24.3圆周角 沪科版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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24.3圆周角沪科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，在⊙O中，∠BAC=15°，∠ADC=20°，则∠ABO的度数为(    )A. 70°B. 55°C. 45°D. 35°2.如图，⊙P与x轴交于点A(−5,0)，B(1,0)，与y轴的正半轴交于点C.若∠ACB=60°，则点C的纵坐标为(    )A. 13+ 3 B. 2 2+ 3 C. 4 2 D. 2 2+23.若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则弦所对的圆周角等于(    )A. 45° B. 90° C. 135° D. 45°或135°4.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC/​/BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是(    )A. ②④⑤⑥ B. ①③⑤⑥ C. ②③④⑥ D. ①③④⑤5.如图，∠DCE的顶点C在量角器外圈的160°刻度处时，点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，则∠DCE的度数是(    )A. 30° B. 40° C. 45° D. 60°6.如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，AC=AE，∠B=122°，则∠D=(    )A. 58° B. 116° C. 122° D. 128°7.如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于(    )A. 2B. 2C. 2 2D. 38.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠D=110°，则∠AOC的度数是(    )A. 70°B. 110°C. 135°D. 140°9.如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是(    )A. AP=2OP B. CD=2OP C. OB⊥AC D. AC平分OB10.如图，AB是⊙O的直径，点C，D都是⊙O上的点，若∠CAB=30∘，则∠ADC的度数是．(    ) A. 65∘ B. 55∘ C. 60∘ D. 70∘11.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为(    )A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.212.如图，已知OB，OD是⊙O的半径，BC、CD、DA是⊙O的弦，连接AB，若∠BCD=130°，则∠BOD度数为(    )A. 50°B. 90°C. 100°D. 130°第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD.若∠D=62°，则∠BAC=            ．14.如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过O(0,0)，A(3,5)，B(6,0)三点，则该圆的圆心的坐标是______ ．15.如图，AB是⊙O直径，C、D是⊙O上的两点，且OD//BC，连接AC和BD，下列四个结论中：①AD⌢=CD⌢；②OD垂直平分AC；③BD=AC；④∠AOD=2∠DBC.所有正确结论的序号是          ．16.如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是AC的中点，BD交OC于点E，∠AOC=100°，∠OCD=35°，那么∠OED=______．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)如下是小华设计的“作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程，请帮助小华完成尺规作图并填空(保留作图痕迹)．18.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．(1)若BE=8，求⊙O的半径；(2)若∠DMB=∠D，求线段OE的长．19.(本小题8分)如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，且OD/​/BC，AC分别与BD、OD相交于点E、F．(1)求证：点D为AC的中点；(2)若CB=6，AB=10，求DF的长；(3)若⊙O的半径为5，∠DOA=80°，点P是线段AB上任意一点，试求出PC+PD的最小值．20.(本小题8分)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E．(1)求证：BD=CD；(2)若∠BAC=50°，求∠EBC和∠EDC的度数．21.(本小题8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，C为BD的中点，延长AD，BC交于P，连结AC．(1)求证：AB=AP；(2)当AB=10，DP=2时，求线段CP的长．22.(本小题8分)在一次趣味数学的社团活动中，有这样的一道数学探究性问题．(1)问题情境：如图1，在△ABC中，∠A=30°，BC=4，则△ABC的外接圆的半径为________；(2)操作实践：如图2，用无刻度直尺与圆规在矩形ABCD的内部作出一点P，使得∠BPC=∠BEC，且PB=PC(不写作法，保留作图痕迹)；(3)迁移应用：已知，在△ABC中，∠A>∠B，∠C=60°，AB=6，求BC的取值范围．23.(本小题8分)如图，在⊙O中，直径AB=10，弦BC=6，点D在BC的延长线上，线段AD交⊙O于点E，过点E作EF//BC分别交⊙O，AB于点F，G，连结BF．(1)求证：△ABD∽△FGB．(2)当△FGB为等腰三角形时，求CD的长．(3)当∠D=45°时，求EG：FG的值．24.(本小题8分)如图，在⊙O中，弦AC，BD相交于点E，AB=BC=CD．(1)求证AC=BD；(2)连接CD，若∠BDC=20°，则∠BEC的度数为______ °.25.(本小题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．(1)求证：DE=CE；(2)若BD=2，BE=3，求AD的长．答案和解析1.【答案】B 【解析】【分析】根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数本题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：如图所示，连接OA、OC，∵∠BAC=15°，∠ADC=20°，∴∠AOB=2(∠ADC+∠BAC)=70°，∵OA=OB(都是半径)，∴∠ABO=∠OAB=12(180°−∠AOB)=55°．故选：B．2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E，根据圆周角定理得到∠APB=120°，根据等腰三角形的性质得到∠PAB=∠PBA=30°，由垂径定理得到AD=BD=3，利用勾股定理得到PD= 3=OE，PA=PB=PC=2 3，根据勾股定理得到CE= PC2−PE2= 12−4=2 2，求出OC，即可求解．【解答】解：连接PA，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥y轴于E，∵∠ACB=60°，∴∠APB=120°，∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA=30°，∵A(−5,0)，B(1,0)，∴AB=6，∴AD=BD=3，DO=2，∴PD= 3，PA=PB=PC=2 3，∵PD⊥AB，PE⊥y轴，∠AOC=90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE=PD= 3，PE=OD=2，∴CE= PC2−PE2= 12−4=2 2，∴OC=CE+OE=2 2+ 3，∴点C的纵坐标为2 2+ 3，故选：B．3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．【解答】解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB=90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=12∠AOB=45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB=180°−∠ADB=135°．故选D．4.【答案】D 【解析】解：因为AB是⊙O的直径，D是⊙O上的点，所以AD⊥BD，故①正确；因为∠AEC=∠A+∠ABC，∠AOC=2∠ABC，当∠A=∠ABC时，∠AOC=∠AEC，故②错误；因为OC//BD，所以∠AOC=∠ABD，又因为∠AOC=2∠ABC，所以∠DBC=∠ABC，所以CB平分∠ABD，故③正确；因为OC//BD，O是AB中点，所以OF是ΔABD的中位线，则BD=2OF，因此F是AD中点，所以④，⑤正确；因为△CEF和△BED中，没有相等的边，所以△CEF与△BED不全等，故⑥错误．故选D．本题考查圆周角定理及其推论，以及三角形的中位线定理．5.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握圆周角定理．连接OE、OD，根据角之间的数量关系，得出∠DOE=60°，再根据同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，即可得出答案．【解答】解：如图，连接OE、OD，∵点D，E所在位置对应的刻度分别为外圈90°和30°，∴∠DOE=∠AOD−∠AOE=90°−30°=60°，∴∠DCE=12∠DOE=12×60°=30°．故选：A．6.【答案】B 【解析】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC=180°−∠B=58°，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC=58°，∴∠CAE=180°−58°−58°=64°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D=180°−64°=116°，故选：B．连接AC、CE，根据圆内接四边形的性质求出∠AEC，根据三角形内角和定理求出∠CAE，根据圆内接四边形的性质计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．7.【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．【解答】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，∴AC=BC，∴∠E=12∠BOC=22.5°，∴∠BOD=45°，∴△ODB是等腰直角三角形，∵AB=4，∴DB=OD=2，则半径OB等于： 22+22=2 2．故选：C．8.【答案】D 【解析】解：∵∠B+∠ADC=180°，∴∠B=180°−110°=70°，∴∠AOC=2∠B=140°．故选：D．先利用圆内接四边形的对角互补计算出∠B的度数，然后根据圆周角定理得到∠AOC的度数．本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理．9.【答案】A 【解析】解：∵AD为直径，∴∠ACD=90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD/​/OB，CD=OB=OD=BC，∴OP⊥AC，所以C选项正确；由垂径定理得到AP=PC根据三角形的中位线得到CD=2OP，选项B正确；2OP=CD=CB>AP，所以A选项的结论错误；∴AP=CP，OB=2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选：A．利用圆周角定理得到∠ACD=90°，再根据平行四边形的性质得到CD/​/OB，CD=OB=OD=BC，利用OP/​/CD，CD⊥AC可对C选项进行判断；利用垂径可判断OP为△ACD的中位线，则CD=2OP，可对B选项进行判断；同时得到OB=2OP，则可对D选项进行判断．此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质．10.【答案】C 【解析】【分析】由 AB 为 ⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得 ∠ACB=90∘ ，又由 ∠CAB=30∘ ，得出 ∠B 的度数，根据同弧所对的圆周角相等继而求得 ∠ADC 的度数．【详解】解： ∵AB 为 ⊙O 的直径，∴∠ACB=90∘ ，∵∠CAB=30∘ ，∴∠ABC=90∘−∠CAB=60∘ ，∴∠ADC=∠ABC=60∘ ．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．掌握圆周角定理是解题的关键．11.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，圆心角，弦，弧有关知识，连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出DEDB=DBAD，可解得DE的长，由AE=AD−DE求解即可得出答案．解：如图1，连接BD、CD，，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD= AB2−AD2= 62−52= 11，∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD，∴CD=BD= 11，∴∠CBD=∠DAB，在△ABD和△BED中，{∠BAD=∠CBD∠ADB=∠BDE∴△ABD∽△BED，∴DEDB=DBAD，即DE 11= 115，解得DE=115，∴AE=AD−DE=5−115=2.8．故选B．12.【答案】C 【解析】解：∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°−130°=50°，∵∠BOD和∠BAD都对BD，∴∠BOD=2∠BAD=100°，故选：C．根据圆内接四边形的性质求∠BAD的度数，再利用圆周角定理求解即可．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．13.【答案】28° 【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，利用同弧所对的圆周角相等可得∠B=62°，利用直角三角形的两个锐角互余即可解答．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠D=62°，∴∠B=∠D=62°，∴∠BAC=90°−∠B=28°，故答案为：28°．14.【答案】(3,85) 【解析】解：由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′(3,m)，则有32+m2=(5−m)2，解得m=85，∴圆心O′(3,85)，故答案为：(3,85).由题意圆心在线段OB的垂直平分线上，设圆心O′(3,m)，根据半径相等构建方程求解即可．本题考查圆周角定理，坐标与图形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】①②④ 【解析】【分析】根据平行线的性质，等边对等角，得出 ∠CBD=∠ABD ，即可得出 AD⌢=CD⌢ ，进而根据 ▵AOD≌▵COD 得出 DA=DC ，即可判断②，根据 BD,AC 不一定相等即可判断③，根据圆周角定理，即可判断④．【详解】解：∵ OD//BC∴ ∠ODB=∠CBD又∵ OB=OD ，则 ∠OBD=∠ODB∴ ∠CBD=∠ABD∴ AD⌢=CD⌢ ，故①正确；连接 OC ， AD,DC ，∵ AD⌢=CD⌢ ，∴ ∠AOD=∠COD ，又 OA=OC ，则 ∠OCA=∠OAC ，又 OD=OD∴ ▵AOD≌▵COD∴ DA=DC∴ OD 垂直平分 AC ，故②正确；当且仅当 ∠BAC=30∘ 时， BD=AC ，故③错误，∵ AD⌢=CD⌢∴ ∠AOD=∠DOC∵ ∠DOC=2∠DBC∴ ∠AOD=2∠DBC ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，弧与圆心角的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．16.【答案】60° 【解析】【分析】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接OB，求出∠D，利用三角形的外角的性质解决问题即可．【解答】解：连接OB．∵AB=BC，∴∠AOB=∠BOC=50°，∴∠BDC=12∠BOC=25°，∵∠OED=∠ECD+∠CDB，∠ECD=35°，∴∠OED=60°，故答案为60°．17.【答案】解：补全的图形如图1所示．             ①90；                ②直径所对的圆周角是直角；         ③EQ 【解析】根据直径所对的圆周角是直角，和同弧所对的圆周角相等即可得出结论18.【答案】解：(1)设⊙O的半径长为r，则OD=r，OE=r−8，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，∴DE=12，∴OD2=OE2+DE2，即r2=(r−8)2+122，解得，r=13，即⊙O的半径是13；(2)连接BC，∵∠DMB=∠D，∠DMB=∠DCB，∴∠D=∠DCB，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，∴CE=DE=12，∠CEB=∠DEO，∴△CEB≌△DEO(ASA)，∴OE=BE=0.5OB，设⊙O的半径长为r，则r2=122+(0.5r)2，解得，r=8 3或r=−8 3(舍去)，∴OE=4 3． 【解析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据题意和图形，利用勾股定理、垂径定理可以解答本题；(2)根据三角形全等、勾股定理可以求得线段OE的长．19.【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵OD/​/BC，∴∠OFA=90°，∴OF⊥AC，∴AD=CD，即点D为AC的中点；(2)解：∵OF⊥AC，∴AF=CF，而OA=OB，∴OF为△ACB的中位线，∴OF=12BC=3，∴DF=OD−OF=5−3=2；(3)解：作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，∵PC=PC′，∴PD+PC=PD+PC′=DC′，∴此时PC+PD的值最小，∵AD=CD，∴∠COD=∠AOD=80°，∴∠BOC=20°，∵点C和点C′关于AB对称，∴∠C′OB=20°，∴∠DOC′=120°，作OH⊥DC′于H，如图，则C′H=DH，在Rt△OHD中，OH=12OD=52，∴DH=5 32，∴DC′=2DH=5 3，∴PC+PD的最小值为5 3． 【解析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．(1)利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为AC的中点；(2)证明OF为△ACB的中位线得到OF=12BC=3，然后计算OD−OF即可；(3)作C点关于AB的对称点C′，C′D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC+PD的值最小，再计算出∠DOC′=120°，作OH⊥DC′于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC+PD的最小值．20.【答案】(1)证明：连接AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90º，∴AD⊥BC，又∵AB=AC，∴BD=CD；(2)解：∵AB=AC，∠BAC=50º，∴∠ABC=∠ACB=65º，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90º．∵∠BAC=50º，∴∠ABE=40º．∴∠EBC=25º，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180º．又∵∠EDC+∠BDE=180º，∴∠EDC=∠BAC=50º． 【解析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，(1)连接AD，利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题．(2)根据∠EBC=∠ABC−∠ABE，求出∠ABC，∠ABE即可，证明∠EDC=∠BAC即可．21.【答案】(1)证明：∵C为BD的中点，∴BC=CD，∴∠BAC=∠CAP，∵AB是直径，∴∠ACB=∠ACP=90°，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠P+∠CAP=90°，∴∠ABC=∠P，∴AB=AP；(2)解：连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDP=90°，∵AB=AP=10，DP=2，∴AD=10−2=8，∴BD= AB2−AD2= 102−82=6，∴PB= BD2+PD2= 62+22=2 10，∵AB=AP，AC⊥BP，∴BC=PC=12PB= 10，∴PC= 10． 【解析】主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质以及勾股定理知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．(1)先根据圆周角定理的推论证明∠BAC=∠CAP，再利用等角对等边证明即可．(2)利用勾股定理分别求出BD，PB，再利用等腰三角形的性质即可解决问题．22.【答案】解：(1)4；(2)如图所示：点P即为所求；(3)作△ABC的外接圆，∵∠BAC>∠ABC，AB=6，当∠BAC=90∘时，BC是直径最长，∵∠C=60∘，∴AC=2 3，∴BC=4 3，当∠BAC=∠ABC时，△ABC是等边三角形，BC=AC=AB=6，∵∠BAC>∠ABC，∴BC长的取值范围是6