专题2.18 等边三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版）

这是一份专题2.18 等边三角形的轴对称性（分层练习）（培优练）-2023-2024学年八年级数学上册专题讲与练（苏科版），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．如图，若是等边三角形，，是边上的高，延长到E，使，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．下列推理中，不能判断是等边三角形的是（ ）
A．B．
C．D．，且
3．如图，∠AOB＝30º，∠AOB 内有一定点P，且OP＝12，在OA 上有一动点Q，OB 上有一动点R．若△PQR 周长最小，则最小周长是（ ）
A．6B．12C．16D．20
如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（ ）

A．15B．12C．13D．10
5．如图，已知是边长为4的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，动点、分别在边、上，且，则的周长是（ ）
A．12B．10C．8D．6
6．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BCD．
7．如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
8．如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN的度数为（ ）

A．15°B．22.5°C．30°D．47.5°
9．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AB上的点，且BE＝CD，AD与CE相交于点F，连接BF，延长FE至G，使FG＝FA，若△ABF的面积为m，AF：EF＝5：3，则△AEG的面积是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△ECD，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q连接PQ．以下五个结论正确的是（ ）
① ；②PQ∥AE； ③ ；④ ；⑤
A．①③⑤B．①③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤
二、填空题
11．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为 ．
12．如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，FE⊥AC于E，如果△ABC的边长是12，则AE= ．

13．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
14．如图，是等边三角形，D是的中点，点E在的延长线上，点F在上，，若，则的值为 ．

15．如图，是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作于点N，，，若，则AN的长为 ．
16．如图，点是等边内一点，，．以为一边作等边三角形，连接．探究：当 时，是等腰三角形？

17．如图，过边长为2的等边的边上一点，作于点，为延长线上一点，当时，连接交边于点，则的长为 .
18．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D是线段BC上一点，∠ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①∠APO=∠ACO；②∠APO+∠DCO=30°；③AC=AO+AP；④PO=PC，其中正确的有 ．
三、解答题
19．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，．
（1）求的度数； （2）求证：．
20．如图所示，为等边三角形，边长为4，点为边中点，，其两边分别交和的延长线于，，求的值.
21．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．

22．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD；
（2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC．

23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
24．在ABC中，，，AD为ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作，射线EM与射线BA交于点F．
（1）如图1，当点E与点D重合时，求证：；
（2）如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．
（3）当点E在线段AD的延长线上，且时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

参考答案
1．C
【分析】因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，BD是AC边上的高，则∠DBC=30°，AD=CD=AC，再由题中条件CE=CD，即可求得BE．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC=6，
∵BD是AC边上的高，
∴AD=CD=AC=3，∠DBC=∠ABC=30°，
∵CE=CD，
∴CE=AC=3，
∴BE=BC+CE=6+3=9．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及等边三角形的性质，考查了学生综合运用数学知识的能力，得到AD=CD=AC是正确解答本题的关键．
2．D
【分析】根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．B
【详解】
作点P 关于OA的对称点点E，点P关于OB的对称点点F，连接EF分别交OA于点Q，交OB于点R，连接OE、OF，
∵P、E关于OA对称，∴OE=OP=12，∠EOA=∠AOP，QE=QP，
同理可证OP=OF=12，∠BOP=∠BOF，RP=RF，
∴OE=OF=12，∠EOF=∠EOP+∠FOP=2∠AOB=60°，
∴△OEF是等边三角形，
∴EF=12，
∴C△PQR=PQ+PR+QR=EQ+QR+RF=EF=12．
故选B．
4．C
【分析】由AC=BC，，作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点，交CD于P，则此时MP+PN的值最小，再由直角三角形即可求出答案
【详解】如图：
是等边三角形
，
作点M关于直线CD的对称点G，过G作于点 ，交CD于P，
为最小值
，





故答案选C
【点拨】本题考查轴对称中的最短路径问题、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作图是关键．
5．C
【分析】延长EB到G，使BG=FC，连接DG，通过△DCF≌△DBG得到DG=DF、∠FDC=∠GDB，再利用△EDG≌△EDF得到EF=EB+FC，求出结果．
【详解】解：延长EB到G，使BG=FC，连接DG，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
又∵BD=CD，
∴∠DCB=∠DBC= ，
∴∠DCF=∠DBE=90°，
在直角△DCF和直角△DBG中，
，
∴△DCF≌△DBG，
∴DG=DF，∠FDC=∠GDB，
∴∠GDF=∠BDC=120°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠EDG=60°，
在△EDG和△EDF中，
，
∴△EDG≌△EDF，
∴EF=EG=EB+GB=EB+FC，
∴△AEF的周长为：AE+AF+EF=AE+AF+BE+FC=AB+AC=8，
故选择C．
【点拨】本题考查等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质，解决问题的关键构造全等三角形．
6．D
【分析】根据作图过程及所作图形可知，得出△BCD是等边三角形；又因为，，推出，继而得出；根据，，可知AD为的角平分线，根据三线合一得出AD垂直平分BC；
四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和，为．
【详解】解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
【点拨】本题考查的知识点是等边三角形的判定、全等三角形的判定及性质、线段垂直平分线的判定以及四边形的面积，考查的范围较广，但难度不大．
7．D
【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．
【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：
在中，，
∴，
∵
＝，
∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，
此时，，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为12，
故选：D．
【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．
8．C
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可解决问题．
【详解】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
9．A
【分析】先根据定理证出，从而可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，再根据定理证出，从而可得，根据平行线的判定可得，从而可得，然后根据可得，最后根据三角形的面积公式即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
又，
，
，
，
（同底等高），
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的面积为，
故选：A．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三角形是解题关键．
10．C
【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确；③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确；④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误；⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，可知⑤正确．
【详解】解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴，
∴，即，
∴，
∴AD=BE，
∴①正确，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴ ，
∴PQ∥AE②正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，③正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴ ，
即DP=QE，
∵ ，
∴∠DQE≠∠CDE，
∴DE≠DP，故④错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
∴⑤正确．
故选：C．
【点拨】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．
11．9
【分析】根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可．
【详解】∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=BC=3，
∴AD+BD=3CD=9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质，线段中点即线段上一点，把这条线段分成相等的两条线段的点，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
12．3
【分析】根据等边三角形的性质及EF⊥AC，可推出∠AFE=30°，得AE=AF=AB=3．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°．
∵EF⊥AC，
∴∠AFE=30°，
∴AE=AF=AB=3，
故答案为3．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，关键是熟练掌握这些性质．
13．a
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
【详解】∵∠AON＝60°，
∴当OA＝OP＝a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定．等边三角形的判定方法：（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
14．7.5
【分析】取AB的中点G，连接DG，则可得△AGD是等边三角形，易证明△GDF≌△CDE，从而即可求得结果．
【详解】取AB的中点G，连接DG，如图．
∴
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=2.5，
∵△ABC是等边三角形，AB=5，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，，
∴AG=AD=2.5，
∴△AGD是等边三角形，
∴AD=DG=CD，∠AGD =∠ADG=60°，
∴∠DGF=∠DCE=∠GDC=120°，
∵∠EDF=120°，
∴∠GDF+∠FDC=∠FDC+∠CDE,
∴∠GDF=∠CDE，
在△GDF与△CDE中
,
∴△GDF≌△CDE．
∴FG=CE，
∴BF+CE=BF+FG=BG=2.5，
∴BE+BF=BC+CE+BF=5+2.5=7.5
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造两个全等三角形是本题的难点与关键．
15．22
【分析】作DG∥AC交BC于G，证明△DFG≌△EFC，设，则，根据求出的值和等边三角形的边长，进而可求AN的长．
【详解】解：作DG∥AC交BC于G，
∵是等边三角形，
∴，
∴∠DGB=∠ACB=60°，∠DGF=∠ECF，
∵∠DFG=∠EFC，，
∴△DFG≌△EFC，
∴，
∵∠DGB=∠ACB=60°，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
，
，
则，，
AN的长为27-5=22，
故答案为：22．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解题关键是恰当作辅助线构建全等三角形，利用全等得出线段之间的关系求解．
16．或或
【分析】先求出，，，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.
【详解】和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌（SAS），
，
，
，，，
当时，
，，
垂直平分，
，
，
；
当时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
【点拨】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.
17．1
【分析】过点P作交于点F，根据题意可证是等边三角形，根据等腰三角形三线合一证明，根据全等三角形判定定理可证，，进而证明，计算求值即可．
【详解】过点P作交于点F，如图，
∴，，是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
∴，，
∵，，
∴，
∵，
故答案为：
【点拨】本题考查了平行线性质、等边三角形性质、全等三角形判定与性质，掌握全等三角形判定定理是解题关键．
18．①②③④
【分析】连接BO，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出∠APO=∠ACO，∠APO+∠DCO=30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出∠POC=60°，再由等边三角的判定证明△OPC是等边三角形，得出PC=PO，∠PCO=60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO+AP=AC，即可得出结果．
【详解】解：连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB，
又∵OP=OC，
∴OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
又∵在等腰△ABC中∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=30°，
∴∠OBC+∠OBP=∠OCB+∠ACO，
∴∠OBP=∠ACO，
∴∠APO=∠ACO，故①正确；
又∵∠ABC=∠PBO+∠CBO=30°，
∴∠APO+∠DCO=30°，故②正确；
∵∠PBC+∠BPC+∠BCP=180°，∠PBC=30°，
∴∠BPC+∠BCP=150°，
又∵∠BPC=∠APO+∠CPO，
∠BCP=∠BCO+∠PCO，
∠APO+∠DCO=30°，
∴∠OPC+∠OCP=120°，
又∵∠POC+∠OPC+∠OCP=180°，
∴∠POC=60°，
又∵OP=OC，
∴△OPC是等边三角形，
∴PC=PO，∠PCO=60°，故④正确；
在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：
∵∠BAC+∠CAP=180°，∠BAC=120°，
∴∠CAP=60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=EP，
又∵△OPC是等边三角形，
∴OP=CP，
又∵∠APE=∠APO+∠OPE=60°，
∠CPO=∠CPE+∠OPE=60°，
∴∠APO=∠EPC，
在△APO和△EPC中，
，
∴△APO≌△EPC（SAS），
∴AO=EC，
又∵AC=AE+EC，AE=AP，
∴AO+AP=AC，故③正确；
故答案为：①②③④．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．
19．（1）；（2）见解析
【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证
（2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论，
【详解】解：（1）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∵，
∴
（2）如图，延长至F，使，连接，
由（1）得为等边三角形，
∴，
∵，
又∵，且，
∴，
在与中，
∴
∴，
∴，
∴
又∵，
∴为等边三角形
∴，
又∵，且，
∴，
【点拨】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形．
20．6
【分析】过点O作OC∥AB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出△OCF≌△OBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论．
【详解】过点O作OD∥AB交AC于点D，
∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．
∴△CDO是等边三角形，
∴DO=CO，
∴DO=BO=AD．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC．∠CAB=∠ABC=∠C=60°，
∴∠OBE=120°，
∴∠ODF=∠OBE．
∵∠FOB+∠BOE=∠EOF=120°，∠DOF+∠FOB=∠BOD=120°
∴∠FOD=∠EOB．
在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（ASA）．
∴FC=EB．OF=OE．
∵AE=AB+BE，
∴AE=AB+DF，
∴AE=AB+AD+AF，
∴AE-AF=AB+AD．
∵AB+AD=AB，
∴AE-AF=AB．
∵AB=4，
∴AE-AF=6.
【点拨】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键．
21．(1）见解析
(2)△AOD是直角三角形，理由见解析
(3)当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形
【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证；
（2）根据全等易得∠ADC=∠BOC=α=150°，结合（1）中的结论可得∠ADO为90°，那么可得所求三角形的形状；
（3）根据题中所给的全等及∠AOB的度数可得∠AOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨即可．
【详解】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD=60°，
∴△OCD是等边三角形．
（2）△AOD是直角三角形．
理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC=60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150°，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°．
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α）-（α-60°）=50°．
①当∠AOD=∠ADO时，190°-α=α-60°，
∴α=125°．
②当∠AOD=∠OAD时，190°-α=50°，
∴α=140°．
③当∠ADO=∠OAD时，
α-60°=50°，
∴α=110°．
综上所述：当α=110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点拨】题目综合考查了全等三角形的性质及等腰三角形的判定；注意应分类探讨三角形为等腰三角形的各种情况是解题关键．
22．(1）见解析 （2）见解析
【分析】（1）结合题干的∠BAC＝∠EDF＝60°，推导出两个三角形为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质即可求解；
（2）由第（1）小问的解题思路和∠BAC＝∠EDF、ED=DF这两个条件想到：在FA上截取FM＝AE，求证△AED≌△MFD，再由全等的性质可得DA＝DM＝AB＝AC，即可证△ABC≌△DAM，最后由全等的性质得AM＝BC即可求解．
【详解】（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，AB=AF
∴
∵BC=AC、CE=CD
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE，
∵AB＝AE+BE
∴AF＝AE+AD；
（2）在FA上截取FM＝AE，连接DM；AF，DE相交于点G
∵∠BAC＝∠EDF，
∴∠AED＝∠MFD，
∵AE=MF，ED=DF
∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，
即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，
∵AC=DM
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM＝BC，
∴AE+BC＝FM+AM＝AF．
即AF＝AE+BC．
【点拨】本题主要考查三角形全等的判定、全等三角形的性质、等边三角形和等腰三角形的性质等知识点，属于中难档的几何综合题．其中解题的关键是结合题干信息正确的作出辅助线．
23．(1)，证明见解析；
(2)AB=AM+AE，证明见解析．
【分析】（1）连接CM，由AB＝AC， D是BC中点得AD垂直平分线段CD， ，从而有BM=CM=ME，于是得，，即可得；
（2）AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°得，进而证明是等边三角形，得AG=AM=MG，从而证明
，即可证明AB=AM+AE，
【详解】（1）解： ，理由如下：如下图1，连接CM，
AB＝AC， D是BC中点，
AD垂直平分线段CD，即 ，
BM=CM，
ME＝MB，
BM=CM=ME，
，，
，
；
（2）解： AB=AM+AE，证明见解析，理由如下：如下图2，在线段AC上取一点G，使得AG=AM，连接MG，
AB＝AC， D是BC中点，∠BAC＝120°，
，
AG=AM，
是等边三角形，
AG=AM=MG，，
，
在和中，

，
，
EG=AE+AG，AG=AM，
AB=AM+AE．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及全等三角形的判定及性质，利用旋转思想作出手拉手全等三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）当时，,当时，
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质得，，从而可得在中，，进而即可求解；
（2）画出图形，在线段AB上取点G，使，再证明，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，证明或，进而即可得到结论．
【详解】（1）∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴,，
∵AD为ABC的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2），证明如下：
如图2，在线段AB上取点G，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为ABC的中线，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，如图3所示：
与（2）同理：在线段AB上取点H，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等腰三角形，AD为的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，如图4所示：
在线段AB的延长线上取点N，使，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及等边三角形的判定与性质，根据题意做出辅助线找全等三角形是解题的关键．