陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高一上学期第一次质量检测数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 命题“，”否定是， 设全集，集合，或，则， 已知正数满足，则的最小值为等内容，欢迎下载使用。

时间：120分钟 分值：150分
一､单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
2. 年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 设全集，集合，或，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图，是全集，是3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
5. 若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
6. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
7. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 使“”成立一个充分不必要条件是（ ）
A. 任意
B 任意
C. 存在
D. 存在
9. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （ ）
A. B. C. D.
10. 已知正数满足，则的最小值为
A. 3B. C. 4D.
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11. 已知集合，，若有三个元素，则实数a取值可以是（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
12. 下列结论不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D. 命题“，”的否定是“，”
13. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
14. 已知则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则函数的最小值为2
B. 函数的最小值为2
C. 若且，则最小值为2
D. 若且，则最小值为
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
15. 已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．
16. 已知集合若，则______.
17. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.
18. 已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，则______.
四､解答题：（共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
19. 已知集合为全体实数集，或，.
（1）若，求;
（2）若，求实数a的取值范围.
20. （1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．
21. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22. 已知，；
（1）写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围
（2）若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
23. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？长安一中2023—2024学年度第一学期第一次质量检测
高一数学试题
时间：120分钟 分值：150分
一､单项选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义求解.
【详解】命题“，”的否定是，，
故选:C.
2. 年月日凌晨点分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向对接口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由推出关系可确定结论.
【详解】由题意知：“太空握手”“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”； “空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，
“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 设全集，集合，或，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出，再求.
【详解】，所以.
故选：C
4. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题图中阴影区域，再利用集合的交、补定义及运算即可求出结果.
【详解】因为题图中的阴影部分是的子集，且不属于集合，属于集合的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是，
故选：C.
5. 若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，化简后利用基本不等式可求得其最小值为8，从而可将问题转化为，进而可求出实数的取值范围
【详解】因为，，，
所以.
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为8，
由题可知，，即.
故选：A.
6. 已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【详解】求解一元二次方程，得
，易知.
因为，所以根据子集的定义，
集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，
原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.
【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.
7. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：因为命题“，”为假命题，
所以，命题“，”为真命题，
因为集合，集合
所以，当时，，此时成立，
当时，由“，”得，解得，
综上，实数的取值范围为
故选：A.
8. 使“”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. 任意
B. 任意
C. 存在
D. 存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．
【详解】对于A，若，，当时，成立，
所以“，”推不出“”，A不满足条件；
对于B，，，则，即，
所以“，”“”，
若，则，不妨取，，，则，
所以“”推不出“”，
所以“，”是“”的充分不必要条件，B满足条件；
对于C，若，则，使得，即，
即“”“，”，
所以“，”是“”的必要条件，C不满足条件；
对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，
所以“，”推不出“”，D不满足条件.
故选：B.
9. 用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件可得，结合，易得或，由定义分类讨论方程的根计算即可.
【详解】由已知得，因为，所以或．
当时，若要满足题意，则有一个实根，即，
此时没有实根，所以符合题意；
当时，若要满足题意，有两个不等实根，
则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以，
此时的三个根为，符合题意．
综上，或，故．
故选：B．
10. 已知正数满足，则的最小值为
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意可得，
∴(当且仅当即时取等号)
∵
∴ (当且仅当时取等号)
∴即
∵∴
∴(当且仅当时取等号)
则的最小值
二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
11. 已知集合，，若有三个元素，则实数a的取值可以是（ ）
A. 2B. C. 0D. 1
【答案】ACD
【解析】
【分析】分、两种情况讨论即可.
【详解】∵有三个元素，且，，
∴分为两种情况：①当时，解得或，均符合题意；
②当时，符合题意．
综上，实数a的取值为2，1，0．
故选：ACD．
12. 下列结论不正确的是（ ）
A. “”是“”的充分不必要条件
B. “，”是假命题
C. 内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件
D. 命题“，”的否定是“，”
【答案】BC
【解析】
【分析】
利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D.
【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
，所以“，”是真命题，B错误；
由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；
根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
13. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例判断A；做差法判断BCD.
【详解】对于A：，当时，，A错误；
对于B：，由得，所以，即，B正确；
对于C：，由得，所以，即，C正确；
对于D：，
由得，所以，即，D正确.
故选：BCD.
14. 已知则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则函数的最小值为2
B. 函数的最小值为2
C. 若且，则最小值2
D. 若且，则最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，
，
当且仅当时等号成立，所以A选项错误.
B选项，，
当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C选项，，，
当且仅当时等号成立，所以C选项错误.
D选项，，，
，
当且仅当，时等号成立，
所以D选项正确.
故选：BD
三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的位置.）
15. 已知或，，若是的充分不必要条件，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得推得出，推不出，即可求出参数的取值范围；
【详解】解：因为是的充分不必要条件，所以推得出，推不出，
又或，，
所以，即；
故答案为：
16. 已知集合若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先通过集合相等以及集合中元素互异性求出，然后计算即可.
【详解】，
，
，
且，
得.
.
故答案为：.
17. 疫情期间，某社区因疫情防控需要招募志愿者进行连续3天的核酸采样工作，第一天有19人参加，第二天有13人参加，第三天有18人参加，其中，前两天都参加的有3人，后两天都参加的有4人.则这三天参加的人数最少为___________.
【答案】29
【解析】
【分析】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，作出维恩图求解即可.
【详解】记第一天，第二天，第三天参加志愿者的人员分别构成集合A，B，C，
设三天都参加的志愿者人数为，第一天和第三天均参加的志愿者人数为，
根据题意可作维恩图如图：
依题意必有均为自然数，
所以，，
故这三天参加的志愿者总人数为：
当时，总人数最少，最少人数为.
故答案为：29.
18. 已知且，其中，若，且的所有元素之和为56，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，分和，两种情况讨论，结合题意，求得的值，即可求解.
【详解】由，可得，所以，
因为，所以，
因为，所以，
①若，由，可得，则，
所以，，所以，即，
所以，所以，
即或，与矛盾.
②若，则，从而，
所以，即，所以，
所以，所以或，
又因为，所以，
则，所以，
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
四､解答题：（共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
19. 已知集合为全体实数集，或，.
（1）若，求;
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用补集及并集的定义运算即得；
（2）分，讨论，根据条件列出不等式，解之即得.
【小问1详解】
当时，，
所以或，又或，
所以或；
【小问2详解】
由题可得，
当时，则 ，即时，此时满足，
②当时，则，
所以，
综上，实数的取值范围为.
20. （1）已知,证明：；
（2）已知,证明：．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】
【分析】(1)利用作差法证明即可.
(2)利用基本不等式证明即可.
【详解】(1)因为.
因,故,即.
故成立.
(2)由基本不等式可得,故.
同理有,.
相加可得,当且仅当时取等号.
即得证.
【点睛】本题主要考查了作差法以及基本不等式证明不等式的问题,属于基础题.
21. 已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
【分析】（1）先求出集合，再求；
（2）先求出，用集合法分类讨论，列不等式，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，.
因为或，
所以或；
（2）因为或，所以.
因为“”是“”的充分不必要条件，
所以A.
当时，符合题意，此时有，解得：a<0.
当时，要使A，只需，解得：
综上：a<1.
即实数的取值范围.
22. 已知，；
（1）写出的否定，并求当的否定为真命题时，实数的取值范围
（2）若，中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据特称命题的否定为全称命题可写出否定，并转化为对任意恒成立即可求解；
（2）命题为真，则，命题为真，则，利用、有且只有一个为真时，求解的取值范围.
【小问1详解】
由题意，的否定为，
若的否定为真命题，则对任意恒成立，
所以只需，解得；
【小问2详解】
由（1）可得，当否定为真命题时，，所以当为真命题时，.
若为真命题，则对于任意的，恒成立，
因此只需，解得.
因为，中有且只有一个为真命题，所以可分为两种情况：
若为真命题，为假命题，则有或，解得；
若为假命题，为真命题，则有，解得.
综上可知，实数的取值范围是或.
23. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高.
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
【答案】（1）500名
（2）
【解析】
【分析】（1）求出剩下名员工创造的利润列不等式求解；
（2）根据题意得到，转化为在上恒成立，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
由题意得：，
即，又，所以.
即最多调整500名员工从事第三产业.
【小问2详解】
从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，
从事原来产业的员工的年总利润为万元，
则
所以
所以，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立.
所以，又，所以，
即的取值范围为.