人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第1课时函数的单调性课时学案

这是一份人教A版高中数学必修第一册第3章3-2-1第1课时函数的单调性课时学案，共16页。

3.2　函数的基本性质3.2.1　单调性与最大(小)值第1课时　函数的单调性1．从图象直观、定性描述和定量分析三个方面，理解和研究函数的单调性．(直观想象、数学抽象)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(逻辑推理)3．会求一些具体函数的单调区间．(数学运算)德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似如图所示的记忆规律．如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量，那么不难看出，图中y是x的函数，记这个函数为y＝f (x)．这个函数反映出记忆具有什么规律？我们用数学语言如何描述该规律？知识点1　增函数与减函数的定义增(减)函数定义中x1，x2的三个特征(1)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替．(2)有大小，通常规定x1f (1)． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√2．函数y＝f (x)的图象如图所示，其单调递增区间是________．[－3，1]　[由图可知，函数y＝f (x)的单调递增区间为[－3，1]．]3．函数y＝1x的单调递减区间是________．(－∞，0)和(0，＋∞)　[结合y＝1x的图象(图略)可知，y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)．] 类型1　求函数的单调区间【例1】　求下列函数的单调区间，并指出该函数的单调性．(1)f (x)＝－1x；(2)f (x)＝2x+1，x≥1，5-x，x<1；(3)f (x)＝－x2＋2|x|＋3．[解]　(1)函数f (x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是单调递增的．(2)当x≥1时，f (x)是增函数，当x<1时，f (x)是减函数，所以f (x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f (x)在区间(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增．(3)因为f (x)＝－x2＋2|x|＋3＝-x2+2x+3，x≥0，-x2-2x+3，x<0．根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1，0)，[0，1)，[1，＋∞)．f (x)在区间(－∞，－1]，[0，1)上单调递增，在区间(－1，0)，[1，＋∞)上单调递减．　求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．(2)利用函数的图象，如本例(3)．提醒：若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接，如本例(3)．[跟进训练]1．(1)如图所示，写出函数在每一单调区间上的单调性；(2)写出f (x)＝|x2－2x－3|的单调区间．[解]　(1)函数在[－1，0]，[2，4]上单调递减，在[0，2]，[4，5]上单调递增．(2)先画出f (x)＝x2-2x-3，x<-1或x>3，-x2-2x-3，-1≤x≤3 的图象，如图．所以f (x)＝|x2－2x－3|的单调减区间为(－∞，－1]，[1，3]；单调增区间为[－1，1]，[3，＋∞)． 类型2　定义法判定函数的单调性【例2】　(源自湘教版教材)证明函数f (x)＝x＋1x在区间(0，1)上单调递减．[证明]　∀x1，x2∈(0，1)，且x10，即f (x1)>f (x2)，∴f (x)＝x＋1x在区间(0，1)上单调递减．　利用定义证明函数单调性的步骤(1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x1>1，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，所以f (x1) >f (x2)，所以f (x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 类型3　函数单调性的应用　已知函数的单调性求参数【例3】　(多选)(2022·河南南阳中学月考)已知函数f (x)＝x2-kx+10，x≤1，k-1x，x>1 是R上的减函数，则实数k的可能的取值有(　　)A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7思路导引：二次函数及反比例函数的单调性 直观想象 建立参数k的不等关系分段函数 单调性 分界点处函数值的大小关系ABC　[因为函数f (x)是R上的减函数，所以k2≥1 k-1>0 1-k+10≥k-1，解得2≤k≤6．故ABC正确，D错误．故选ABC．]　利用单调性解不等式【例4】　已知函数y＝f (x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f (1－a)2a-1，解得0f (1)C．f (m)≤f (1) D．f (m)≥f (1)(2)已知函数f (x)＝-x2+4ax，x≤1， 2a+3x-4a+5，x>1，若f (x) 在R上是增函数，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)　 [(1)∵函数f (x)＝(m－1)x＋1在R上是增函数，∴m－1>0，解得m>1，则f (m)> f (1)，故选B．(2)当x≤1时，y＝－x2＋4ax图象的对称轴为x＝2a，因为函数f (x)＝-x2+4ax，x≤1， 2a+3x-4a+5，x>1在R上是增函数，则2a≥1， -1+4a≤2a+3×1-4a+5，2a+3>0， 解得12≤a≤32．]1．函数f (x)在R上是减函数，则有(　　)A．f (3)f (5) D．f (3)≥f (5)C　[∵3<5，且f (x)为R上的减函数，∴f (3)>f (5)．故选C．]2．若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)A．-32，+∞ B．-∞，-32C．(3，＋∞) D．(－∞，－3]B　[由题意可知－2a-12≥2，即a≤－32．故选B．]3．(多选)如果函数f (x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是(　　)A．fx1-fx2x1-x2>0B．(x1－x2)[f (x1)－f (x2)]>0C．若x10ABD　[因为f (x)在[a，b]上单调递增，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f (x1)－f (x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x10，则f (x)在I上是否具有单调性？[提示]　f (x)在I上单调递增．2．到目前为止，判定函数单调性的方式有哪些？[提示]　定义法、图象法和基本初等函数法．3．证明一个函数的单调性常有哪些步骤？[提示]　一般遵循：设元、作差、变形、判号和下结论．4．在应用函数单调性解题时应注意什么？[提示]　已知函数单调性求参数的范围时，要树立两种意识：一是等价转化意识，如f (x)在I上单调递增，则f (x1)f (a2+1)C．f (－1)≤f (a2+1) D．f (－1)－1，且f (x)为R上的减函数，∴f (a2+1)1 是R上的增函数，则实数a的取值范围是(　　)A．[－3，0) B．(－∞，－2]C．[－3，－2] D．(－∞，0)C　[若f (x)＝-x2-ax-5，x≤1ax ，x>1 是R上的增函数，则应满足-a2≥1 a<0， -12-a×1-5≤a1，解得－3≤a≤－2，即a∈[－3，－2]．故选C．]5．(多选)(2022·四川绵阳南山中学月考)下列说法正确的是(　　)A．若存在x1，x2∈R，当x10”的是________(填序号)．①f (x)＝－2x；②f (x)＝－3x＋1；③f (x)＝x2＋4x＋3；④f (x)＝x－1x．①③④　[由题意知f (x)在(0，＋∞)上为增函数，①③④在(0，＋∞)上均为增函数．]三、解答题9．证明函数f (x)＝x－1x在(0，＋∞)上单调递增．[证明]　∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有f (x1)－f (x2)＝x1－1x1－x2＋1x2＝x1－x2＋x1-x2x1x2＝x1-x2x1x2+1x1x2，因为x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以f (x1)－f (x2)＜0，即f (x1)＜f (x2)，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增．10．函数f (x)＝x2－2|x|＋5的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1)和(0，1)B．(－∞，－1)和(1，＋∞)C．[－1，0]和[1，＋∞)D．(－1，0)和(0，1)C　[函数f (x)＝x2－2|x|＋5的图象如图所示．当x≥0时，f (x)＝x2－2x＋5，对称轴为x＝1，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增，在[0，1]上单调递减；当x≤0时，f (x)在[－1，0]上单调递增，在(－∞，－1]上单调递减，则f (x)的单调递增区间为[－1，0]，[1，＋∞)．故选C．]11．若f (x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax+1在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1) D．(0，1]D　[f (x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，∵f (x)在区间[1，2]上为减函数，∴a≤1．∵g(x)＝ax+1在区间[1，2]上为减函数，∴a>0，∴00，在其定义域内下列函数为增函数的是________．①y＝a＋f (x)(a为常数)；②y＝a－f (x)(a为常数)；③y＝1fx；④y＝[f (x)]2．②③　[f (x)在定义域内是减函数，且f (x)>0时，－f (x)，1fx均为增函数，故选②③．]14．已知函数f (x)＝ax2＋x－3，若对任意的x1，x2∈[1，＋∞)，且x1≠x2，fx1-fx2x1-x2<3恒成立，求实数a的取值范围．[解]　不妨设1≤x13(x1－x2)恒成立，即f (x1)－3x1>f (x2)－3x2恒成立．令g(x)＝f (x)－3x＝ax2－2x－3，则g(x1)>g(x2)恒成立，所以函数g(x)在[1，＋∞)上单调递减．当a＝0时，g(x)＝－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，符合题意；当a≠0时，要使g(x)＝ax2－2x－3在[1，＋∞)上单调递减，则a<0， --22a≤1，解得a<0．综上所述，实数a的取值范围是(－∞，0]．15．若f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且对一切x，y>0，满足f xy＝f (x)－f (y)．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x＋3)－f (2)<1的解集．[解]　(1)在f xy＝f (x)－f (y)中，令x＝y＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)＝0，∴f (1)＝0．(2)∵f (6)＝1，∴f (x＋3)－f (2)<1＝f (6)，∴f x+320，x+32<6，解得－3f (x2)结论f (x)在区间I上单调递增f (x)在区间I上单调递减