AAS证明△BCE≌△FDE；
（2）根据△FDE≌△BCE得到BE＝EF，BC＝DF=2，根据AE⊥BF得到AE为线段BF垂直平分线，得到AB＝AF，即可得到AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3．
（1）解：∵ADBC，
∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△FDE和△BCE中，
，
∴△FDE≌△BCE（AAS）；
（2）解：∵△FDE≌△BCE，
∴BE＝EF，BC＝DF=2，
∵AE⊥BF，
∴AE为线段BF垂直平分线，
∴AB＝AF，
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，
∴AB的长为3．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟知全等三角形的判定定理与性质定理，证明△BCE≌△FDE是解题关键
【举一反三】
【变式1】如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，交的延长线于点F，连结，求证：．

【分析】根据线段的垂直平分线得出AF＝DF，推出∠FAD＝∠ADF，根据角平分线得出∠DAB＝∠CAD，推出∠FAC＝∠B，根据∠FAB＝∠BAC＋∠FAC和∠ADF＝∠B＋∠BAC推出即可．
解：证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠FAD＝∠ADF，
∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠CAD，
∴∠FAC＝∠B，
∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，
即∠BAF＝∠ACF．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线，角平分线，三角形的外角性质，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度适中．
【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则MN的长为 cm．
【答案】3
解：连接AM，AN，
∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴AM=AN=MN，
∴BM=MN=NC，
∵BC=9cm，
∴MN=3cm．
故答案为3cm．

考点：1．线段垂直平分线的性质；2．等腰三角形的性质；
【考点二】线段垂直平分线的性质与判定
【例2】如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，，延长AE交BC的延长线于点F．
请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．

【答案】(1) FC=AD，理由见分析；(2)
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据全等三角形的性质、线段垂直平分线的性质判断出AB=BF，据此求解即可．
（1）解：FC=AD，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∴AB=BC+AD，
∵AB=6，AD=2，
∴BC=4．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

【答案】（1）65°（2）证明见分析
【分析】（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.
解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
【点拨】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
【变式2】如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是AD、AB上的动点，若∠BAC＝50°，当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为（ ）

A．105° B．115° C．120° D．130°
【答案】B
【分析】过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，证明AD垂直平分BB′，推出BE＝BE′，由三角形三边关系可知，，即BE+EF的值最小为，通过证明△ABE′≌△AB′E′，推出∠AE′B＝AE′B′，因此利用三角形外角的性质求出AE′B′即可．
解：过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，过点B′作B′F′⊥AB于点F′，与AD交于点E′，连接BE′，如图：

此时BE+EF最小．
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝50°，
∴∠BAD＝∠B′AD＝25°，
∵BB′⊥AD，
∴∠AGB＝∠AGB′＝90°，
在△ABG和△AB′G中，
，
∴△ABG≌△AB′G（ASA），
∴BG＝B′G， AB＝AB′，
∴AD垂直平分BB′，
∴BE＝BE′，
在△ABE′和△AB′E′中，
，
∴△ABE′≌△AB′E′（SSS），
∴∠AE′B＝AE′B′，
∵AE′B′＝∠BAD+ AF′E′＝25°+90°=115°，
∴∠AE′B＝115°．
即当BE+EF的值最小时，∠AEB的度数为115°．
故选B．
【点拨】本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出BE+EF取最小值时点E的位置．
【考点三】线段垂直平分线性质与判定的应用
【例3】如图，在中，，的垂直平分线交于，交于．
若，则的度数是______．
连接，若，的周长是．
① 求的长；
② 在直线上是否存在点，使由，，构成的的周长值最小？若存在，标出点的位置并证明；若不存在，说明理由．
【答案】(1)70°；(2)①7cm；②存在，图及证明见分析
【分析】根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；
①根据垂直平分线的性质，可得与的关系，再根据三角形的周长，可得答案.
②根据线段垂直平分线的性质定理，可得PB=PA，从而得到PB+CP=PA+PC≥AC，进而得到当点P与点M重合时，的值最小，即可求解．
（1）解：.
.
.
又垂直平分.
.
故答案为：.
（2）如图：

垂直平分．
.
又的周长是.
.
．
当点P与点M重合时，的值最小.
∵MN垂直平分AB．
∴PB=PA.
∴PB+CP=PA+PC≥AC.
∴当点P与点M重合时，的值最小，为AC的长.
∴△PBC的周长最小值是9+7=16cm．
【点拨】本题考查了轴对称，解题关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出．
【举一反三】
【变式】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
【答案】(1)见分析；(2)见分析
【分析】（1）基本作图，过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G即可；
（2）根据角平分线性质得DE＝DF，根据HL可证Rt△ADE≌Rt△ADF，得AE＝AF，再根据线段垂直平分线的性质即可得到AD垂直平分EF.
（1）解：如图所示，

（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF
【点拨】本题主要考查作图-基本作图以及角平分线性质和线段垂直平分线的性质.
【考点四】线段垂直平分线作图题
【例4】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）

【分析】根据题意，P点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点即为发射塔P的位置．
解：作出线段的垂直平分线，与的平分线交于P点，
则如图，P点为所求．
．
【点拨】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图，是基本作图题，需熟练掌握．
【举一反三】
【变式1】如图，在中，垂直平分AB，垂足为Q，交BC于点P．按以下步骤作图：以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边AC，AB于点D，E；分别以点D，E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点F；作射线AF，射线AF与直线PQ相交于点G，则的度数为 度．

【答案】56
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC＝68°，由角平分线的定义得∠BAG＝34°，由线段垂直平分线可得△AQG是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余即可求出∠AGQ．
解：∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°，
∵∠B＝22°，
∴∠BAC＝90°−∠B＝90°−22°＝68°，
由作法可知，AG是∠BAC的平分线，
∴∠BAG＝∠BAC＝34°，
∵PQ是AB的垂直平分线，
∴△AGQ是直角三角形，
∴∠AGQ＋∠BAG＝90°，
∴∠AGQ＝90°−∠BAG＝90°−34°＝56°，
故答案为：56．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质等知识，熟知角平分线和中垂线的尺规作法是解题的关键．
【变式2】如图，在已知的中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线交于点D，连接．
若，，则的周长为（ ）
A．8B．9C．10D．14
【答案】D
【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD=DB，然后可得AD+CD=10，进而可得△ACD的周长．
解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线，
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CD=DB，
∵AB=10，
∴CD+AD=10，
∴△ACD的周长=CD+AD+AC=4+10=14，
故选：D．
【点拨】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和作法，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．