初中数学中考复习：42正多边形与圆的有关的证明和计算(含答案)

中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是（    ）度．

A.60       B.90     C.120     D.150

2．某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥，它的高AO＝8米，母线AB与底面半径OB的夹角为，，则圆锥的底面积是（   ）平方米．

  A.9π      B.16π    C. 25π     D.36π

3．某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，2m长为半径的扇形区域内（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（   ）

    A．6πm2     B．5πm2     C．4πm2    D．3πcm2

4．如图所示，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点，则图中阴影部分的面积是（    ）

    A．6π     B．5π     C．4π     D．3π

5．如图所示，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为 （    ）

    A．     B．     C．     D．

6．已知三角形的三边长分别为3，4，5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是(   )

    A．0，1，2，3    B．0，1，2，4    C．0，1，2，3，4    D．0，1，2，3，4，5

;

二、填空题

7．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．

8．如图，已知⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的面积为________．

9．如图是一条水平铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面宽为1.6米，则这条管道中此时水最深为__________米．

10．将半径为10cm，弧长为12π的扇形围成圆锥(接缝忽略不计)，那么圆锥的母线与圆锥高的夹角的余弦值是________．

11．如图所示是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为10cm．在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA＝2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为________cm．

12．如图，扇形OAB，∠AOB＝90°，⊙P与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是________．

三、解答题

13．如图所示，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝，∠DPA＝45°．

(1)求⊙O的半径；

(2)求图中阴影部分的面积．

14. 如图AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．

(1)判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积(结果保留π)．

15．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连结BD并延长交EC的延长线于点G，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q．

(1)求证：P是△ACQ的外心；

(2)若，CF＝8，求CQ的长；

(3)求证：(FP+PQ)2＝FP·FG．

16. 如图，△ABC内接于⊙O，且∠B＝60°．过点C作圆的切线与直径AD的延长线交于点E，AF⊥，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G．

(1)求证：△ACF≌△ACG；

(2)若AF＝ ，求图中阴影部分的面积．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】圆锥的底面周长为，所以它的侧面展开图的圆心角

是．

2.【答案】D；

【解析】因为，AO＝8，所以BO＝6，所以圆锥的底面积是．

3.【答案】A；

【解析】五个扇形的半径都为2cm，设其圆心角分别为，，，，，

则无法直接利用扇形面积公式求解，可以整体考虑，边形形

内角和＝(5-2)×180°＝540°，

∴  ．

4.【答案】A；

【解析】如果分别求SⅠ和SⅢ得阴影面积则很复杂，由旋转前后图形全等，易得SⅠ＝SⅡ，

∴ ．

5.【答案】B；

【解析】要求围成的圆锥的底面圆半径，只要求出扇形ABC中BC的弧长，该弧长即为围成的圆锥的底面圆的周长，再根据周长即可以求出半径．

∵ 直径为2，∠BAC＝60°

∴ AC＝，

∴ BC的弧长为，设底面圆的半径为r，则由解得．

6.【答案】C；

【解析】∵  32+42＝52，∴  这个三角形是直角三角形，且其内切圆半径．

           则这个三角形的边与半径为1的圆的公共点个数有如下情况：

共有0，1，2，3，4五种情况．

二、填空题

7．【答案】3；

【解析】设圆锥的母线长为R，侧面展开图半圆弧长为，圆锥底面积半径为r，

则有：．

∴  R2＝36，R＝6．又．

∴  ，∴  2πr＝6π，r＝3．

8．【答案】；

【解析】设⊙O与BC切于D点，连接OD，OC．

在Rt△ODC中，．∠OCD＝30°．

∴  ．

∴  ，则．

9．【答案】0.4；

  【解析】如图，过O作OC⊥AB于C，并延长并于D．

          在Rt△OBC中，，．

          ∴  ．

          ∴  CD＝OD-OC＝1-0.6＝0.4(米)．

10．【答案】；

【解析】如图，因为2πR＝12π，所以R＝6．

由勾股定理，得．

所以．

11．【答案】；

【解析】底圆周长为2πr＝10π，

设圆锥侧面展开图的扇形所对圆心角为n°，

有，即，

∴  n＝180°，如图所示，FA＝2，OA＝8，

在Rt△OEA中由勾股定理可得EA即为所求最短距离．

∴ ．

12．【答案】 ； 

【解析】连接OC，PE，PF，则四边形OEPF是正方形．

设PE＝r，则OP＝，OC＝．

∴  ．

∴  ::．

三、解答题

13.【答案与解析】

   （1）∵  直径AB⊥DE，

∴  ．

∵  DE平分半径OA，

∴  ．

在Rt△OCE中，

∵  ∠CEO＝30°．

∴  OE＝2．

即⊙O的半径为2．

   （2）连OF，在Rt△DCP中，

∵  ∠DPC＝45°．∠D＝90°-45°＝45°

∴  ∠EOF＝2∠D＝90°．

∵  ．

∴  ．

14.【答案与解析】

    解：(1)直线CD与⊙O相切．

如图，连接OD．

∵  OA＝OD，∠DAB＝45°，

∴  ∠ODA＝45°．∴  ∠AOD＝90°．

∵  CD∥AB，∴  ∠ODC＝∠AOD＝90°，

即OD⊥CD．

又∵  点D在⊙O上，∴  直线CD与⊙O相切．

(2)∵  BC∥AD，CD∥AB，

∴  四边形ABCD是平行四边形．

∴  CD＝AB＝2．

∴  ．

∴  图中阴影部分的面积等于

．

15.【答案与解析】

    (1)证明：∵  C是的中点，

∴  ．

∴  ∠CAD＝∠ABC．

∵  AB是⊙O的直径，

∴  ∠ACB＝90°．

∴  ∠CAD+∠AQC＝90°．

又  CE⊥AB，

∴  ∠ABC+∠PCQ＝90°．

∴  ∠AQC＝∠PCQ．

∴  在△PCQ中，有PC＝PQ．

∵  CE⊥直径AB，

∴  ．

∴  ．

∴  ∠CAD＝∠ACE．

∴  在△APC中，有PA＝PC．

∴  PA＝PC＝PQ．

∴  P是△ACQ的外心．

 (2)解：∵  CE⊥直径AB于F，

∴  在Rt△BCF中，

由，CF＝8，

得  ．

∴  由勾股定理，得．

∵  AB是⊙O直径，

∴  在Rt△ACB中，由，，

得  ．

易知Rt△ACB∽Rt△QCA，∴  AC2＝CQ·BC．

∴  ．

(3)证明：∵  AB是⊙O直径，∴  ∠ACB＝90°．

∴  ∠DAB+∠ABD＝90°．

又CF⊥AB，∴  ∠ABG+∠G＝90°．

∴  ∠DAB＝∠G．

∴  Rt△AFP∽Rt△GFB．

∴  ，即AF·BF＝FP·FG．

易知Rt△ACF∽Rt△CBF，

∴  FC2＝AF·BF(或由射影定理得)

∴  FC2＝FP·FG．

由(1)，知PC＝PQ，∴  FP+PQ＝FP+PC＝FC．

∴  (FP+PQ)2＝FP·FG．

16.【答案与解析】

    (1)证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC＝∠B＝60°．

   ∵  AC⊥CD，CG⊥AD，

∴  ∠ACG＝∠ADC＝60°．

由于∠ODC＝60°，OC＝OD，

∴  △OCD为正三角形，得∠DCO＝60°．

由，得∠ECD＝30°，

∴  ∠ECG＝30°+30°＝60°．

进而∠ACF＝180°-2×60°＝60°，

∴  △ACF≌△ACG．

(2)解：在Rt△ACF中，∠ACF＝60°，AF＝，得CF＝4．

在Rt△OCG中，∠COG＝60°，CG＝CF＝4，得．

在Rt△CEO中，．

于是．