人教版九年级数学上册 24.50 《圆》压轴-正多边形与圆及有关圆的计算（专项练习）

这是一份人教版九年级数学上册 24.50 《圆》压轴-正多边形与圆及有关圆的计算（专项练习），共31页。

【考点一】正多边形和圆
【考点①】圆内接四边形➼➸求角（面积）✭✭证明
1．（2020·山东威海·中考真题）如图，的外角的平分线与它的外接圆相交于点，连接，，过点作，交于点
求证：（1）；（2）为⊙O的切线．
2．（2020·四川雅安·中考真题）如图，四边形内接于圆，，对角线平分．
（1）求证：是等边三角形；
（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．
【考点②】】正多边形和圆➼➸作图✭✭证明
3．（2022·山东省青岛实验初级中学一模）请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：⊙O，点A在圆上．
求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD．
4．（2021·北京房山·二模）已知：射线
求作：，使得点在射线上，，．
作法：如图，①在射线上取一点，以为圆心，长为半径作圆，与射线相交于点；②以为圆心，为半径作弧，在射线上方交⊙于点；③连接，．则即为所求的三角形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴__________．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（ ）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
【考点③】正多边形和圆✭✭圆周角➼➸中心角✭✭边数
5．（2021·贵州·一模）如图，正方形内接于，为上的一点，连接，．
（1）求的度数；
（2）当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值．
6．（2022·浙江金华·中考真题）如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接．
(1) 求的度数．
(2) 是正三角形吗？请说明理由．
(3) 从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值．
【考点④】正多边形和圆➼➸动点✭✭旋转➼➸中心角✭✭边数
7．（2022·河北·宽城满族自治县教研室模拟预测）已知⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，把正方形ABCD放在⊙O中，使顶点A，D落在⊙O上，此时点A的位置记为，如图1，按下列步骤操作：
如图2，将正方形ABCD在⊙O中绕点A顺时针旋转，使点B落到⊙O上，
完成第一次旋转；再绕点B顺时针旋转，使点C落到⊙O上，完成第二次旋转；……
（1）正方形ABCD每次旋转的度数为______°；
（2）将正方形ABCD连续旋转6次，在旋转的过程中，点B与之间的距离的最小值为______．
（2019·江苏·南京市第二十九中学二模）如图1、图2、图3、…、图n分别是⊙O的内接正三角形ABC，正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
求图1中∠APN的度数；
图2中，∠APN的度数是_______，图3中∠APN的度数是________．
试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）
【考点二】弧长及扇形面积
【考点①】弧长和扇形面积➼➸弧长
9．（2022·福建·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，交⊙O于点D，交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC＝AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求的长（结果保留π）．
10．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连接OD，AD．
(1) 若∠ACB=20°，求的长（结果保留）．
(2) 求证：AD平分∠BDO．
【考点②】弧长和扇形面积➼➸面积
11．（2022·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，∠ =45°，，以为直径的⊙与边交于点．
(1) 判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；
(2) 若，求图中阴影部分的面积．
12．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，已知扇形AOB中，∠AOB＝60°，半径R＝3．
(1) 求扇形AOB的面积S及图中阴影部分的面积S阴；
(2) 在扇形AOB的内部，⊙O1与OA，OB都相切，且与弧只有一个交点C，此时我们称⊙O1为扇形AOB的内切圆，试求⊙O1的面积S1．
【考点③】弧长和扇形面积➼➸路径
13．（2019·江西·一模）如图，E、F分别为△ABC中AC、AB上的动点(点A、B、C除外)，连接EB，FC交于点P，BC=6．我们约定：线段BC所对的∠CPB，称为线段BC的张角．
(1)已知△ABC是等边三角形，AE=BF．
①求线段BC的张角∠CPB的度数；
②求点P到BC的最大距离；
③若点P的运动路线的长度称为点P的路径长，求点P的路径长．
(2)在(1)中，已知△A'BC是⊙P的外切三角形，若点A'的运动路线的长度称为点A'的路径长，试探究点A'的路径长与点P的路径长之间有何关系？请通过计算说明．
14．（2021·湖南株洲·中考真题）将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．
（1）求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
【考点三】圆锥的侧面积
【考点①】圆锥侧面积➼➸圆锥侧面积
15．（2022·山东潍坊·中考真题）在数学实验课上，小莹将含角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Gegebra画出如下示意图
小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边旋转得到，所以它们的侧面积相等．”
你认同小亮的说法吗？请说明理由．
16．（2019·湖南常德·一模）如图，AB是圆锥底面圆的直径，SO是高，OA＝3cm，SO＝4cm，求圆锥侧面展开图的面积．
【考点②】圆锥侧面积➼➸圆锥的高✭✭最短路径
17．（2019·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，AD是的角平分线，且，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F，
（1）求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
18．（2020·广东·一模）已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．

【考点四】正多边形和圆、弧长、扇形综合
19．（2018·四川达州·中考真题）阅读下列材料：
已知：如图1，等边△A1A2A3内接于⊙O，点P是上的任意一点，连接PA1，PA2，PA3，可证：PA1+PA2=PA3，从而得到：是定值．
（1）以下是小红的一种证明方法，请在方框内将证明过程补充完整；
证明：如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴，是定值．
（2）延伸：如图2，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正方形A1A2A3A4”，其余条件不变，请问：还是定值吗？为什么？
（3）拓展：如图3，把（1）中条件“等边△A1A2A3”改为“正五边形A1A2A3A4A5”，其余条件不变，则= （只写出结果）．
20．（2021·江苏连云港·中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．
（1）是边长为3的等边三角形，E是边上的一点，且，小亮以为边作等边三角形，如图1，求的长；
（2）是边长为3的等边三角形，E是边上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3）是边长为3的等边三角形，M是高上的一个动点，小亮以为边作等边三角形，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；
（4）正方形的边长为3，E是边上的一个动点，在点E从点C到点B的运动过程中，小亮以B为顶点作正方形，其中点F、G都在直线上，如图4，当点E到达点B时，点F、G、H与点B重合．则点H所经过的路径长为______，点G所经过的路径长为______．
参考答案
1．（1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠EAM＝∠EBC．，根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠EAM，得到∠BCE＝∠EBC，于是得到BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，推出直线EO垂直平分BC，得到EH⊥BC，求得EH⊥EF，根据切线的判定定理即可得到结论．
解：证明：（1）∵四边形ACBE是圆内接四边形，
∴∠EAM＝∠EBC，
∵AE平分∠BAM，
∴∠BAE＝∠EAM，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BCE＝∠EAM，
∴∠BCE＝∠EBC，
∴BE＝CE；
（2）如图，连接EO并延长交BC于H，连接OB，OC，
∵OB＝OC，EB＝EC，
∴直线EO垂直平分BC，
∴EO⊥BC，
∵EF//BC，
∴EO⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF为⊙O的切线．
【点拨】本题考查了切线的判定定理，等腰三角形的性质和判定，垂直平分线的性质定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（1）见分析；（2）；
【分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；
（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=60°，
∴∠ADC=120°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，∠BAC=∠CDB=60°，
∴∠ABC=∠BCA=∠BAC，
∴△ABC是等边三角形；
（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．
∴∠AMD=90°
∵∠ADC=120°，
∴∠ADM=60°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD=1，AM=，
∵CD=3，
∴CM=CD+DE=1+3=4，
∴S△ACD=CD-AM=×3×=，
在Rt△AMC中，∠AMD=90°，
∴AC=，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=，
∴BN=，
∴S△ABC=××=，
∴四边形ABCD的面积=+=，
∵BE∥CD，
∴∠E+∠ADC=180°，
∵∠ADC=120°，
∴∠E=60°，
∴∠E=BDC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠EAB=∠BCD，
在△EAB和△DCB中，
，
∴△EAB≌△DCB（AAS），
∴△BDE的面积=四边形ABCD的面积=.
【点拨】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
3．见分析
【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可．
解：如图，四边形ABCD即为所求作．
【点拨】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
4．（1）见分析；（2）90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半
【分析】（1）以点C为圆心，OC长为半径画弧线，交圆于一点即为点D，连接AD，补全图形即可；
（2）证明：连接．由为⊙的直径，得到90．证明等边三角形，得到，由此得到即为所求的三角形．
解：（1）补全的图形如图所示：

（2）证明：连接．
∵ 为⊙的直径，
∴90．
∵，
∴等边三角形．
∴．
∵点，都在⊙上，
∴．（一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半）（填推理的依据）
∴．
即为所求的三角形．
故答案为：90；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半．
．
【点拨】此题考查尺规作图，等边三角形的判定及性质，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，直径所对的圆周角是直角，熟记各定理是解题的关键．
5．（1）45°；（2）8
【分析】(1)连接，，由正方形内接于，可求中心角．．
(2)连接，，由正方形内接于，可求．由点为的中点，可求,可得，利用周角除以一个中心角即可求解
解：（1）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∴；
（2）连接，，
∵正方形内接于，
∴．
∵点为的中点，
∴，
∴∠COP=∠BOP，
∵∠COP+∠BOP=∠COB=90°，
∴，
∴．
【点拨】本题考查圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，掌握圆内接正方形的性质，圆周角定理，圆内接正n边形的中心角，利用周角除以正n边形的中心角求边数是解题关键．
6．(1)(2)是正三角形，理由见分析(3)
【分析】（1）根据正五边形的性质以及圆的性质可得，则(优弧所对圆心角)，然后根据圆周角定理即可得出结论；
（2）根据所作图形以及圆周角定理即可得出结论；
（3）运用圆周角定理并结合（1）（2）中结论得出，即可得出结论．
（1）解：∵正五边形．
∴，
∴，
∵，
∴(优弧所对圆心角)，
∴；
（2）解：是正三角形，理由如下：
连接，
由作图知：,
∵，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∴，
同理，
∴，即，
∴是正三角形；
（3）∵是正三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查了圆周角定理，正多边形的性质，读懂题意，明确题目中的作图方式，熟练运用圆周角定理是解本题的关键．
7．
【分析】根据题意可知是等边三角形，每一次旋转可以转化为等边三角旋转60度，则正方形各顶点构成正六边形，边长为1，进而求得每次旋转的角度；在正方形的旋转过程中，第三次旋转过程中点B与之间的距离的最小值为的直径减去正方形的对角线的长度
解：⊙O的半径和正方形ABCD的边长均为1，
是正三角形
根据旋转可得正方形各顶点构成正六边形，
即正方形每一次旋转的角度为30°,
如图，点的运动路径如图中部分，
正方形的边长为1，
正方形的对角线长为，
的半径为1
最短距离为
故答案为：，
【点拨】本题考查了正多边形的性质，圆的性质，旋转的性质，正三角形的性质，找到正方形旋转的规律是解题的关键．
8．（1）60°；（2）90°，108°；（3）.
【分析】根据对顶角相等和三角形内角和外角的关系解答即可．
解：（1）图1：∵点M、N分别从点B、C开始以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴∠BAM＝∠CBN，
又∵∠APN＝∠BPM，
∴∠APN＝∠BPM＝∠ABN＋∠BAM＝∠ABN＋∠CBN＝∠ABC＝60°；
（2）同理可得：在图2中，∠APN＝90°；在图3中，∠APN＝108°．
（2）由（1）可知，∠APN＝所在多边形的内角度数，故在图n中，．
【点拨】此题是一道规律探索题，体现了探索发现的一般规律：通过计算得出特殊多边形中的角∠APN的度数，然后得出n边形的∠APN的度数．
9．(1)见分析(2)
【分析】（1）先证明四边形ABED是平行四边形，得∠B＝∠D，再证明即可得到结论；
（2）连接OA，OC,根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理可得最后由弧长公式可求出结论．
解：（1）∵，，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B＝∠D．
又∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO．
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
又∵∠CAF＝30°，
∴，
∴．
∴的长．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，圆周角定理、等腰三角形的性质、弧长公式等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．
10．(1)(2)见分析
【分析】（1）连接，由，得，由弧长公式即得的长为；
（2）根据切于点，，可得，有，而，即可得，从而平分．
（1）解：连接OA，
∵∠ACB＝20°，
∴∠AOD＝40°，
∴，
．
（2）证明：，
，
切于点，
，
，
，
，
，
平分．
【点拨】本题考查与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质．
11．(1)证明见分析(2)
【分析】（1）利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明 从而可得结论；
（2）如图，连接OD，先证明 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC的面积减去三角形BOD的面积，减去扇形AOD的面积即可．
（1）证明： ∠ =45°，，

即
在上，
为的切线．
（2）如图，连接OD，
，

，
，
，，
，
．
【点拨】本题考查的是等腰三角形的性质，切线的判定，扇形面积的计算，掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键．
12．(1)扇形面积S＝，阴影部分面积S＝﹣(2)π
【分析】（1）根据扇形的面积公式就可以求出，阴影的面积用扇形的面积减去三角形的面积；
（2）设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，通过解三角形就可以求出半径，再利用圆的面积进行计算．
解：（1）∵∠AOB＝60°，半径R＝3，
∴S＝＝，
∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴S△OAB＝，
∴阴影部分的面积S阴＝﹣．
设⊙O1与OA相切于点E，连接O1O，O1E，
∴∠EOO1＝∠AOB＝30°，∠OEO1＝90°，在Rt△OO1E中，
∵∠EOO1＝30°，∴OO1＝2O1E，
∵OC=OO1+O1C，O1E=O1C，∴O1E＝1，
∴⊙O1的半径O1E＝1．∴S1＝πr2＝π．
【点拨】本题考查了相切两圆的性质．构造直角三角形是常用的方法，本题的关键是求得圆的半径．
13．(1)①∠BPC=120°；②点P到BC的最大距离；③；(2)点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
【分析】（1）①利用等边三角形的性质证△AEB与△BCF全等，得到∠EBA=∠BCF，利用三角形的内角和定理即可求出∠CPB的度数；
②由题意可知当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大，根据垂径定理及三角函数即可求出点P到BC的最大距离；
③由题意知点P的路径长为弧BC的长，在②的基础上直接利用公式即可求出结果；
（2）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得∠CBP+∠BCP=60°，因为圆P是△A'BC的内切圆，由此可推出A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，其半径为2，圆心角240°，根据弧长公式可直接求出其长度，并计算出点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
解：(1)①∵△ABC是等边三角形，
∴∠CBA=∠A=60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF(SAS)，
∴∠EBA=∠BCF，
∵∠EBA+∠CBE=60°，∠EBC+∠BCF+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°；
②如图1所示，由于∠BPC始终为120°，故过点B，P，C作圆O，
∴∠BOC=120°，
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大，
∵OB=OC，
∴∠BOP=∠BOC=60°，
NB=BC=3，
∴ON=，OB=2，
∴点P到BC的最大距离PN=2-=；
③点P的路径长为弧BC的长，
∴弧BC===；
(2)由(1)中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，
可得∠CBP+∠BCP=60°，
又∵圆P是△A'BC的内切圆，
∴∠CBA'+∠BCA'=120°，
∴∠CA'B=60°，
∴A'是等边三角形ABC外接圆上优弧BAC上的一动点，
由题意可得等边三角形ABC外接圆的半径为2，
∴点A'的路径是优弧BAC的长度，即以240°的圆心角，半径为2的弧长，
如图，所以点A'的路径长===，
∵：=2：1，
∴点A'的路径长是点P的路径长的2倍．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的的判定与性质，勾股定理，垂径定理，弧长公式等，解题的关键是能够根据题意画出图形．
14．（1）米；（2）4米．
【分析】（1）利用直角三角形FGH即可求解；
（2）连接A1A2，则必过点D1，分别求出A1A2和的长，即可求出点A经过的路程．
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在中，
（米）．
（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．
∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．
∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，
∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．
∴（米）．
∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：
（米）．
【点拨】本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性质是解题的关键．
15．不认同，理由见详解
【分析】根据圆锥的侧面面积公式进行比较即可得到答案．
解：甲圆锥的底面半径为BC，母线为AB，，
乙圆锥的底面半径为AC，母线为AB，，
∵，
∴，
故不认同小亮的说法．
【点拨】本题考查圆锥的侧面面积，解题的关键是熟知圆锥侧面面积的计算公式．
16．圆锥展开图的面积是15πcm2．
【分析】首先根据勾股定理求得母线长，利用圆的周长公式求得底面周长，即扇形的弧长，然后利用扇形的面积公式即可求解．
解：在直角△OAS中，AS＝＝5cm，
底面周长是：2π×3＝6πcm，
则圆锥展开图的面积是：×6π×5＝15πcm2．
【点拨】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
17．（1）；（2）.
【分析】（1）利用等腰三角形的性质得到，，则可计算出，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积进行计算；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．
解：∵在等腰中，，
∴，
∵AD是的角平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形（图中阴影部分）的面积.
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得，解得，
这个圆锥的高．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰三角形的性质和扇形的面积公式．
18．
【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解．
解：设扇形的圆心角为n，圆锥的
在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm，
∴由勾股定理可得母线l==80cm，
而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=.
∴n=90°
即△SAA′是等腰直角三角形，
∴由勾股定理得：AA'==80cm．
∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm．
【点拨】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解．
19．（1）证明见分析；（2）是定值，理由见分析；（3）
分析：（2）结论：是定值．在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．证明PA4=A4+PH=PA2+PA1，同法可证：PA3=PA1+PA2，推出（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，可得PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），即可解决问题；
（3）结论：则．如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，推出PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，即可解决问题；
解：（1）如图1，作∠PA1M=60°，A1M交A2P的延长线于点M．
∵△A1A2A3是等边三角形，
∴∠A3A1A2=60°，
∴∠A3A1P=∠A2A1M
又A3A1=A2A1，∠A1A3P=∠A1A2P，
∴△A1A3P≌△A1A2M
∴PA3=MA2，
∵PM=PA1，
∴PA3=MA2=PA2+PM=PA2+PA1．
∴，是定值．
（2）结论：是定值．
理由：在A4P上截取AH=A2P，连接HA1．
∵四边形A1A2A3A4是正方形，
∴A4A1=A2A1，
∵∠A1A4H=∠A1A2P，A4H=A2P，
∴△A1A4H=△A1A2P，
∴A1H=PA1，∠A4A1H=∠A2A1P，
∴∠HA1P=∠A4A1A2=90°
∴△HA1P的等腰直角三角形，
∴PA4=HA4+PH=PA2+PA1，
同法可证：PA3=PA1+PA2，
∴（+1）（PA1+PA2）=PA3+PA4，
∴PA1+PA2=（-1）（PA3+PA4），
∴．
（3）结论：则．
理由：如图3-1中，延长PA1到H，使得A1H=PA2，连接A4H，A4A2，A4A1．
由△HA4A1≌△PA4A2，可得△A4HP是顶角为36°的等腰三角形，
∴PH=PA4，即PA1+PA2=PA4，
如图3-2中，延长PA5到H，使得A5H=PA3．
同法可证：△A4HP是顶角为108°的等腰三角形，
∴PH=PA4，即PA5+PA3=PA4，
∴．
【点拨】本题考查圆综合题、正方形的性质、正五边形的性质、全等三角形的判定和性质等正整数，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
20．（1）1；（2）3；（3）；（4）；
【分析】（1）由、是等边三角形，，， ，可证即可；
（2）连接，、是等边三角形，可证，可得，又点在处时，，点在A处时，点与重合．可得点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，由、是等边三角形，可证，可得．又点在处时，，点在处时，点与重合．可求点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，由∠CGA=90°，点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，由四边形ABCD为正方形，BC为边长，设OC=x，由勾股定理即，可求，点G所经过的路径长为长=，点H所经过的路径长为的长．
解：（1）∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，
∵、是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又点在处时，，点在A处时，点与重合．
∴点运动的路径的长；
（3）取中点，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵、是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又点在处时，，点在处时，点与重合，
∴点所经过的路径的长；
（4）连接CG ,AC ，OB，
∵∠CGA=90°，
∴点G在以AC中点为圆心，AC为直径的上运动，
∵四边形ABCD为正方形，BC为边长，
∴∠COB=90°，设OC=x，
由勾股定理即，
∴，
点G所经过的路径长为长=，
点H在以BC中点为圆心，BC长为直径的弧上运动，
点H所经过的路径长为的长度，
∵点G运动圆周的四分之一，
∴点H也运动圆周的四分一，
点H所经过的路径长为的长=，
故答案为；．
【点拨】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．