2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市长安区第一中学高一上学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．“对任意，都有的否定形式是（    ）

A．对任意，都有 B．不存在，使得

C．存在，使得 D．存在，使得

【答案】D

【分析】运用全称命题的否定是特称命题，将任意改为存在，结论否定即可得到结果.

【详解】运用全称命题的否定是特称命题，将任意改为存在，结论否定，则对任意，都有的否定形式是存在，使得.

故选：D

2．王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】理解题意，根据“充分必要”的定义判断.

【详解】“非有志不能至”的意思是“能至”必定是“有志”，但“有志”未必“能至”；

故选：B.

3．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.

【详解】由题意，，所以,

所以.

故选：D.

4．已知实数，则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将所求代数式变形，结合基本不等式可求得的最小值.

【详解】因为，则，

则，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.

故选：A.

5．设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据并集结果可列举出集合所有可能的情况，由此可得结果.

【详解】，，

集合所有可能的结果为：，，，，

满足条件的集合共有个.

故选：D.

6．若，则不等式的解集为　　

A． B．

C．或 D．或

【答案】A

【分析】把不等式化为，根据知，写出不等式的解集即可．

【详解】解：不等式可化为，

且不等式对应方程的两根为和，

由知，，

不等式的解集为．

故选：．

【点睛】本题考查了含参不等式的解法与应用问题，属于基础题．

7．有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由，相加可得，进而得，利用可得，即可判断出大小.

【详解】，

，

，，

，，

综上可得，．

故选：A.

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力，属于基础题.

8．如图，U为全集，，，是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据集合间的关系求解即可.

【详解】图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是.

故选：C

9．命题“”是假命题的一个必要不充分条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先由命题“”是假命题求得实数m的取值范围，进而求得该必要不充分条件

【详解】为假命题，

则为真命题，则

又当时，，则，解之得

命题“”是假命题的

一个必要不充分条件是

故选：D

10．已知实数均为正数，满足，，则的最小值是  

A．10 B．9 C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式求得，则，展开后再利用基本不等式可求得的最小值．

【详解】，，，，当且仅当时，取等号．

则，

当且仅当时，且，时，的最小值为9，故选B．

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.

11．若，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，对选项逐一判断

【详解】对于A，，因为，故，即，故A错；

对于B，不确定符号，取则，故B错误；

对于C， ，因为，

故，即，故C正确；

对于D，，因为，

故，即，故D错误．

故选：C

二、多选题

12．已知集合且，则实数m的值可以为（     ）

A．1 B． C．2 D．0

【答案】ABD

【分析】先根据集合的运算结果得到集合的基本关系，再分、，三种情况讨论求实数m的值.

【详解】解：因为，所以，

当时，；

当时，；

当时，；

故选：ABD.

【点睛】本题考查利用集合的运算结果求参数、利用集合的运算结果判断集合的包含关系求参数，是基础题.

13．关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则下列正确的是（　　）

A．a<0

B．关于x的不等式bx+c>0的解集为{x|x<-6}

C．a+b+c>0

D．关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集为{x|x<-或x>}

【答案】ACD

【分析】根据给定的解集可得a<0且b=-a，c=-6a，再代入各个选项即可判断作答.

【详解】因关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-2或x>3}，则a<0，且-2，3是方程ax2+bx+c=0的二根，

于是得，解得b=-a，c=-6a，

对于A，因a<0，则A正确；

对于B，不等式bx+c>0化为：-ax-6a >0，解得x>-6，B不正确；

对于C，a+b+c=a-a-6a=-6a>0，C正确；

对于D，不等式cx2-bx+a>0化为：-6ax2+ax+a>0，即6x2-x-1>0，解得或，D正确.

故选：ACD

14．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．的最大值为1

C．的最大值为4 D．的最小值为

【答案】AB

【分析】根据基本不等式及“1”的技巧判断AB，根据重要不等式判断CD即可.

【详解】∵，

∴，

当且仅当，即时等号成立，故A正确；

，∴，当且仅当时，等号成立，故B正确；

，，当且仅当时等号成立，最大值为2，故C错误；

，当且仅当时等号成立，故D错误．

故选：AB

三、填空题

15．已知，．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据是的充分不必要条件可得相应集合之间的包含关系，从而可得实数的取值范围.

【详解】，若是的充分不必要条件，则，

但，即对应的集合是对应的集合的真子集，所以．

故填.

【点睛】（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．

16．已知集合满足，则集合的个数有________个.

【答案】

【分析】采用列举法可表示出集合，根据包含关系可求得所有可能的结果，由此可得集合的个数.

【详解】，，

集合可能的结果为：，，，，，，，，

集合的个数为.

故答案为：.

17．学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.那么只参加游泳一项比赛的有____人.

【答案】9

【分析】根据韦恩图计算得到答案.

【详解】只参加游泳一项比赛的有：.

故答案为：

18．若，使得成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】由一元二次不等式的解法整理集合，根据恒能问题理解可得，结合基本不等式运算求解.

【详解】∵，则，当且仅当，即时等号成立，

∴，

又∵，即，使得成立，

∴，则，

故实数的取值范围是.

故答案为：.

四、解答题

19．设全集，集合，.

（1）若，求；

（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）由补集、并集的定义计算；

（2）求出的补集，然后由交集定义，分类讨论可得．

【详解】（1）若，则，又或，或，所以或.

（2）由（1）知或，

①当时，，

若中只有一个整数，则，得；

②当时，，不符合题意.

综上可知，的取值范围是.

20．（1）已知，，，求证：.

（2）已知，求证：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）利用不等式的基本性质证明；

（2）利用基本不等式证明.

【详解】（1）证明：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴.

（2）证明：∵，

∴，

同理，，，，

∴，

当且仅当时等号成立，

∴.

21．已知集合，．

（1）若，求的取值范围；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】分别化简集合，

（1）根据两集合交集为空集得出的不等关系，解之即可；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则是的子集，由子集的概念可得．

【详解】

（1）因为，所以或，即或．

所以的取值范围是；

（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以，则，解得．

所以的取值范围是．

【点睛】本题考查集合的交集运算，考查集合的包含关系，属于基础题型．

22．已知命题存在实数，使成立.

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)命题任意实数，使恒成立.如果都是假命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)利用一元二次不等式恒成立问题求解；(2)将当作真命题求出的取值范围，再取补集即可.

【详解】（1）：存在实数，使成立或，

∴实数的取值范围为；

（2）：任意实数，使恒成立，∵，∴，

当且仅当即时取得等号，

∴，

由题，都是假命题，那它们的补集取交集，

∴实数的取值范围.

23．某公司销售一批新型削笔器，该削笔器原来每个售价15元，年销售18万个.

（1）据市场调查，若一个削笔器的售价每提高1元，年销售量将相应减少2000个，要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为多少元？

（2）为了提高年销售量，公司立即对该削笔器进行技术革新和销售策略改革，并提高售价到元.公司计划投入万元作为技改费用，投入30万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，该削笔器的年销售量至少达到多少万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和？并求此时每个削笔器售价？

【答案】（1）90元；（2）20万，30元.

【解析】（1）设每件零售价为元，由题意可得，从而可求出的取值范围，进而可求得答案；

（2）由题意可得当时，有解，即当时，有解，然后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得到答案

【详解】（1）设每件零售价为元，由题意可得即，

，∴.

故要使年销售总收入不低于原收入，该削笔器每件售价最多为90元.

（2）当时，有解，

当时，有解，

∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，因此，该削笔器的年销售量至少达到20万个时，才能使革新后的年销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每个削笔器售价30元.