陕西省西安市2024年高三第一次质量检测理科数学试题

这是一份陕西省西安市2024年高三第一次质量检测理科数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A=x∣y=lg2(x-2)，B=x∣2x-2≥0，则∁RA∩B=（ ）
A．(0,1)B．[1,2)C．(1,2)D．[1,2]
2．已知i为虚数单位，且z1-2i=1+2i，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．已知实数x，y满足约束条件x-y-1≤0x-2y≥0x+y-1≤0，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
4．若向量a=(m,-3),b=(3,1)，则“m<1”是“向量a,b的夹角为钝角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体各个面中，面积最大的面的面积为（ ）
A．82B．63C．46D．8
6．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为103-3m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）
A．60mB．303mC．203mD．30m
7．已知a=-π2π2csx+xdx，则在x2+x-ay6的展开式中，含x5y3的系数为（ ）
A．480B．-480C．240D．-240
8．若1sin2β=1tanβ-1tanα，则sinα-2β=（ ）
A．-12B．0C．12D．1
9．在平面直角坐标系xOy中，点A0,3，直线l:y=2x-4．设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA=2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围为（ ）
A．0,125B．0,125C．-125,125D．0,125
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1, A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件A1与A2相互独立；
②A1，A2，A3是两两互斥的事件；
③P(B|A2)=411；
④PB=922；
⑤P(A1|B)=49
A．5B．4C．3D．2
11．已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R，记g(x)=f'(x)，若f(1-2x)+4x为偶函数，g(x+2)=g(x-4)，且g-12=0，则g52+g(4)=（ ）
A．4B．6C．8D．10
12．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD,∠ABC=90∘，AB=2,BC=23.若PA=PD,PC=PB，且三棱锥P-ABC的外接球的表面积为20π，则当四棱锥P-ABCD的体积最大时，CD长为（ ）
A．3B．2C．5D．10
二、填空题
13．为了推动城乡义务教育一体化发展，某师范大学6名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作，若将这6名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为 ．
14．已知a，b为正实数，直线y=2x-a与曲线y=ln2x+b相切，则4a+1b的最小值为 ．
15．已知F1,F2分别为双曲线x22-y26=1的左､右焦点，过F2的直线与双曲线的右支交于A,B两点（其中点A位于第一象限），圆C与△AF1F2内切，半径为r，则r的取值范围是 ．
16．已知m>0，若存在实数x∈[1,+∞)使不等式m⋅2mx+1-lg2x≤0成立，则m的最大值为 ．
三、解答题
17．设Sn是数列an的前n项和，已知a1=1，an+1=12an+n,n为奇数,an-2n,n为偶数.
(1)证明：a2n-2是等比数列；
(2)求满足S2n>0的所有正整数n.
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC=CB=BA=12AD=2，AD//CB，∠CPD=∠ABC=90∘，平面PCD⊥平面ABCD.
(1)求证：PD⊥面PCA；
(2)点Q在棱PA上，设PQ=λPA0<λ<1，若二面角P-CD-Q余弦值为55，求λ.
19．某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛．已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到频率分布直方图如图：
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布Nμ,σ2，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且σ2=362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若Z~Nμ,σ2，则P(μ-σ20．椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，△OAB面积的最大值为3．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l:x=t交x轴于点P，其中t>a，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
21．已知函数f(x)=ex-a3x3-x22-2ax．
(1)若f(x)在[0,+∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)若y=f(x)的最小值为1，求a．
22．在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=1+csφy=sinφ（φ为参数），直线l的方程为x+3y-6=0．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）若点Px,y在直线l上且y>0，射线OP与曲线C相交于异于O点的点Q，求OPOQ的最小值．
23．已知函数f(x)=|x-a2+1a|+|x-1|(a>0)，g(x)=4-|x+1|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式fx≥3的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f(x)≤g(x)的解集包含1,2，求a的取值集合．
参考答案：
1．D
【分析】根据对数的性质以及指数函数的单调性化简集合，即可由集合间的运算求解.
【详解】A={x∣x>2},∁RA={x∣x≤2},B=x∣2x-2≥0⇒{x∣x≥1}，
所以∁RA∩B=[1,2]．
故选：D
2．C
【分析】根据复数的代数形式的除法运算求出z，从而得到z的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面所对应的点所在象限.
【详解】z=1+2i1-2i=1+2i21-2i⋅1+2i=-3+4i5=-35+45i，则z=-35-45i，所以对应点的坐标为-35,-45在第三象限，
故选：C．
3．B
【分析】先作出可行域，即可求出最优解代入目标函数即可.
【详解】作出不等式组x-y-1≤0x-2y≥0x+y-1≤0所表示的平面区域．
由z=2x+y得：y=-2x+z，平移直线y=-2x，
当经过点(1,0)时，z取得最大值，即zmax=2×1+0=2．
故选：B
4．B
【分析】根据向量a,b的夹角为钝角求出m的范围，即可判断“m<1”和“向量a,b的夹角为钝角”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】向量a=(m,-3),b=(3,1)，由向量a,b的夹角为钝角，
即有a⋅b=3m-3<0m×1≠(-3)×3，解得m<1且m≠-9，
即“m<1”不能推出“m<1且m≠-9”即“向量a,b的夹角为钝角”；
“向量a,b的夹角为钝角”即“m<1且m≠-9”能推出“m<1”；
故“m<1”是“m<1且m≠-9”的必要不充分条件，
即“m<1”是“向量a,b的夹角为钝角”的必要不充分条件．
故选：B．
5．A
【分析】首先把三视图转化为几何体的直观图，进一步求出几何体各个面的面积即可得出答案.
【详解】如图，在棱长为4的正方体中，C为棱的中点，三棱锥A-BCD即为该几何体．
其中△ABD为直角三角形，AB=42，BD=4，AB⊥BD，所以其面积为12×4×42=82；
△BCD为等腰三角形，BC=CD，BD=4，点C到边BD的距离为4，所以其面积为12×4×4=8；
△ABC为等腰三角形，BC=AC=25，AB=42，所以点C到边AB的距离为23，
所以其面积为12×23×42=46；
△ACD为等腰三角形，AC=CD=25，AD=43，所以点C到边AD的距离为22，
所以其面积为12×22×43=46．
综上，该几何体各个面中面积最大的面为△ABD，其面积为82．
故选：A．
6．A
【分析】先在Rt△ABM中求得AM的长度，再在△ACM中利用正弦定理求得CM的长度，进而在Rt△DCM中，求得索菲亚教堂的高度.
【详解】sin15°=sin45°-30°=sin45°cs30°-cs45°sin30° =22×32-22×12=6-24，
由题意知：∠CAM=45°,∠AMC=105°，所以∠ACM=30°，
在Rt△ABM中， AM=ABsin∠AMB= 103-36-24=206（m），
在△ACM中，由正弦定理得AMsin∠ACM =CMsin∠CAM，
所以CM=AM·sin∠CAMsin∠ACM =206×2212=403（m），
在Rt△DCM中，CD=CM·sin∠AMD=403×32=60（m）.
故选：A
7．B
【分析】根据定积分可得a=2，进而由二项式表示6个因式x2+x-2y的乘积，即可得到含x5y3 的项，即可算出答案.
【详解】∵a=-π2π2csx+xdx=12x2+sinx-π2π2=π28+1-π28-1=2,
∴x2+x-2y6 表示6个因式x2+x-2y的乘积，
在这6个因式中，有3个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x，剩下的两个因式选x2 ，即可得到含x5y3 的项，
故含x5y3的项系数是C63×-23⋅C31=-480
故选：B.
8．B
【分析】根据同角三角函数关系、二倍角公式先化简已知式子，再利用两角和差的正弦公式进行运算即可得答案.
【详解】因为1sin2β=1tanβ-1tanα，所以12sinβcsβ=csβsinβ-csαsinα=csβsinα-csαsinβsinβsinα=sinα-βsinβsinα，
即12csβ=sinα-βsinα，则2sinα-βcsβ=sinα
所以2sinα-βcsβ=sinα-β+β=sinα-βcsβ+csα-βsinβ
则sinα-βcsβ-csα-βsinβ=0，即sinα-β-β=sinα-2β=0.
故选：B.
9．D
【分析】先求得圆C的方程，再利用MA=2MO求得点M满足的圆的方程，进而利用两圆有公共点列出关于a的不等式，解之即可求得a的取值范围.
【详解】圆心C的横坐标为a，则圆心C的坐标为(a,2a-4)，
则圆C的方程(x-a)2+(y-2a+4)2=1，
设M(x,y)，由MA=2MO，
可得x2+(y-3)2=2x2+y2，整理得x2+y+12=4，
则圆(x-a)2+(y-2a+4)2=1与圆x2+y+12=4有公共点，
则2-1≤(0-a)2+(-1-2a+4)2≤2+1，
即1≤5a2-12a+9≤9，解之得0≤a≤125.
故选：D
10．C
【分析】先判断出A1，A2，A3是两两互斥的事件，且不满足PA1A2=PA1⋅PA2，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然，A1，A2，A3是两两互斥的事件，且
PA1=55+2+3=12，PA2=25+2+3=15，而PA1A2=0≠PA1⋅PA2，①错误，②正确；
PA2=25+2+3=15，PA2B=15×411=455，所以P(B|A2)=411，③正确；
PB=PBA1⋅PA1+PBA2⋅PA2+PBA3⋅PA3=12×511+411×15+310×411=922④正确；
PA1B=PA1BPB=12×511922=59，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
故选：C
11．B
【分析】根据偶函数的性质可得f(1-2x)+4x=f(1+2x)-4x，求导得g(1+2x)+g(1-2x)=4，结合g(x)的周期性即可求解.
【详解】因为f(1-2x)+4x为偶函数，所以f(1-2x)+4x=f(1+2x)-4x，
两边同时求导得-2f'(1-2x)+4=2f'(1+2x)-4，即f'(1+2x)+f'(1-2x)=4，
所以g(1+2x)+g(1-2x)=4，令x=0，得g(1)=2，
令x=-34，得g-12+g52=4，又因为g-12=0，所以g52=4，
由g(x+2)=g(x-4)，所以g(x+6)=g(x)，所以g(x)的周期为6，则g(4)=g(-2)，
而g(4)+g(-2)=4，所以g(4)=2，所以g52+g(4)=4+2=6．
故选：B
12．D
【分析】由球的表面积公式得半径，确定球心和点P在底面的投影，建立函数关系求解．
【详解】由球的表面积4πR2=20π，得R=5，
因为△ABC为直角三角形，所以P-ABC的外接球球心O在底面的投影为AC中点O'，
而PA=PD,PC=PB，故P在底面的投影为BC垂直平分线与AD垂直平分线的交点，即AD中点H，
AO'=2，OA=OP=5，可得OO'=1，
设CD=2x，则O'H=x，PH=5-x2+1
VP-ABCD=13×12×23×(2x+2)×(5-x2+1)
设y=(x+1)(5-x2+1)，令x=5sinθ,θ∈(0,π2]，则y=(5sinθ+1)(5csθ+1)=5sinθcsθ+5sinθ+5csθ+1，
y'=5cs2θ+5csθ-5sinθ=5(csθ-sinθ)(csθ+sinθ+1)，
故当0<θ<π4时，y'>0，函数单调递增，当π4<θ<π2时，y'<0，函数单调递减，
当θ=π4即x=102时，函数取最大值，此时四棱锥P-ABCD的体积最大，CD长为10．
故选：D

13．540
【分析】先将6名毕业生分成3组，结合平均分组和不平均分组公式，得到分配方案数，再进行全排列，求出答案.
【详解】第一步将6名毕业生分成3组，且每组至少1人，一共有3种分配方案，
其中1、1、4分配方式有C64C21C11A22=15种；
1、2、3，分配方式有C61C52C33=60种；
2、2、2，分配方式有C62C42C22A33=15种，
第二步将分好的3组毕业生分配到3所乡村小学，其分法有A33=6种，
利用分步计数原理可知，分配方案的总数为(15+60+15)×6=540．
故答案为：540
14．9
【分析】由直线y=2x-a与曲线y=ln2x+b相切可得a+b=1，后由基本不等式可得答案.
【详解】设切点为x0,y0，ln2x+b'=22x+b，则切线斜率可表示为22x0+b,由题有22x0+b=2⇒2x0+b=1.又切线可表示为：
y=22x0+bx-x0+ln2x0+b=2x-a⇒a=2x02x0+b-ln2x0+b，代入2x0+b=1可得a=2x0⇒a+b=1，又a，b为正实数，则4a+1b=4a+1ba+b=4ba+ab+5≥24ba⋅ab+5=9，当且仅当4ba=ab，即a=23,b=13时取等号.
故答案为：9.
15．63,6
【分析】设圆C与△AF1F2分别切于M,N,E，利用圆的切线性质和双曲线定义可求得E(a,0)，同时知CF2为∠AF2F1的角平分线，设直线AB的倾斜角为θ，可求得r=2⋅1tanθ2，结合双曲线渐近线的倾斜角可确定θ的范围，由此可确定r的范围.
【详解】由双曲线方程知：实半轴长a=2，虚半轴长b=6，F2(c,0)且c=22，
设圆C与△AF1F2分别切于M,N,E，如下图所示：

由圆的切线性质知：|AN|=|AM|，|F1N|=|F1E|，|F2M|=|F2E|
由双曲线定义知：|AF1|-|AF2|=2a=|F1N|-|F2M|，即|F1E|-|F2E|=2a，
设E(x0,0)，则x0+c-(c-x0)=2a，解得：x0=a，
由切线性质可知：C与E横坐标都为a，
由三角形内切圆的性质知：CF2为∠AF2F1的角平分线，
设直线AB的倾斜角为θ，则∠CF2E=π-θ2，
∵|EF2|=c-a=2，
∴r=|CE|=|EF2|⋅tan∠CF2E=(c-a)tan(π-θ2)=2⋅1tanθ2，
∵双曲线x22-y26=1渐近线为：y=±3x，∴其倾斜角分别为π3和2π3，
又直线AB与双曲线的右支交于A,B两点，∴直线AB的倾斜角θ范围为(π3,2π3)，
则θ2∈(π6,π3)，∴tanθ2∈(33,3)，∴r=|CE|=2⋅1tanθ2∈(63,6).
故答案为：(63,6).
【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥曲线中的参数范围的求解问题，解题关键是能够将所求的r表示为关于直线AB倾斜角θ的函数的形式，根据θ的范围，结合正切函数值域的求解方法可求得范围.
16．1eln2
【分析】画出y=ax和y=lgax的图象，结合图象可知，m取得最大值时，y=ax与y=lgax相切，利用导数的几何意义得答案.
【详解】依题意m>0，存在实数x∈[1,+∞)使不等式m⋅2mx+1-lg2x≤0成立，
m⋅2mx⋅2-2lg2x≤0，2mx-1m⋅lg2x≤0,(2m)x-lg2mx≤0，
令a=2m,a>1，则存在实数x∈[1,+∞)使不等式ax-lgax≤0,ax≤lgax，成立.
y=ax和y=lgax的图象如下图所示，
结合图象可知，m取得最大值时，y=ax与y=lgax相切，
由于y=ax和y=lgax关于直线y=x对称，
所以m取得最大值时，y=ax与y=lgax相切于直线y=x（切点相同），如图所示.
y=lgax⇒y'=1x⋅lna，设切点为(t,lgat)，则斜率为1tlna=1⇒t=1lna①.
y=ax⇒y'=ax⋅lna，设切点为(t,at)，则斜率atlna=1，
则{at=lgatatlna=1tlna=1，lgat⋅lna=lnt=1⇒t=e，
将t=e代入①得e=1lna，即lna=1e，
所以ln2m=1e,mln2=1e,m=1eln2
故答案为：1eln2
【点睛】本题中，结合化归与转化、数形结合的数学思想方法使得解题简便快捷，并且非常直观.
17．(1)证明见解析
(2)正整数n为1，2
【分析】（1）由定义能证明数列a2n-2是等比数列；
（2）由a2n-2=-12⋅12n-1，得a2n-1+a2n=8-4n-3⋅12n，从而S2n=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-1+a2n=-2n-322+32+3×12n；
由求和式子由此能求出满足S2n>0的所有正整数n的值．
【详解】（1）由已知得a2n+2=12a2n+1+2n+1=12a2n-4n+2n+1=12a2n+1，
所以a2n+2-2=12a2n-2，
其中a2=32，a2-2=-12≠0，
所以a2n-2是以-12为首项，12为公比的等比数列；
（2）由（1）知a2n-2=-12⋅12n-1，
所以a2n=-12n+2，
a2n-1=6-4n-12n-1，
所以a2n-1+a2n=8-4n-3⋅12n，
所以S2n=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-1+a2n
=8n-41+2+⋅⋅⋅+n-312+122+⋅⋅⋅+12n=-2n2+6n-3+3×12n
=-2n-322+32+3×12n，
当n≥2时，S2n单调递减，其中S2=52，S4=74，S6=-218，
所以满足S2n>0的所有正整数n为1，2.
18．(1)证明见解析
(2)λ=12
【分析】（1）根据四边形AECB为平行四边形可得CE=12AD，知AC⊥CD，由面面垂直和线面垂直性质可得AC⊥PD，结合PD⊥PC可证得结论；
（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可构造方程求得λ.
【详解】（1）取AD中点E，连接AC，CE，

∵AD//CB，AE=CB，∴四边形AECB为平行四边形，∴AB=CE，
又AB=12AD，∴CE=12AD，∴AC⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊂平面ABCD，
∴AC⊥平面PCD，又PD⊂平面PCD，∴AC⊥PD，
∵∠CPD=90∘，即PD⊥PC，又AC∩PC=C，AC,PC⊂平面PCA，
∴PD⊥平面PCA.
（2）取CD中点F，连接PF，
∵PC=PD，∴PF⊥CD，
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PF⊂平面PCD，
∴PF⊥平面ABCD，
以C为坐标原点，CD,CA正方向为x,y轴正方向，作z轴平行于直线PF，可建立如图所示空间直角坐标系，

则A0,22,0，P2,0,2，C0,0,0，D22,0,0，
∴PA=-2,22,-2，CD=22,0,0，CP=2,0,2，
∴PQ=λPA=-2λ,22λ,-2λ，∴CQ=CP+PQ=2-2λ,22λ,2-2λ，
设平面CDQ的法向量n=x,y,z，
则CD⋅n=22x=0CQ⋅n=2-2λx+22λy+2-2λz=0，令y=λ-1，解得：x=0，z=2λ，∴n=0,λ-1,2λ；
∵平面PCD⊥y轴，∴平面PCD的一个法向量m=0,1,0，
∴csm,n=m⋅nm⋅n=λ-1λ-12+4λ2=55，解得：λ=12，满足0<λ<1，
∴λ=12.
19．(1)813，分布列见解析，E(X)=34
(2)有资格参加复赛
【分析】（1）根据超几何分布的概率计算即可求解分布列，
（2）根据正态分布的对称性即可求解.
【详解】（1）预赛成绩在[60,80)范围内的样本量为：0.0125×20×100=25，
预赛成绩在80,100范围内的样本量为：0.0075×20×100=15，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X，可能取值为0,1,2，则P(X≥1)=C151C251+C152C250C402=813，
又P(X=0)=C252C402=513,P(X=1)=C251C151C402=2552,P(X=2)=C152C402=752，
则X的分布列为：
故E(X)=0×513+1×2552+2×752=34．
（2）μ=x=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.0125+90×0.0075)×20=53，
σ2=362，则σ≈19，又Z~N(53,362)，
故P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=12[1-P(μ-2σ故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有12000×0.02275=273人，
因为273<300，故小明有资格参加复赛，
20．(1)x24+y23=1
(2)6
【分析】（1）由离心率为12可得b=32a，又△OAB面积的最大值为12ab=3，联立方程求解即可得答案；
（2）设直线BC方程为x=my+t，与椭圆方程联立，由韦达定理可得y1+y2=-6mt3m2+4 , y1y2=3t2-123m2+4，又yM=y1(t-2)x1-2，yN=y2(t-2)x2-2，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得PA⋅PO=PM⋅PN，即t(t-2)=yMyN，根据韦达定理化简可得yMyN=y1y2(t-2)2x1-2x2-2=34(t+2)(t-2)，从而即可求解.
【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c，则ca=12，即c2a2=1-b2a2=14，得b=32a，
设Bx1,y1 , S△OAB=12ay1，由y1≤b，所以S△OAB的最大值为12ab，
将b=32a代入12ab=3，有34a2=3，解得a=2,b=3，
所以椭圆的标准方程为x24+y23=1；
（2）解：设Cx2,y2，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为x=my+t，与椭圆方程联立得3m2+4y2+6mty+3t2-12=0，
Δ=36m2t2-123m2+4t2-4>0，可得t2<3m2+4，
由韦达定理可得y1+y2=-6mt3m2+4 , y1y2=3t2-123m2+4，
直线BA的方程为y=y1x1-2(x-2)，令x=t得点M纵坐标yM=y1(t-2)x1-2，
同理可得点N纵坐标yN=y2(t-2)x2-2，
当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得PAPO=PM⋅PN，即t(t-2)=yMyN，
yMyN=y1y2(t-2)2x1-2x2-2=y1y2(t-2)2my1+t-2my2+t-2=y1y2(t-2)2m2y1y2+m(t-2)y1+y2+(t-2)2
=3t2-4(t-2)23m2t2-4-6m2t(t-2)+3m2+4(t-2)2 =3(t+2)(t-2)23m2(t+2)-6m2t+3m2+4(t-2) =3(t+2)(t-2)24(t-2)=34(t+2)(t-2)，
由t>2，故t(t-2)=34(t+2)(t-2)，解得t=6．
21．(1)-∞,12
(2)a=12
【分析】（1）由f'(x)=ex-ax2-x-2a≥0在区间[0,+∞)上恒成立，则a≤ex-xx2+2min，即可得出答案；
（2）由f(x)=ex-a3x3-x22-2ax，得f(0)=1，求导分析单调性、最值，即可得出答案.
【详解】（1）因为f(x)在[0,+∞)上单调递增，
所以f'(x)=ex-ax2-x-2a≥0在区间[0,+∞)上恒成立，所以a≤ex-xx2+2min，
令g(x)=ex-xx2+2，则g'(x)=ex-1x2+2-ex-x⋅2xx2+22，
令h(x)=ex-1x2+2-ex-x⋅2x，则h'(x)=exx2+2+ex-1⋅2x-ex-1⋅2x-ex-x⋅2=x2ex+2x．
当x≥0时，h'(x)≥0,h(x)单调递增，h(x)≥h(0)=0，
所以g'(x)≥0，所以g(x)在[0,+∞)上单调递增，
故g(x)min=g(0)=12，所以a≤12．a的取值范围为-∞,12．
（2）由f(x)=ex-a3x3-x22-2ax，得f(0)=1，
所以f'(x)=ex-ax2-x-2a ,f'(0)=1-2a，
令k(x)=f'(x)=ex-ax2-x-2a，则k'(x)=ex-2ax-1，
令l(x)=k'(x)=ex-2ax-1，则l'(x)=ex-2a，
当a=12时，f(x)=ex-16x3-x22-x,f'(x)=ex-x22-x-1，
则k'(x)=ex-x-1,l'(x)=ex-1，
当x<0时，l'(x)<0,k'(x)在(-∞,0)上单调递减，当x≥0时，l'(x)≥0,k'(x)在[0,+∞)上单调递增，
k'(x)≥k'(0)=0,k(x)在(-∞,+∞)上单调递增，且k(0)=0，
所以，当x<0时，k(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(-∞,0)上单调递减，
当x>0时，k(x)>0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以f(x)min=f(0)=1，所以a=12成立，
当a>12时，当0k(x)=f'(x)=ex-ax2-x-2a在(0,ln2a)上单调递减，
因为f'(x)当a≤0时，当x<0时，k'(x)=ex-2ax-1<0，
f'(x)在(-∞,0)上单调递减，f'(x)>f'(0)=1-2a>0,f(x)在-∞,0)上单调递增，f(x)当00，k'(x)在(ln2a,0)上单调递增，k'(x)f'(0)=1-2a>0,f(x)在(ln2a,0)上单调递增，
此时，f(x)综上，a=12．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性与导函数的关系，解题关键是利用f(x)在区间a,b单调递增等价f'(x)≥0在区间a,b恒成立，然后分离参数，利用导数研究新构造函数的最小值，
22．（1）C:ρ=2csθ，l:ρsinθ+π6=3；（2）2.
【分析】（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，再由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C的极坐标方程，直接利用普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线l的极坐标方程；
（2）设点P的极坐标为ρ1,θ，点Q的极坐标为ρ2,θ，0<θ<π2，求得OP=ρ1=6csθ+3sinθ，OQ=ρ2=2csθ，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可求得OPOQ的最小值.
【详解】（1）由曲线C的参数方程，得曲线C的普通方程为x-12+y2=cs2φ+sin2φ=1．
即x2+y2=2x，
由极坐标与直角坐标的互化公式x=ρcsθ，y=ρsinθ，得曲线C的极坐标方程为ρ=2csθ.
直线l的极坐标方程为ρcsθ+3ρsinθ-6=0，即ρsinθ+π6=3；
（2）设点P的极坐标为ρ1,θ，点Q的极坐标为ρ2,θ，其中0<θ<π2．
由（1）知OP=ρ1=6csθ+3sinθ，OQ=ρ2=2csθ．
∴OPOQ=ρ1ρ2=62cs2θ+23sinθcsθ=61+cs2θ+3sin2θ=61+2sin2θ+π6．
∵0<θ<π2，∴π6<2θ+π6<7π6．∴-12当sin2θ+π6=1，即θ=π6时，OPOQ取得最小值2．
【点睛】方法点睛：在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．
23．（Ⅰ）-∞,0∪[3,+∞)；（Ⅱ）1.
【分析】（Ⅰ）由a=1时，得到函数fx=-2x+3,x≤11,12，分类讨论，即可求得不等式的解集；
（Ⅱ）由已知关于x的不等式fx≤gx解集包含1,2，等价于x-a2+1a+x-1≤4-x+1|在x∈1,2恒成立，进而得到a+1a≤4-x在x∈1,2恒成立，由此可求解实数a的取值范围．
【详解】（Ⅰ）由题意，当a=1时，函数fx=-2x+3,x≤11,12，
当x≤1时,fx=-2x+3≥3，解得x≤0;
当1当x≥2时，fx=2x-3≥3 解得x≥3；
所以fx≥3的解集为-∞,0∪[3,+∞).
（Ⅱ）由已知关于x的不等式fx≤gx解集包含1,2，
等价于x-a2+1a+x-1≤4-x+1|在x∈1,2恒成立，
因为a>0,a2+1a≥2，所以x∈1,2不等式a2+1a-x+x-1≤3-x恒成立
即a+1a≤4-x在x∈1,2恒成立，即a+1a≤2，
又a>0,a+1a≥2，所以a=1，
故a的取值集合是1.
【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解，以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．
X
0
1
2
P
513
2552
752