陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析）

这是一份陕西省西安市长安区第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题（Word版附解析），共28页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A 10B. 12C. 20D. 24
8. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A
B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
10. 已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线可以是圆
B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 当曲线是双曲线时，其焦距为8
11. 已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A. 与异面直线
B. 与所成角的大小为45°
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 二面角的余弦值为
12. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ）
A. 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条
B. 的最小值为
C. 若的内切圆与圆外切，则圆的半径为
D. 过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）
13. 抛物线准线方程为_______.
14. 直线与直线平行，则实数的值为______.
15. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
16. 椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.
四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，求的值域.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线的长为，求的面积.
20. 已知圆过点和，且与直线相切．
（1）求圆方程；
（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．
21. 如图，在四棱锥中，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
22. 在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（1）求面积的最大值；
（2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.长安一中2023-2024学年度第一学期期中考试
高二数学试题
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.
【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，即.
故选：D
2. 已知直线交圆于，两点，则（为坐标原点）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，再结合圆的的弦长公式，求得，利用三角形的面积公式，即可求解.
【详解】由题意，圆，可得圆心，
则圆心 到直线的距离为，
所以，
所以.
故选：B.
3. 已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得.
【详解】因为共面，则存在实数，使得使，
即，即，
解得，则，
所以则在上的投影向量的模为.
故选：A.
4. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.
【详解】
以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值等于
.
故选：B
5. 已知点在椭圆上，点，分别为椭圆的左、右焦点，满足，的面积为，椭圆的焦距为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件求得，结合勾股定理得，即可得，可得答案.
【详解】椭圆的焦距为，则，
由，的面积为，得，即，
又，
所以，即，，
又，则，
则椭圆标准方程为．
故选：D．
6. 设直线，直线，则关于对称的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案.
【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，
则，解得，
∵点在直线上，即，
∴，化简得，即为所求直线方程.
故选：B.
7. 抛物线的焦点到圆上点的距离的最大值为（ ）
A. 10B. 12C. 20D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】求出抛物线焦点，化为点到圆上点的距离最大值问题：点到圆心距离与半径之和.
【详解】
由方程知抛物线焦点，
由圆方程知圆心半径为2,
此时，
所以焦点到圆上点距离最大值为.
故选：B
8. 已知圆的半径为2，过圆外一点作圆的两条切线，切点为，，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，根据长度表示出，然后根据向量的数量积计算公式求解，结合基本不等式求解出的最小值.
【详解】如图，
设，则，
因为，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为，
故选：C.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 椭圆的离心率
C. 面积的最大值为
D. 以线段为直径的圆与直线相切
【答案】AB
【解析】
【分析】由椭圆方程得出，由椭圆的定义判断A；由离心率公式判断B；面积，结合的范围判断C；根据圆心到直线的距离与半径的关系判断D．
【详解】因为椭圆C的方程，故，
由椭圆的定义可知，故A正确；
离心率，故B正确；
面积，而，
∴面积最大值为，故C错误；
∵，
∴以线段为直径的圆的方程，其圆心为，半径为1，
又直线方程为，∴圆心到直线的距离为，
∴以线段为直径的圆与直线相离，故D错误．
故选：AB．
10. 已知方程所表示的曲线为，则下列说法中正确的有（ ）
A. 曲线可以是圆
B. 当时，曲线是焦点在轴上的椭圆
C. 当时，曲线是焦点在轴上的双曲线
D. 当曲线是双曲线时，其焦距为8
【答案】BCD
【解析】
【分析】A只需判断能否成立即可；B、C根据椭圆、双曲线焦点位置特征列不等式求参数范围判断；D根据已知方程，由双曲线参数关系求焦距.
【详解】A：显然恒成立，故曲线为不可能为圆，错；
B：曲线是焦点在轴上的椭圆，只需，对；
C：曲线是焦点在轴上的双曲线，只需，对；
D：曲线是双曲线，则，即，，
所以焦距为，对.
故选：BCD
11. 已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A. 与是异面直线
B. 与所成角的大小为45°
C. 与平面所成角的余弦值为
D. 二面角的余弦值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据异面直线的概念可判断A，建立空间直角坐标系，用向量的方法可判断BCD．
【详解】根据异面直线的概念可得“平面内一点与平面外一点的连线，与此平面内不经过该点的直线是异面直线异面直线”可知A正确；
以原点，，分别为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为2，， ， ， ，
所以， ，
设与所成角的大小为，
则，
所以，故B错误；
由题意可知，平面的法向量可取，
，
设与平面所成角为，则，
所以与平面所成角的正弦值为，,故C错误；
， ，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
则，
又因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为，故D正确.
故选：AD．
12. 已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于点（为坐标原点），则（ ）
A. 过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条
B. 的最小值为
C. 若的内切圆与圆外切，则圆的半径为
D. 过点作轴的垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于点，则（为直线斜率，为直线斜率）
【答案】AD
【解析】
【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数判断A；根据，结合双曲线定义判断B；设，由两圆外切可构造方程求得圆的半径判断C；设直线，可求得，从而将化为，利用基本不等式可判断D.
【详解】
A：由双曲线渐近线为，点在双曲线外，
过作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点，
过作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点，
综上，过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，对；
B：由双曲线方程知，焦点为，故圆的圆心为双曲线的左焦点，
所以，
，当且仅当三点共线时取等号，
，当且仅当三点共线时取等号，
所以，错；
C：若为焦点三角形内切圆与x轴的切点，
由双曲线定义、圆切线长定理有，
所以，故的内切圆的圆心必在上，
设，圆半径为，又圆与圆外切，则，得，
所以的内切圆半径为，错；
D：设，，则，故，
所以，
又，所以，
所以，对.
故选：AD
【点睛】关键点睛：对于D，根据对称性设点坐标，应用斜率两点式求得为定值，进而得到关于所设参数的表达式为关键.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应位置.）
13. 抛物线的准线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线方程求出，判断焦点位置，从而可得答案.
【详解】因为抛物线方程为，
所以，
又因为抛物线焦点在轴上，
所以抛物线的准线方程为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题.
14. 直线与直线平行，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用两直线平行时，利用法向量平行求解，求解出实数的值后需要代入直线验证是否平行，若直线重合则不符合题意应舍去.
【详解】法一：
直线的法向量为：；
直线的法向量为：；
由于两直线平行，则法向量平行，
所以，得到，
当时，两直线重合，不符合题意；
当时，两直线平行，故；
法二：
直线的斜率为；
直线
当时，两直线不平行；
当时，斜率为;
因为两直线平行，则
所以，则
当时，两直线重合，不符合题意；
当时，两直线平行，故
故答案为：
15. 已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】两个向量的夹角为钝角等价于且与不共线.
【详解】由；
由.
综上：且.
故答案为：.
16. 椭圆：的左，右焦点分别为，，上顶点为，离心率为，直线将分成面积相等的两部分，则的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件求得，根据直线与轴的交点的位置进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【详解】依题意，，解得，
所以椭圆的方程为，
由于，，
所以是等腰直角三角形，
所以，
直线的方程为，直线的方程为，
设直线与的交点为，与轴的交点为，
①当与重合时，，则，
所以，解得.
②当在之间时，，
所以，
由解得，，
由令，得，
所以，所以，
整理得，由解得.
③当在左侧，则，，
设直线与的交点为，
由解得，
因为，
所以，
，所以，
所以，
所以.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：
【点睛】求解椭圆的方程，关键点是根据已知条件求得，是个未知数，需要个条件，其中一个条件是，另外的两个条件由题目给出，如本题中的点坐标以及离心率，通过解方程组可求得，进而求得椭圆的方程.
四、解答题（本大题共60分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）设，求值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由三角恒等变换公式化简，再由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，
【小问2详解】
因为，所以，所以，
即，所以在上的值域为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面为中点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦值，再利用三角函数的基本关系求线面角的余弦值即可.
【小问1详解】
连接，交于点，连接，∵为中点，为中点，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，得.
设直线与平面所成角为，则，
∴，
∴，即直线与平面所成角的余弦值为.
19. 在中，内角，，所对的边分别为，，，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线的长为，求的面积.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦边角关系及三角恒等变换可得，结合三角形内角性质即可求的大小；
（2）由余弦定理可得，根据，结合数量积的运算律有，联立所得方程求得，最后应用三角形面积公式求面积.
【小问1详解】
由已知及正弦定理得，
则，
在中，故，又，故.
【小问2详解】
由，得，
由题意，则，
即，解得，
故的面积为.

20. 已知圆过点和，且与直线相切．
（1）求圆的方程；
（2）设为圆上的任意一点，定点，当点在圆上运动时，求线段中点的轨迹方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据弦的垂直平分线过圆心可知，圆心在线段的垂直平分线上，先求的垂直平分线，设圆心，半径，根据直线与圆相切可得圆心到直线的距离等于半径，从而可求得圆心坐标，可得圆的标准方程；
（2）设M点坐标为，P点坐标为，由中点坐标公式可用分别表示，将点代入圆的方程从而可得关于点M的轨迹方程．
【小问1详解】
圆心显然在线段的垂直平分线上，
设圆心为，半径为，则圆的标准方程为，
由点在圆上得：，
又圆与直线相切，有．
于是，解得，或，
所以圆的标准方程为或.
【小问2详解】
设点坐标为，点坐标为，
由为的中点，，则，即
又点在圆上，
若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为．
若圆的方程为，有，
则，整理得：，
此时点的轨迹方程为，
综上，点的轨迹方程为或.
21. 如图，在四棱锥中，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）若，点是中点，且四棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面与平面垂直的判定定理证明；
（2）由题意，证明是三棱锥的高，由四棱锥的体积为即可求出，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用夹角公式即可求解.
【小问1详解】
证明：由题意知为等边三角形，
所以，又，所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
所以，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
小问2详解】
取的中点，连接，，
则，又，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，即是三棱锥的高.
因为点是中点，
所以，
解得.
又平面，所以.
取中点，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，所以，，
，，
设平面的一个法向量为，
所以，
令，解得，，
所以平面的一个法向量为.
设平面的一个法向量为，则，
令，解得，，所以平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角的大小为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
22. 在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（1）求面积的最大值；
（2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）设直线l为与椭圆方程联立，将表达为k的函数，由基本不等式求最大值即可.
（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于y轴对称点，证得三点共线得到成立.
【小问1详解】
依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线为，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.
【小问2详解】
当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（1）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.