西安市长安区第一中学2023届高三上学期第一次质量检测数学（文）试卷（Word版附答案）

长安一中2020级高三第一次质量检测

数学（文科）试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．已知复数，且，，则（    ）

A．1 B． C．0 D．

3．已知向量＝(3，1)，＝(2，λ)(λ∈R)，若⊥，则(    )

A．5 B． C． D．10

4．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

5．若变量满足约束条件，则的最小值为(    )

A．1           B．2           C．3             D．4

6．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）   

 A．2          B．   C．         D．4

7．在如图所示的程序框图中，输入，则输出的数等于（    ）

A． B． C． D．

8．函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A．         B．   

C．         D．

9．在正方体中，P，Q分别为AB，CD的中点，则（    ）

A．平面      B．平面平面

C．平面      D．平面平面

10．设正项等比数列的前4项和为90，且，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

11．函数的最小值为（    ）

A． B． C．-1 D．0

12．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为　　

A．       B．     C．        D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．等差数列的前n项和为，若，，则_____．

14．从2名教师，3名学生中选出1名教师，2名学生组成辩论队，学生A恰被选中的概率是_______.

15．过四点，，，中的三点的一个圆的方程为______.

16．若是奇函数，则_____，______．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．（12分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)证明：；

(2)记的面积为S，若，求的值．

18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为的中点，平面交侧棱于点，且四边形为平行四边形．

（1）求证：平面平面；

（2）当时，求四棱锥的体积．

19．（12分）近年来，国民经济的增长和社会结构的变化推动宠物饲养成为很多人精神消费的主要方式，使得近几年中国宠物市场规模逐年增长，下表为2016～2020年中国宠物市场规模y（单位：千亿元），其中2016～2020年对应的年份代码x依次为1～5．

(1)由表中数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；

(2)求y关于x的线性回归方程，并预测2022年中国宠物市场规模．

参考数据：，，，．

参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．

20．（12分）已知函数.

(1)若，求的极值.

(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围.

21．（12分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为

（1）求椭圆的标准方程.

（2）若直线与椭圆相交于两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

曲线的参数方程为为参数），曲线的直角坐标方程为．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程和的极坐标方程；

（2）若直线与曲线，的交点分别为，，异于原点），当斜率时，求的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知、、为正数，且满足.证明：

（1）；（2）.

数学（文科）答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1-6  BCBBAD   7-12  BADCCB

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.7      14.      15.或

或或

16. 

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（1）证明：将两边平方，

得，

即，

由正弦定理可得，

所以，，所以，

所以，即．

（2）由，解得，

且，

所以．

由余弦定理可得，

即，所以．

18．解：（1）证明：是平行四边形，，

，，是中点，，

，

，，，

底面，，

，平面，

平面，平面平面．

（2）解：由（1）知，

，，，

，由底面，得，平面，

点到平面的距离为1，

四棱锥的体积：

．

19.(1)由题意得，，，，，

，

∴．

因为y与x的相关系数近似为0.971，趋近于1，说明y与x的线性相关程度相当强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；

(2)

由（1）得，

，

所以y关于x的线性回归方程为，

2022年对应的年份代码为7，代入，

得，

所以预测2022年中国宠物市场规模为3.632千亿元．

20．（1）解：因为定义域为，

所以，

当时，，，令得

当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以的极小值为，无极大值.

（2）解：因为，

①若，当时恒成立，所以在上单调递增

要使方程在上有解，则

即 得 ，因为，所以.

②若，当时恒成立，所以在上单调递减，

此时不符合条件.

③若，当时，，当时，

所以在上单调递减，在上单调递增，

此时，，要使方程在上有解，则需，

解得，所以.

综上可知，的取值范围为

21：解：（1），设左焦点

，解得

    椭圆方程为

（2）由（1）可知椭圆右顶点

设，以为直径的圆过

即  

  ①

联立直线与椭圆方程：

      ，代入到①

或

当时，   恒过

当时，   恒过，但为椭圆右顶点，不符题意，故舍去

恒过

22．解：（1）由消得，即

将，，代入，得：

的极坐标方程为，

的极坐标方程为．

（2）设直线的极坐标方程为，，，

联立方程可得，

所以，

又，则有，

即

综上的取值范围为

23．证明：（1）∵、、为正数，，

∴   

，  

∴；  

（当且仅当时取等）

（2）由；；

，

将上述三个不等式相加得：，  

又,,，

同理，将上述三个不等式相加得：，   

而，∴，当且仅当时，等号成立.