24.1旋转 沪科版初中数学九年级下册同步练习（含答案解析）

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24.1旋转  沪科版初中数学九年级下册同步练习第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.如图，以点O为中心，把▵AOB逆时针旋转70∘，得到△COD，若∠AOB=40∘，则∠AOD的度数为(    )A. 30∘ B. 40∘ C. 70∘ D. 110∘2.平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是(    )A. (−3,4) B. (−3,−4) C. (3,−4) D. (4,3)3.如图，在△ABC中，以C为中心，将△ABC顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠EFC的度数为(    )A. 60° B. 65° C. 72.5° D. 115°4.如图，将△AOB绕着点O顺时针旋转得到△COD，若∠AOB=40°，∠BOC=10°，则旋转角度是(    )A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°5.如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是(    )A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°6.如图直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，将CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，连AE、CE，则△ADE的面积是(    )A. 1 B. 2 C. 3 D. 不能确定7.如图，在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60∘得到△BAE，连接ED，若BC=10，则△AED的周长的最小值是(    )A. 10 B. 10 3 C. 10+5 3 D. 208.如图，将Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，连接AD，若∠B=55°，则∠ADE等于(    )A. 5°B. 10°C. 15°D. 20°9.下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A. 赵爽弦图 B. 科克曲线C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线10.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3 3；其中正确的结论是(    )A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②11.如图，将△OAB绕点O逆时针旋转80∘，得到△OCD，若∠A=2∠D=100∘，则∠α的度数是(    )A. 50∘ B. 60∘ C. 40∘ D. 30∘12.如图，已知△OAB是正三角形，OP⊥OB，OP=OA，将△OAB绕点O按顺时针方向旋转，使得OA与OP重合，得到△OPQ，则旋转的角度是  (    ) A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12分）13.如图，在Rt△ABC中，C为直角顶点，∠ABC=20°，O为斜边的中点，将OA绕着点O逆时针旋转θ°(0<θ<180)至OP，当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为______．14.如图，平面内三点A，B，C，AB=4，AC=3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是          ．15.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2，将△ABC绕顶点C顺时针旋转90°得到△DEC，F是DE中点，连接AF，则AF的长为                ．16.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C逆时针旋转α角(0°<α<75°)，与射线AB相交于点D，将△ACD沿射线CP翻折至△A′CD处，射线CA′与射线AB相交于点E.若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8分)如图，在等边▵ABC中，点D为边BC上的一动点，以点D为中心，把线段DA顺时针旋转60∘，得到线段DF，过点F作FE⊥BC交BC的延长线于点E，连接CF．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段BD，CF之间的数量关系，并证明；(3)若点M是线段CF的中点，连接AE，BM，线段AE与BM交于点O，求∠AOB的度数．18.(本小题8分)如图，Rt▵ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，D是▵ABC内一点，连接AD，CD，以点A为中心，把线段AD顺时针旋转90∘，得到线段AE，连接BE．(1)求证：∠AEB=∠ADC；(2)连接DE，若∠ADC=125∘，求∠BED的度数．19.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，已知▵ABC．  (1)画出与▵ABC关于原点对称的▵A1B1C1；(2)以原点O为中心，把▵ABC逆时针旋转90∘得到▵A2B2C2，画出▵A2B2C220.(本小题8分)如图①，将射线OX按逆时针方向旋转β°，得到射线OY.如果P为射线OY上的一点，且OP=a，那么我们规定用(a,β)表示点P在平面内的位置，并记作P(a,β).例如：在图②中，如果OM=8，∠XOM=110°，那么点M在平面内的位置记作M(8,110)．(1)如图③，如果点N在平面内的位置记作N(6,30)，那么ON的长为          ，∠XON的度数为          ．(2)如果点A、B在平面内的位置分别记作A(5,30)、B(12,120)，请画出示意图并求A、B两点之间的距离．21.(本小题8分)如图，边长为6的正方形ABCD中，E是CD的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，G是BC上一点，且∠EAG=45°，连接EG．(1)求证：△AEG≌△AFG；(2)求点C到EG的距离．22.(本小题8分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC绕C点顺时针旋转90°得到的△A2B2C，直接写出B2的坐标为        ；(3)若P为y轴上一点，求PA+PC的最小值．23.(本小题8分)在平面直角坐标系xOy中，▵ABC的三个顶点为A1,1，B2,4，C3,0，将▵ABC绕原点逆时针旋转90∘后得到▵A1B1C1，其中A1、B1、C1分别与点A、B、C对应．  (1)画出旋转后的▵A1B1C1；(2)若x轴上一点D，满足A1D+B1D的值最小，在图中画出点D的位置，并直接写出点D的坐标．24.(本小题8分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，P是AB边上任意一点，D是AB边的中点，连接CP，CD，并将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，连接AE．(1)求证：CD=BC；(2)①依题意补全图形；②用等式表示线段PE与AE的数量关系，并证明．25.(本小题8分)如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，连接EQ，求证：(1)EA是∠QED的平分线；(2)EF2=BE2+DF2．(3)若BE=3，DF=4，求正方形ABCD的面积．答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查三角形的旋转变换，掌握旋转的性质即可得出结论．【详解】解：∵ ▵OAB 以点O为中心逆时针旋转 70∘ 得到 △COD ，∴ ∠BOD=70∘ ，∵ ∠AOB=40∘ ，∴ ∠AOD=∠BOD−∠AOB=70∘−40∘=30∘ ，故选：A．2.【答案】B 【解析】解：点P(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)．故选：B．平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．3.【答案】B 【解析】解：由旋转的性质得：∠D=∠A=30°，∠DCF=35°，∴∠EFC=∠D+∠DCF          =30°+35°          =65°；故选：B．分析：由旋转的性质得出∠D=∠A=30°，∠DCF=35°，由三角形的外角性质即可得出答案．本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4.【答案】D 【解析】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=10°∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=40°+10°=50°∴△AOB到△COD的旋转角度为：50°故答案为：D．根据旋转的性质，将OA旋转到了OC的位置，再根据角度的关系即可求出旋转的度数．本题考查了旋转的性质，求出一条边的旋转角度得出三角形的旋转角度是解题的关键．5.【答案】B 【解析】【分析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=40°，∠C=∠AED，AC=AE，则可求得∠AED=∠C=70°，由AB⊥DE，得∠AFD=90°，从而可求∠BAE=90°−70°=20°即可．本题主要考查旋转的性质，三角形的内角和定理，解答的关键是掌握旋转的性质．【解答】解：∵把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，∴∠CAE=∠BAD=40°，∠C=∠AED，AC=AE，∴∠AEC=∠ACE=12(180°−∠CAE)=70°，∴∠AED=∠C=70°，∵AB⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠BAE=90°−70°=20°．故选：B．6.【答案】A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG与△DEF全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF的长，即△ADE的高，然后得出三角形的面积．本题考查梯形的性质和旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．【解答】解：如图所示，作EF⊥AD交AD延长线于F，作DG⊥BC，∵CD以D为中心逆时针旋转90°至ED，∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD，又∵∠CDF+∠CDG=90°，∴∠CDG=∠EDF，在△DCG与△DEF中，∠CDG=∠EDF∠EFD=∠CGD=90°DE=CD，∴△DCG≌△DEF(AAS)，∴EF=CG，∵AD=2，BC=3，∴CG=BC−AD=3−2=1，∴EF=1，∴△ADE的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1．故选：A．7.【答案】C 【解析】解：如图，作BF⊥AC于F，∵△ABC是等边三角形，BC=10，∴AC=10，AF=FC=5．在Rt△BFC中，BF= BC2−FC2= 102−52=5 3．∵将△BCD绕点B逆时针旋转60∘得到△BAE，∴BD=BE，∠DBE=60∘，CD=AE，∴△DBE是等边三角形，∴BD=DE，∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD，∴当BD最小，即BD=BF=5 3时，△AED的周长最小，最小值=AC+BF=10+5 3．故选C．8.【答案】B 【解析】解：∵Rt△ABC绕其直角顶点C按顺时针方向旋转90°后得到Rt△DEC，∴AC=CD，∠CED=∠B=55°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠CAD=45°，∴∠ADE=∠CED−∠CAD=55°−45°=10°，故选：B．根据旋转的性质可得AC=CD，∠CED=∠B，再判断出△ACD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出∠CAD=45°，由外角的性质可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．9.【答案】B 【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．10.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了图形的旋转，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质和定理是解题的关键．证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①符合题意；由△OBO′是等边三角形，可知结论②符合题意；在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③符合题意；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+ 34×42=6+4 3，故结论④不符合题意．【解答】解：如图，由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①符合题意；如图，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′=OB=4．故结论②符合题意；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=OC=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，故结论③符合题意；S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=12×3×4+ 34×42=6+4 3，故结论④不符合题意；故选A．11.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质及三角形的内角和定理，熟知图形旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解决本题的关键．根据旋转的性质得知∠A=∠C，∠AOC为旋转角等于80°，则可以利用三角形内角和度数为180°列出式子进行求解．【解答】解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转80°，∴∠A=∠C，∠AOC=80°，∴∠DOC=80°−α，∵∠A=2∠D=100°，∴∠D=50°，∵∠C+∠D+∠DOC=180°，∴100°+50°+80°−α=180°，解得α=50°，故选：A．12.【答案】D 【解析】解：∵△OAB是正三角形，∴∠BOA=60°，∵OP⊥OB，∴∠BOP=90°，∴∠AOP=∠BOA+∠BOP=60°+90°=150°，即旋转角是150°，故选：D．根据等边三角形的性质求出∠BOA，根据垂直求出∠BOP，求出∠AOP即可．本题考查了旋转的性质和等边三角形的性质，能求出∠BOQ的度数是解此题的关键．13.【答案】40°或100°或70° 【解析】解：∵△BCP恰为轴对称图形，∴△BCP是等腰三角形，如图1，连接AP，∵O为斜边中点，OP=OA，∴BO=OP=OA，∴∠APB=90°，当BC=BP时，∴∠BCP=∠BPC，∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，∴∠ACP=∠APC，∴AC=AP，∴AB垂直平分PC，∴∠ABP=∠ABC=20°，∴θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，∵BC=CP，BO=PO，∴CH垂直平分PB，∴∠CHB=90°，∵OB=OC，∴∠BCH=∠ABC=20°，∴∠CBH=70°，∴∠OBH=50°，∴θ=2×50°=100°；当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，∵∠ACB=90°，O为斜边中点，∴OB=OC，∴PG垂直平分BC，∴∠BGO=90°，∵∠ABC=20°，∴θ=∠BOG=70°，综上所述：当△BCP恰为轴对称图形时，θ的值为40°或100°或70°，故答案为：40°或100°或70°．如图1，连接AP，根据直角三角形的判定和性质得到∠APB=90°，当BC=BP时，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×20°=40°，当BC=PC时，如图2，连接CO并延长交PB于H，根据线段垂直平分线的性质得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根据等腰三角形的性质得到θ=2×50°=100°，当PB=PC时，如图3，连接PO并延长交BC于G，连接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根据三角形的内角和得到θ=∠BOG=70°．本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定等知识的综合运用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键．14.【答案】7 22 【解析】解：如图，将△BDA绕点D顺时针旋转90∘得到△CDM．由旋转性质可知：AB=CM=4，DA=DM，∠ADM=90∘，∴△ADM是等腰直角三角形．∴AD= 22AM．∴当AM的值最大时，AD的值最大．∵AM≤AC+CM．∴AM≤7. ∴AM的最大值为7．∴AD的最大值为7 22．故答案为7 22．15.【答案】2.5 【解析】【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，根据旋转的性质，EC=BC=2，DC=AC=3，∠ACD=∠ACB=90°，由点F是DE的中点，可求出EG、GF，因为AE=AC−EC=1，可求出AG，然后运用勾股定理求出AF．【解答】解：取EC的中点G，连接FG，根据旋转的性质可知，EC=BC=2，DC=AC=3，∠ACD=∠ACB=90∘，∵点F是DE的中点，点G是EG的中点，∴FG/​/CD，∴∠ECD=∠AGF=90°，∴GF=12CD=12AC=1.5，EG=12EC=12BC=1，∵AC=3，EC=BC=2，∴AE=1，∴AG=2，根据勾股定理得AF= AG2+FG2= 22+1.52=2.5．16.【答案】22.5°或45° 【解析】解：由折叠得：∠ACD=∠A′CD=α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，分三种情况：①当A′D=A′E时，∴∠A′DE=∠A′ED=12(180°−∠A′)=75°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE=∠A′ED−∠A=45°，∴∠ACD=∠A′CD=∠α=12∠ACE=22.5°；②当DA′=DE时，∴∠A′=∠DEA′=30°，∵∠DEA′是△ACE的一个外角，∴∠DEA′>30°，∴此种情况不成立；③当ED=EA′时，如图：∴∠EDA′=∠A′=30°，∴∠DEA′=180°−∠EDA′−∠A′=120°，∵∠A′ED是△ACE的一个外角，∴∠ACE=∠A′ED−∠A=90°，∴∠ACD=∠A′CD=∠α=12∠ACE=45°；综上所述：若△A′DE是等腰三角形，则∠α的度数为22.5°或45°，故答案为：22.5°或45°．根据折叠的性质可得：∠ACD=∠A′CD=∠α=12∠ACA′，∠A=∠A′=30°，然后分三种情况：当A′D=A′E时；当DA′=DE时；当ED=EA′时；分别进行计算即可解答．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，翻折变换(折叠问题)，分三种情况讨论是解题的关键．17.【答案】1)解：如图，依题意补全图形；(2)解：线段 BD ， CF 之间的数量关系是 BD=CF ．连接 AF ．∵▵ABC 是等边三角形，∴AB=AC ， ∠BAC=∠ACB=60∘ ．∵ 以 D 为中心线段 DA 顺时针旋转 60∘ 得到线段 DF ，∴∠ADF=60∘ ， AD=DF ．∴▵ADF 是等边三角形．∴AD=AF ， ∠DAF=∠ADF=60∘ ．∵∠DAF=∠DAC+∠2=60∘ ，∠DAC+∠1=60∘ ，∴∠1=∠2在 ▵ADB 与 ▵AFC 中，AB=AC,∠1=∠2,AD=AF,∴▵ADB≌▵AFC ．∴DB=CF ．(3)解： ∵▵ADB≌▵AFC ，∴∠ACF=∠ABC=60∘ ，∵∠ACB=60∘ ，点 B ， C ， E 在一条直线上，∴∠FCE=60∘ ．∴∠ACB+∠ACF=∠FCE+∠ACF=120∘即 ∠BCM=∠ACE ．∵FE⊥BC ， ∠FCE=60∘ ，∴∠CFE=30∘ ，∴CE=12CF ．又 ∵M 为 CF 的中点，∴CM=12CF ．∴CM=CE ．∴ 在 ▵BCM 与 △ACE 中，BC=AC,∠BCM=∠ACE,CM=CE,∴▵BCM≌▵ACE ．∴∠CBM=∠CAE ．设 AC 与 BM 交于点 N ，∴∠BNC=∠ANO ，∴∠AOB=∠ACB=60∘ ． 【解析】(1)按题目要求补图即可；(2)连接 AF ，证明 ▵ADF 是等边三角形，并结合等边 ▵ABC 可得出 AB=AC ， ∠BAD=∠CAF ， AD=AF ，然后证明 ▵ADB≌▵AFC 即可少外出结论；(3)利用全等三角形的性质和角的和差可证 ∠BCM=∠ACE ，利用含 30∘ 的直角三角形的性质以及线段中点的定义可得 CM=CE ，然后证明 ▵BCM≌▵ACE ，得出 ∠CBM=∠CAE ，即可求解．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含 30∘ 的直角三角形的性质等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．18.【答案】(1)证明： ∵ 以点 A 为中心，把线段 AD 顺时针旋转 90∘ ，得到线段 AE ，∴AE=AD ， ∠EAD=90∘ ，∵∠BAC=90∘ ，∴∠EAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC ，∴∠EAB=∠DAC ，∵AB=AC ，∴▵EAB≌▵DAC ，∴∠AEB=∠ADC ；(2)解：如图，连接 DE ，，由(1)得 △EAB≌△DAC ，∵∠ADC=125∘ ，∴∠AEB=∠ADC=125∘ ，∵AE=AD ， ∠EAD=90∘ ，∴∠AED=∠ADE=45∘ ，∴∠BED=∠AEB−∠AED=80∘ ． 【解析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，推出 △EAB≌△DAC 是解此题的关键．(1)由旋转的性质可得 AE=AD ， ∠EAD=90∘ ，从而得到 ∠EAB=∠DAC ，证明 △EAB≌△DAC ，即可得证；(2)由(1)得 △EAB≌△DAC ，则 ∠AEB=∠ADC=125∘ ，由等腰直角三角形的性质可得 ∠AED=∠ADE=45∘ ，即可得到答案．19.【答案】(1)解：  (2)解：   【解析】本题考查了画中心对称图形，旋转作图：(1)根据中心对称的性质找到 A 、 B 、 C 的对称点 A1 、 B1 、 C1 ，顺次连接得到；(2)根据旋转对称的性质找到 A 、 B 、 C 的对称点 A2 、 B2 、 C2 ，顺次连接得到．20.【答案】【小题1】630°【小题2】画出示意图如图所示．∵点A、B在平面内的位置分别记作A(5,30)、B(12,120)，∴OA=5，OB=12，∠BOX=120°，∠AOX=30°.∴∠AOB=90°.∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB= OA2+OB2= 52+122=13.∴A、B两点之间的距离为13． 【解析】1. 略2. 略21.【答案】解：(1)证明：∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴AE=AF，∠D=∠ABF=90°，∴∠ABC+∠ABF=180°，∴点F，点B，点C三点共线，∵∠DAB=90°，∠EAG=45°．∴∠DAE+∠GAB=45°，∴∠BAF+∠GAB=45°，即∠FAG=45°，∴∠EAG=∠FAG，在△AEG和△AFG中，AE=AF∠EAG=∠FAGAG=AG，∴△AEG≌△AFG(SAS)；(2)由(1)得：EG=FG，∵正方形ABCD的边长为6，E是CD的中点，∴DE=CE=BF=3，设CG=x，则BG=6−x，EG=FG=BG+BF=9−x．在Rt△ECG中，x2+32=(9−x)2，解得x=4，即CG=4，则EG=5，设点C到EG的距离是h，根据三角形面积关系可得：h=3×45=125，∴点C到EG的距离是125． 【解析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾股定理求出CG的长是解题的关键．(1)首先证明点F，点B，点C三点共线，再利用SAS即可证明△AEG≌△AFG；(2)设CG=x，则BG=6−x，EG=FG=BG+BF=9−x.在Rt△ECG中，利用勾股定理得出关于x的方程，再通过等积法即可得出答案．22.【答案】(−1,−1) 【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C即为所求，B2的坐标为(−1,−1)．故答案为：(−1,−1)；(3)如图，点P即为所求．(1)利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A2，B2即可；(3)作点C关于y轴的对称点C′，连接AC′交y轴于点P，连接PC，点P即为所求．本题考查作图−旋转变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题．23.【答案】(1)见详解(2)见详解， D−2,0 【解析】【分析】(1)分别作出点A、B、C绕点O逆时针旋转后得到的点，然后顺次连接，即可画出 ▵A1B1C1 ；(2)确定 A1 关于 x 轴对称的点的坐标为 A2 ，再连接 A2B1 ，交点即为点D，即可得出点D的坐标．【详解】(1)如图：  ▵A1B1C1 即为所求；(2)确定 A1 关于 x 轴对称的点的坐标为 A2 ，再连接 A2B1 ，交点即为点D，连接 A1D ，  点D即为所求；∵A1 、 A2 关于 x 轴对称，∴A1D=A2D ，要使 A1D+B1D 的值最小，即 B1 、 D 、 A2 在一条直线上，结合网格图形可得： D−2,0 ．【点睛】本题考查作图−旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，中心对称变换的性质．24.【答案】(1)解：∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，∵D是AB边的中点，∴CD=BD，∴△CDB是等边三角形，∴CD=BC．(2)①图形如图所示：②线段PE与AE之间的数量关系为PE=AE．理由：连接EC，ED．∵PE=PC，∠EPC=60°，∴△EPC是等边三角形，∴CP=CE，∠ECP=60°，∵∠DCB=∠ECP=60°，∴∠ECD=∠PCB，∵CD=CB，∴△CPB≌△CED(SAS)，∴∠CDE=∠B=60°，∵∠CDB=60°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE，∵DA=DC，∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴AE=CE，∴AE=PE． 【解析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．(1)证明△CDB是等边三角形即可．(2)①根据要求作出图形即可．②证明△CPB≌△CED(SAS)，推出∠CDE=∠B=60°，再证明△ADE≌△CDE(SAS)，可得结论．25.【答案】证明：(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ，∴QB=DF，AQ=AF，∠BAQ=∠DAF，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°，∴∠QAE=45°，∴∠QAE=∠FAE，在△AQE和△AFE中AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE，∴△AQE≌△AFE(SAS)，∴∠AEQ=∠AEF，∴EA是∠QED的平分线；(2)由(1)得△AQE≌△AFE，∴QE=EF，由题意可得∠QBE=90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2=QE2，又∵QB=DF，∴EF2=BE2+DF2；(3)由(2)得：EF2=BE2+DF2，∴EF2=32+42，∴EF=5，∴BD=BE+EF+FD=3+5+4=12，∴正方形ABCD的面积=12×122=72． 【解析】此题主要考查了正方形的性质，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，正确得出△AQE≌△AFE(SAS)是解题关键．(1)直接利用旋转的性质得出△AQE≌△AFE(SAS)，进而得出∠AEQ=∠AEF，即可得出答案；(2)利用(1)中所求，再结合勾股定理得出答案．(3)由(2)得：EF2=BE2+DF2，可得BD，即可得出正方形ABCD的面积．