八年级上学期期末数学试题 (162)

这是一份八年级上学期期末数学试题 (162)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
※温馨提示：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（每小题2分，共20分）
1. 下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义.
2. 下列运算正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，零指数幂运算法则，积的乘方与幂的乘方运算法则以及完全平方公式解答再进行判断即可
【详解】解：A. 与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
B. ，计算正确，故本选项符合题意；
C. ，故本选项计算错误；
D. ，故本选项计算错误；
故选：B
【点睛】本题主要考查了合并同类项，零指数幂运算，积的乘方与幂的乘方运算以及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键
3. 下列各式中，是分式的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式方程的定义进行判断即可．
【详解】解：、、是整式不是分式，是分式，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式定义，一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．
4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件进行解答即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握要使分式有意义，则分母不等于零．
5. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为 （ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式可直接求出多边形的边数．
【详解】设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理得(n-2)×180°=540°，
解得n=5；
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，熟记多边形的内角和为(n-2)×180°是解题的关键．
6. 若分式中x和y的值都扩大到原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 扩大到原来的2倍B. 扩大到原来的4倍
C. 缩小到原来的D. 不变
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的性质变形求解即可得出结论．
【详解】当x，y都扩大2倍后，原式=，
则分式的值没改变，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的性质，理解分式的性质是解题关键．
7. 等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是（ ）
A. 55°，55°B. 70°，40°或70°，55°C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等腰三角形的定义，分的内角为顶角和的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】（1）当的内角为这个等腰三角形的顶角
则另外两个内角均为底角，它们的度数为
（2）当的内角为这个等腰三角形的底角
则另两个内角一个为底角，一个为顶角
底角为，顶角为
综上，另外两个内角的度数分别是或
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键．
8. 若关于x的方程无解，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解分式方程得到，再根据分式方程无解，即分式方程有增根即可得到关于m的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
解得，
∵关于x的方程无解，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式方程无解的问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．
9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（ ）
A. 8cmB. 9 cmC. 10 cmD. 11 cm
【答案】D
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，得出△ABD周长=AB+BC即可．
【详解】∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，
∴AD＝DC，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC，
∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，
∴BC＝11cm，
故选：D．
【点睛】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答．
10. 如图，在中，，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于G，下列结论：①；②；③；④；⑤是等腰三角形．其中正确的有（ ）
A. 5个B. 2个C. 4个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】只要证明、，即可判断①②正确，根据角平分线的定义利用即可判断③；过G作于点M，根据角平分线定理，结合，可得，又可得，即可判断④错误，证明可判断⑤正确．
【详解】①，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
，
．故①正确；
②平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，
又，
，
即：，故②正确；
③，平分，
，
，
，
，故③正确；
④如图所示，过G作于点M，
为等腰直角斜边BC的中点，
，即，
又平分，，
，
又，
，
又
，
，，
，故④错误；
⑤，，，
，
又，
，
为等腰三角形，故⑤正确．
正确的为①②③⑤，共计4个，
故选：C．
【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识点的综合运用，第四个问题难度比较大，添加辅助线是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 世界上最小的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂，体长仅0.00021米，用科学记数法表示体长为________米．
【答案】
【解析】
【分析】确定所有零的个数n，省略所有的零，把小数点点在第一个非零数字的右边，得到a，把小数写成即可．
详解】∵0.00021=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了小于1的数的科学记数法，指数的确定方法是解题的关键．
12. 已知三角形的三边长为3、7、，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13. 如果是完全平方式，则k的值是________ ．
【答案】±12
【解析】
【分析】根据完全平方公式即可得到结论．
【详解】解：∵是完全平方公式，
∴=（x+6y）2或者=（x-6y）2，
∴k=+12或k=-12，
故答案为：±12．
【点睛】本题考查完全平方公式，注意完全平方公式中间项是±2ab．
14. 已知，则分式的值为__________．
【答案】####
【解析】
【分析】将变形为再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的值，将变形为将变形为是正确解答的关键．
15. 如图，AD是的角平分线．，垂足为F，，和的面积分别为64和42，则的面积为________．
【答案】11
【解析】
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，再利用“HL”证明Rt△ADF和Rt△ADH全等，Rt△DEF和Rt△DGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．
【详解】如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△ADF和Rt△ADH中，
，
∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），
∴SRt△ADF＝SRt△ADH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴SRt△DEF＝SRt△DGH，
∵△ADG和△AED的面积分别为64和42，
∴42＋SRt△DEF＝64−SRt△DGH，
∴SRt△DEF＝11．
故答案为11．
【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
16. 如图，在中，一条线段，P，Q两点分别在和过点A且垂直于射线上运动使和全等，则_______．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当时，当P运动到与C点重合时，，结合全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：当时，
∵，
在与中，
，
∴，
即；
②当P运动到与C点重合时，，
在与中，
，
∴，
即，
∴当点P与点C重合时，和全等．
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
三、解答题（第17题16分，第18题8分，共计24分）
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法进行计算，然后合并同类项即可求解；
（2）根据多项式乘以多项式，然后合并同类项即可求解；
（3）根据多项式除以单项式进行计算即可求解；
（4）根据平方差公式与完全平方公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：
小问4详解】
解：
．
【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，平方差公式与完全平方公式，掌握以上运算法则以及乘法公式是解题的关键．
18. 分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可；
（2）分组，利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
四、解答题（第19题8分，第20题8分，共计16分）
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，8
【解析】
【分析】现将被除式括号里面的进行通分，同时将除法转化为乘法，再把被除式的分子分解因式，再进行约分即可.
【详解】解：
=
=
=，
当=4＋1=5时，原式＝5＋3＝8.
【点睛】本题主要考查了分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式和整式的混合运算顺序和运算法则.
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同乘变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】解：将方程的两边同时乘，得：
，
解得：，
检验：把代入得：
，
∴原分式方程的解是．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤，准确计算，注意解分式方程最后要进行检验．
五、解答题（第21题8分，第22题8分，共16分）
21. 如图，已知的三个顶点的坐标分别为．
（1）在图中作出关于x轴对称的，并写出三点的坐标；
（2）直接写出四边形的面积；
（3）在y轴上找出一点P，使最短，并直接写出P点的坐标．
【答案】（1）图见解析；，，
（2）12 （3）图见解析；
【解析】
【分析】（1）先作出点A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可，根据图形写出点的坐标即可；
（2）根据梯形面积公式求出四边形的面积即可；
（3）
【小问1详解】
解：作出点A、B、C关于x轴的对称点，顺次连接，则为所求作的三角形，如图所示：
，，；
【小问2详解】
解：．
【小问3详解】
解：作出点A关于y轴的对称点D，连接，交y轴于点P，连接，
∵，
∴，
∴当、P、D在同一直线上时，最小，即最小，此时点P的坐标为．
【点睛】本题主要考查了轴对称作图，求四边形的面积，解题的关键是作出点A、B、C关于x轴的对称点．
22. 如图所示，在中，，平分．
（1）求的度数；
（2）求的度数；
（3）直接写出，，三个角之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得的度数，再由平分，即可求解；
（2）根据直角三角形两锐角互余可得，即可求解；
（3）根据，，三个角的度数，即可求解．
【小问1详解】
解：在中，．
∴．
∵平分，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴．
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
六、解答题（8分）
23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F．
（1）求证：△BED≌△CFD．
（2）若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）12
【解析】
【分析】（1）根据DE⊥ AB,DF⊥AC,AB=AC,求得∠B=∠C.再利用D是BC的中点,求证△BED≌ACFD即可得出结论；
（2）根据AB=AC,∠A=60°,得出△ABC为等边三角形,然后求出∠BDE=30°再根据题目中给出的已知条件即可算出△ABC的周长．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°．
∵D是BC边的中点，
∴BD＝CD．
在△BED与△CFD中，
∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
（2）解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°．
又∵DE⊥AB，
∴∠EDB＝30°．
∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2．
∴BC＝2BD＝4．
∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12．
【点睛】本题主要考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，理解和掌握这些知识点是解题的关键．
七、解答题（8分）
24. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本．
(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元?
(2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书?
【答案】（1）甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元；（2）该图书馆最多可以购买20本甲图书．
【解析】
【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，从而可得甲图书每本价格为元，再根据“用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本”建立分式方程，然后解方程即可得；
（2）设购买甲图书的数量为a本，从而可得购买乙图书的数量为本，再根据“用于购买图书的总经费不超过900元”建立关于a的不等式，然后解不等式求出a的取值范围，最后根据a的整数性即可得．
【详解】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元；
（2）设购买甲图书的数量为a本，则购买乙图书的数量为本，
由题意得：，
解得，
因为a为正整数，
所以该图书馆最多可以购买20本甲图书．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立分式方程和不等式是解题关键．
八、解答题（10分）
25. 如图，已知是等边三角形，为直线上一动点点不与点，重合，以为边在左侧作等边三角形，连接．
（1）如图当点在边上时．
①求证：；
②直接判断结论是否成立(不需写出证明)；
（2）如图2，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间的数量关系，并写出证明过程．
【答案】（1）①见解析；②成立
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）①根据等边三角形性质，证明即可；
②根据①的结论得出，，进而即可求解；
（2）根据（1）的方法证明，根据全等三角形的性质，即可得证．
【小问1详解】
解：①证明：和都是等边三角形，
，，．
，
即．
在和中，
；
②，
，
；
【小问2详解】

证明：和都是等边三角形，
，，．
，
即．
在和中，
；
．
，
．